北京市育才学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 十二月月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.已知集合A={xx2-2x-3<0},B={xx>,则AnB=（) A.（-1,3) B.（-3,1) c.（-1,1) D.(1,3) 2.已知复数z=(3+)(1一)，为虚数单位，则复数z的虚部为() A.-2i B.2i C.-2 D.2 3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，IMF|=4,O为坐标原点，则|MO= () A.42 B.4 c.5 D.2W5 4已知角“的终边经过点心，)，把角“的终边绕原点0逆时针旋转受得到角P的终边，则 sinB=() 是 4-5 5.设a>0,b>0,则“g(ab)>0”是“1g(a+b)>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (e,x≤0 6.设函数f)={nxx>0若f)-k=0有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是 () A.(0,1) B.(0,+∞) c.(0,] D.[0,+oo) 7.设函数f(x)=sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则①的取值范围 是() 写名 1319 . 8.已知⊙C:x2+2x+y2-1=0,直线x+n(y-1)=0与⊙C交于A,B两点.若△ABC为 高三数学第1页共4页 直角三角形，则() A.mn=0 B.m-n=0 C.m+n=0 D.m2-3n2=0 9.在平面直角坐标系中，己知A(-1,0),B1,0)两点.若曲线C上存在一点P,使PA·P<0, 则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①2y2-x2=1;②2x2+y2=1;③2x+y=4.其 中“合作曲线”是() A.①② B.②③ C.① D.② 10.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了 某地区新冠肺炎累计确诊病例数I()(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)= K 1+e0.2305, 其中K为最大确诊病例数当I(t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则(E-53)的值 约为()（参考数据： n19≈3) 60 日13 063 D.66 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 的展开式中含x4项的系数为 ·(用数字作答) 12.在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=BC=2,AB=4,则AB.AC= 1设设双曲线C:答芳=0>06>的左右焦点分别为瓜、万，过R作平行于y轴的生 线交C于A,B两点，若|FA=13,AB=10,则C的离心率为 ；C的渐近线 方程为 14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二 五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{4}， 则a1=一；an= (注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”) D 15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别在 线段AD,和BC上.给出下列四个结论： 马MN的最小值为2；②四面体MMBC的体积为亏 高三数学第2页共4页 ③有且仅有一条直线MN与AD垂直；④存在点M,N,使△MBN为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是， 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16.(13分）在△ABC中，acosC+c心o84=2560os8 3 (I)求∠B; (I)若a=12,D为BC边的中点，且AD=3,求b的值. 17.(14分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD, △ADE是正三角形，EF=2,AB=4,AD=2. (I)求证：EF∥AB; (I)求平面FBC与平面BCD夹角的余弦值； (亚)求点A到平面FBC的距离. B 18.(13分)《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我犀 现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m)(部分摘抄）： 项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 二级运动员 三级运动员 男子跳远 8.00 7.80 7.30 6.50 5.60 女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50 在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生， 丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的 比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25； 乙：6.38,6.56：6.45,6.36,6.82,7.38； 丙：5.16,5.65,5.18,5.86. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， (I)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率； (Ⅱ)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数， 估计X的数学期望E(X)； (Ⅲ)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最 高三数学第3页共4页 终成绩，本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m)如下 表 第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳 甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49 丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a 若丙第6次试跳的成绩为a,用g子，22分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当g2=5,2时， 写出a的值.（结论不要求证明) 19.(15分) 知椭圆E:号+Q>6>0的长长为4，一个焦点为R0,0 (I)求椭圆E的方程及离心率； （Ⅱ)过点F且斜率存在的直线交椭圆E于A,B两点，在x轴上是否存在点M,使得 SAAFM AM SABFM 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 20.(15分)已知函数f)=6产+ (I)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(L,fI)》处的切线方程； (IⅡ)设g(x)=(x)，,求函数g(x)的极大值； (Ⅲ)若a<-e,求函数f(x)的零点个数， 21.(15分)设n为给定的不水于5的正整数，考察7n个不同的正整数4，a2,“，an构 成的集合P={a,a,,a,},若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相 等，则称集合P为“差异集合”. （I)分别判断集合A={1,3,8,13,23},集合B={L,2,4,8,16是否是“差异集合”；（只需 写出结论) （Ⅱ)设集合P={a,42,…,a}是“差异集合”，记b,=a,-2=l,2,…,m),求证：数 列{b}的前k项和D≥0(k=1,2,,m); 1,1 1 (Ⅲ)设集合P={4,2,…,a}是“差异集合”，求二+二+…+二的最大值， 高三数学第4页共4页