精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县莲花第二初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026铁岭县莲花二中第三次月考 九年数学 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负数的概念，根据负数的定义，小于零的数是负数，先化简绝对值，再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．4是正数，不符合题意； C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．，是负数，符合题意． 故选：D． 2. 某地金融商务区标识征集时收到众多精美的设计图案，下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的虚实线特点是解题的关键． 首先明确左视图的定义，再分析空心圆柱体的结构，确定其左视图的形状及线条类型，最后结合选项得出正确的选项即可． 【详解】解：从左面看是一个矩形，几何体内部也是一个圆柱，左视图也为矩形，但是在内部用虚线表示， ∴空心圆柱体的左视图为一个矩形，内部有两条虚线， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. (－2a)3＝－2a3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据单项式乘单项式判断D选项． 【详解】解：A选项，原式=a6，故该选项不符合题意； B选项，原式=a3，故该选项符合题意； C选项，原式=-8a3，故该选项不符合题意； D选项，原式=2a5，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，掌握am÷an=am-n（a≠0）是解题的关键． 5. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由这张扑克牌是梅花的概率为得到，计算即可得到的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单概率计算中的已知概率求数量，根据题意得出是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和中位线定理，熟练使用中位线定理是解题的关键． 首先利用中位线定理和勾股定理求解菱形的边长，再根据中位线定理即可求解OM的长度． 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故选：C． 7. 汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到的度数. 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴ 故选：C 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 9. 早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先求得，再根据，，即可得到点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点，再根据平移方式由点A的坐标即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 聚焦新春主题，各地科技馆将生肖文化、非遗技艺与前沿科技深度融合．其中，中国科技馆举办春节“科技大联欢”主题科普教育活动，引导公众探索春节习俗蕴含的科学元素．春节期间，该馆接待观众超150000人次，其中京外观众占比超过九成．数据150000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若，则___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的加减法．根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：18． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为 14. 如图所示，点，分别在双曲线，上，轴，分别过点，作轴，轴，垂足为，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握与矩形面积的关系是解题的关键，延长与轴交于点，则，，由可知，，即． 【详解】解：延长与轴交于点，如图所示， 点在双曲线上， ， 点在双曲线上， ， ，轴，轴，轴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处；点在上，将沿折叠，使点恰好落在线段上的点处．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，由矩形性质和折叠得，，则，再证明，得到，设，，则，，，在中，由勾股定理得，解得，即，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， ， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）10；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简． （1）先计算零指数幂和二次根式的乘法，再化简二次根式，最后算加法即可； （2）先计算括号里的减法，并将除法转化为乘法约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示： 类别 价格 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 6 7 售价/（元/千克） 10 12 （1）某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克． （2）如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？ 【答案】（1）黄瓜和茄子分别批发了40、10千克； （2）每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大． 【解析】 【分析】（1）已知黄瓜和茄子的总质量及进货总金额，用二元一次方程求得各批发了多少千克； （2）根据黄瓜重量不低于茄子的重量，求得m取值的范围，求最大利润可用一次函数求最大值解决． 【小问1详解】 解：设黄瓜和茄子各批了x，y千克，根据题意可得： ，解得：． 答：黄瓜和茄子分别批发了40、10千克； 【小问2详解】 解：设黄瓜每天售出m千克．如果每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量， 则有：， 解得：． 用S表示每天获得和利润，根据题意可列出S与m的关系式： ， 由关系式可知，S随m的增大而减小， ∴当时，最大． 答：每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程或一元一次方程的解法及应用以及一次函数的性质及应用．需要充分理解函数对变化过程的刻画，理解函数值随自变量的变化而变化． 18. 国务院安委会办公室关于近期全国火灾要求各企业事业单位高度重视，特别是学校要加强对学生的教育与宣传，某校先组织学生参加“勤于防火，国兴民安；疏于防火，必酿后果”的防火知识教育活动，然后从八、九年级各随机抽取20名学生进行现场测试（试卷满分100分），并将成绩整理，绘制成统计图表如下．（得分用表示，分为，，，四个等级，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为合格） 八年级20名学生在等级的分数为：94，92，93，91； 九年级20名学生在等级的分数为：94，93，94，93，94，90，94，93，94． 八、九年级抽取的学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 合格率 八年级 91 95 九年级 91 93 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上成绩分析，你认为在这次活动中，哪个年级学生对防火知识掌握较好？请说明理由；（写出一条即可） （3）若该校八年级有1000名学生，九年级有1200名学生，请你估计该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数． 【答案】（1）92.5，，94， 补全条形统计图如下： （2） 九年级学生对防火知识掌握较好， 理由：因为九年缓学生测试成绩的中位数和合格率都高于八年级，所以九年级学生对防火知识掌握较好；（说法合理即可） （3）该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数约为1380． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值；根据条统计图计算出、等级合格的人数，通过合格的人数除以总人数可得的值；用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和合格率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 八年级共抽取20名学生的测试成绩，在D，C，B等级的学生人数为， 中位数在等级内，将八年级抽取的学生的测试成绩在等级的分数从低到高排列后，处在20个数据第10个、第11个数据的平均数为（分）， ； 八年级抽取的学生的测试成绩的合格率为： ； 九年级抽取的学生的测试成绩等级中94分有5个， 、等级人数：，等级人数：， 94分出现的次数最多， ； 八年级抽取的学生的测试成绩在组的人数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （名）， 答：该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数约为1380． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）． （2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本） 【答案】（1）；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元． 【解析】 【分析】（1）由图像可知，当，函数为常数函数z=16；当，函数为一次函数，设函数解析式为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式； （2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当，，可知x=12时有最大利润；当，，当时有最大利润． 【详解】解：（1）由图可知，当时， 当时，是关于的一次函数，设 则，得，即 ∴关于的函数解析式为 （2）设第个生产周期工厂创造的利润为万元 ①时， 当时，（万元） ②时， 当时，（万元） 综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元． 【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点； （2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键． 20. 图1是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图2所示的平面示意图，四边形，为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗，已知，雕塑总高（点到的距离）为，基座上的团旗柱，点在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）请通过计算说明团旗柱与斜面的位置关系． （结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2）团旗柱与斜面平行 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点F作于点P，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出即可； （2）过点A作于点Q，求出，解直角三角形得出．根据平行线的性质证明．根据平行四边形的性质得出，根据平行公理得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：基座由两个全等的平行四边形（，）组成，如图，过点F作于点P． ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴平行四边形基座的高度约为； 【小问2详解】 解：雕塑总高，平行四边形基座的高度为，如图，过点A作于点Q． ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴团旗柱， ∵基座是平行四边形， ∴， ∴， 即团旗柱与斜面平行． 21. 如图，是☉的直径，点在线段的延长线上，直线与☉相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求 （2）①见解析； 证明：如图，连接 ∵直线与☉相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴平分 ② 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，以为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过与该点作直线，即为 ．这是基于尺规作图中作已知直线垂线的基本操作原理． （2）①连接，由切线性质得，结合，推出，利用平行线性质得；又因，根据等腰三角形性质得，从而，证明平分 ．通过切线性质、平行线判定与性质、等腰三角形性质来推导角相等．②先根据求出，，；用勾股定理算出；由证，根据相似三角形性质求出，；进而算出；最后用勾股定理求出 ．综合运用勾股定理、相似三角形的判定与性质来求解线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查尺规作图（作垂线）、圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理．解题关键在于熟练掌握尺规作垂线的操作方法以及利用切线性质构建平行关系，结合等腰三角形性质推导角平分线． 22. （1）数学模型 一线三等角模型是一个常见的几何模型，指的是三个相等的角的顶点在一条直线上，利用这三个角可以构造出两个全等或相似的三角形，从而得到线段、角之间的相等或和差关系．如图①，已知三点共线，且．当时，．要证明，可以用到的判定方法有___________（填序号）． ① ② ③ ④ ⑤ （2）构造模型 如图②，在中，，将边绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，求的长． （3）解决问题 如图③，菱形的一个内角为，以为顶点的等边绕点旋转，旋转过程中边始终经过菱形的顶点，当时，求菱形的边长． 【答案】（1）③④；（2）；（3）菱形的边长为． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）图①由三角形外角，得到，由三角形内角和得到，即可根据和证明； （2）过作交延长线于，证明，得到，在中，根据勾股定理计算即可； （3）过作交延长线于，连接，先由菱形的性质证明是等边三角形，再结合等边证明，得到，则，得到，，，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）图①由三角形外角可得， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：③④； （2）过作交延长线于， ∵将边绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 中，； （3）过作交延长线于，连接， ∵菱形的一个内角为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴中，， ∴菱形的边长为． 23. 如图，运动员在10米跳台上进行跳水训练，运动员（看作一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，水面与轴交于点，最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员入水处点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后的运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括两点），直接写出的取值范围． 【答案】（1）解析式为； （2） 解：不会失误，理由如下： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为（米）， ∵， ∴运动员此次跳水不会失误； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为（米），即可得出结论； （3）由入水处点得到①，当抛物线经过点M时，②；当抛物线经过点N时，③，分别联立①②、①③解方程组，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（舍去）， 点B的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， ∵入水处点， ∴①， 当抛物线经过点M时，②， 由①②联立方程组，解得，； 当抛物线经过点N时，③， 由①③联立方程组，解得，， ∵出水处点D在之间（包括M，N两点）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026铁岭县莲花二中第三次月考 九年数学 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） A. B. 4 C. 0 D. 2. 某地金融商务区标识征集时收到众多精美的设计图案，下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. (－2a)3＝－2a3 D. 5. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 7. 汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 聚焦新春主题，各地科技馆将生肖文化、非遗技艺与前沿科技深度融合．其中，中国科技馆举办春节“科技大联欢”主题科普教育活动，引导公众探索春节习俗蕴含的科学元素．春节期间，该馆接待观众超150000人次，其中京外观众占比超过九成．数据150000用科学记数法表示为_____． 12. 若，则___________． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 14. 如图所示，点，分别在双曲线，上，轴，分别过点，作轴，轴，垂足为，，若，则___________． 15. 如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处；点在上，将沿折叠，使点恰好落在线段上的点处．若，则的值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示： 类别 价格 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 6 7 售价/（元/千克） 10 12 （1）某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克． （2）如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？ 18. 国务院安委会办公室关于近期全国火灾要求各企业事业单位高度重视，特别是学校要加强对学生的教育与宣传，某校先组织学生参加“勤于防火，国兴民安；疏于防火，必酿后果”的防火知识教育活动，然后从八、九年级各随机抽取20名学生进行现场测试（试卷满分100分），并将成绩整理，绘制成统计图表如下．（得分用表示，分为，，，四个等级，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为合格） 八年级20名学生在等级的分数为：94，92，93，91； 九年级20名学生在等级的分数为：94，93，94，93，94，90，94，93，94． 八、九年级抽取的学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 合格率 八年级 91 95 九年级 91 93 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上成绩分析，你认为在这次活动中，哪个年级学生对防火知识掌握较好？请说明理由；（写出一条即可） （3）若该校八年级有1000名学生，九年级有1200名学生，请你估计该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数． 19. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）． （2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本） 20. 图1是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图2所示的平面示意图，四边形，为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗，已知，雕塑总高（点到的距离）为，基座上的团旗柱，点在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）请通过计算说明团旗柱与斜面的位置关系． （结果精确到．参考数据：） 21. 如图，是☉的直径，点在线段的延长线上，直线与☉相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 22. （1）数学模型 一线三等角模型是一个常见的几何模型，指的是三个相等的角的顶点在一条直线上，利用这三个角可以构造出两个全等或相似的三角形，从而得到线段、角之间的相等或和差关系．如图①，已知三点共线，且．当时，．要证明，可以用到的判定方法有___________（填序号）． ① ② ③ ④ ⑤ （2）构造模型 如图②，在中，，将边绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，求的长． （3）解决问题 如图③，菱形的一个内角为，以为顶点的等边绕点旋转，旋转过程中边始终经过菱形的顶点，当时，求菱形的边长． 23. 如图，运动员在10米跳台上进行跳水训练，运动员（看作一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，水面与轴交于点，最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员入水处点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后的运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括两点），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $