精品解析：辽宁省丹东市凤城市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

凤城二中2025高二上学期第一次月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题､校对：高二数学组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且与共线，则等于（ ） A. 2 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个向量平行的性质求解即可. 【详解】因为，，且与共线，则，即. 故选：B． 2. 设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）． A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 平行或在平面内 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据向量之间的关系，可得答案. 【详解】由，则， 由向量的自由性，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内， 故选：D. 3. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 4. 直线与平面所成的角是45°，若直线在内的射影与内的直线所成的角是45°，则与所成的角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据图形分析，构造三角形，利用余弦定理求角. 【详解】如图，在平面内，，过上一点作，垂足为，则直线即为在内的射影，， 设，则，， 过作，由题可知，则， 在中，， 是与所成的角， 在中，， . 故选：C. 【点睛】本题考查空间中直线与直线所成角的求法，注意构造三角形，利用解三角形进行求解. 5. 已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 6. 若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值，进而求出正切值. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐角，则，则，故. 故选：B 7. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知直线l的倾斜角为，且直线l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为 B. 直线l在x轴上的截距等于 C. 直线l与直线垂直 D. 点到直线l上的点的最短距离是1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角、斜率、方向向量、截距、直线垂直、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的一个方向向量为，所以A选项错误. 直线的方程为， 令得，所以B选项错误. 直线的斜率为， ，所以直线l与直线垂直，所以C选项正确. 直线的方程为，即， 点到的距离为，所以D选项正确. 故选：CD 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 是共线的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】A根据投影向量的公式计算；B用反证法推出矛盾；C根据可判断；D举反例. 【详解】A选项，由题意得，，， 则在上的投影向量为，故A正确； B选项，若这两个非零向量不共线，则空间中必存在向量可以构成一个基底， 与条件矛盾，故B正确； C选项，因，则，则直线或直线，故C错误； D选项，若共线同向，则，故D错误. 故选：AB 11. 如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线不可能与平面垂直 C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可； 【详解】解：如图由正方体的性质可知，平面，平面，所以平面， 同理可证平面，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可证，，平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面，所以，故C正确； 当点为的中点时，，所以平面，故B错误； 又，平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离不变，设为，又的面积不变， 所以为定值，故D正确； 故选：ACD 四､填空题：本题共3小题，共15分，每空5分. 12. 若两条直线与垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直的结论求得. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为： 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，，，解得， 故答案为：. 14. 在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 因为菱形ABCD中，， 所以三角形和三角形ACD都是等边三角形， 因此，， 因为平面平面ACD，平面平面ACD， 所以平面ACD，而平面ACD， 因此，因此建立如图所示的空间直角坐标系， 设菱形的边长为，， 设平面BCD的法向量为，， 所以有， 平面ACD的法向量为， 平面BCD与平面ACD夹角为， 所以， 因此， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：，． （1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； （2）直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 【答案】（1） 方程变形为：， 由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立， 所以直线l恒过定点． （2）或. 【解析】 【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得. （2）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知直线l过点， 当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：； 当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得， 此时直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：或． 16. 如图：直三棱柱中，侧面，均为边长为2的正方形，且面面分别为正方形对角线的中点. （1）求点到面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点到面的距离转化为点到面的距离，使用等积法求解. （2）方法一：几何法，取的中点，可证得为二面角的平面角，在中由余弦定理可求得的值. 方法二：建立空间坐标系使用向量法求解. 【小问1详解】 面面，故直三棱柱可以看作为正方体沿对角面截取的一半， 因为分别为正方形对角线的中点， 故点到面的距离即点到面的距离. △为边长为的等边三角形. 设点到面的距离为，则由，得， 即. 【小问2详解】 （方法一）取的中点，连接， 均是边长为的等边三角形，可得，且 为二面角的平面角， 在等腰中，， 由余弦定理可求得， 平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴如图建系， ，， 设平面的法向量为， 由得令，有，， 又，设平面的法向量为， 由得，令，有，则， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. （3）求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【小问1详解】 设， 则， 化简得，， 即. 【小问2详解】 由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. 【小问3详解】 因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 18. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥性质特征可证明四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，，是的直径， 所以，且，因此可知四边形为平行四边形， 可知，又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点为，连接，， 因为，，因此为正三角形； 所以，即， 由圆锥性质易知平面，平面， 所以，因此三条直线两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 取，可知，， 所以 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 又，设直线与平面所成的角为， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直； （2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案； （3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值； 【小问1详解】 取分别为线段的中点，连接， 在三棱柱中，平面是等边三角形， 所以， 又且是平面内两条相交直线 所以平面平面， 可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． ，设.可得 因为， 所以 【小问2详解】 由（1）可知 令，根据二次函数的最小值可知， 当时，取最小值为， 所以的长的最小值为. 【小问3详解】 当的长取得最小值时，即，则 ， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设二面角的平面角为，所以 ， 所以 二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤城二中2025高二上学期第一次月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题､校对：高二数学组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且与共线，则等于（ ） A. 2 B. 6 C. D. 9 2. 设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）． A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 平行或在平面内 3. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与平面所成的角是45°，若直线在内的射影与内的直线所成的角是45°，则与所成的角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ） A. B. C. D. 6. 若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）． A. B. 2 C. D. 7. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知直线l的倾斜角为，且直线l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为 B. 直线l在x轴上的截距等于 C. 直线l与直线垂直 D. 点到直线l上的点的最短距离是1 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 是共线的充要条件 11. 如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线不可能与平面垂直 C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 四､填空题：本题共3小题，共15分，每空5分. 12. 若两条直线与垂直，则__________. 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数______． 14. 在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：，． （1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； （2）直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 16. 如图：直三棱柱中，侧面，均为边长为2的正方形，且面面分别为正方形对角线的中点. （1）求点到面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. （3）求曲线上的点到直线的最小距离. 18. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $