精品解析：年山东省青岛市崂山区育才学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年山东省青岛市崂山区育才学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中：，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 如果用a、b、c表示的三边，那么分别满足①；②；③；④，下列条件的三角形中，直角三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列说法正确的是（ ） A. 是的平方根 B. 的平方根是 C. 立方根等于本身的数是0和1 D. 2是的算术平方根 4. 若点在x轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在同一平面直角坐标系内，已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 线段 B. 直线轴 C. 点A与点B关于y轴对称 D. 线段AB的中点坐标为 6. 如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于函数，下列说法正确的是（） A. 经过第一、二、四象限 B. 若函数图象经过点，，则 C. 由的图象向下平移个单位得到 D. 与轴的交点的坐标为 8. 一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 10. 的平方根是______  ，的倒数是______  ，的绝对值是______  ． 11. 比较大小______ 12. 若实数m、n满足|m﹣6|+＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 _____． 13. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 14. 已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD=10，AB=8，那么AE=______． 15. 如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过四个面，则所需捆绑线绳的长至少为__________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 在如图方格纸中，每个小方格的边长为请按要求解答下列问题： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，同时以格点为顶点，画一个三角形，使它的边长，； （2）作关于轴的轴对称图形不要求写作法，直接写出的面积为______． 19. 根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 （1）的平方根是______，______， ______； （2）若这个数的整数部分为，求的值． 20. 如图，已知等腰中，，，是边上一点，且， （1）求的长； （2）求中边上的高． 21. 我市为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，对居民用水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是某户居民某月用水量x吨与水费y元的函数图象水费按月结算 （1）填空：我市居民用水价目表； 每月用水量吨 单价元 元/吨 ______元/吨 ______元/吨 （2）当时，写出水费元与用水量x之间的关系式； （3）小明家因家庭装修11月的水费共元，求小明家11月份的用水量． 22. 如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题, ，(是的面积； ，(是的面积； ，(是的面积； （1）______，______，______；用含n的代数式表示 （2）求的值． 23. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与x的函数关系式为______； （2）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 24. 在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. （1）请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （2）下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； （3）已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 25. 综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． （3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省青岛市崂山区育才学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中：，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，掌握无理数的定义是解题的关键． 先化简，再根据无理数的定义即可判断求解，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，逐一判断每个数． 【详解】解：是分数，有理数； 是循环小数，可化为分数，有理数； 可化为，有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，无理数； 是整数，有理数； ，是整数，有理数； 是无理数，仍无理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，无理数． 无理数有、、，共3个． 故选：A． 2. 如果用a、b、c表示的三边，那么分别满足①；②；③；④，下列条件的三角形中，直角三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理（若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形）与三角形内角和为是解题的关键． 利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个条件是否符合直角三角形的定义． 【详解】解：①，整理得， ∴①能判定直角三角形， ②，， ∴，化简得， 即， ∴②能判定直角三角形， ③∵， 设、、， 则， ∴③能判定直角三角形， ④∵， 设、、， 则， 解得， ∴，，，三个内角均不为， ∴④不能判定直角三角形， ∴能判定直角三角形有3个， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 是的平方根 B. 的平方根是 C. 立方根等于本身的数是0和1 D. 2是的算术平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、因为平方根在实数范围内仅针对非负数，而是负数，所以没有平方根，错误； B、，因为3的平方根是，不是，错误； C、立方根等于本身的数是，错误； D、，因为4的算术平方根是2，所以2是的算术平方根，正确． 故选：D． 4. 若点在x轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，熟练掌握“x轴上点的纵坐标为0”以及“各象限内点的坐标符号规律”是解题的关键． 先利用x轴上点的坐标特征求出的值，再代入得到点的坐标，最后根据象限内点的坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为即， ∵点的横坐标，纵坐标 ∴点在第三象限 故选：C． 5. 在同一平面直角坐标系内，已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 线段 B. 直线轴 C. 点A与点B关于y轴对称 D. 线段AB的中点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．∵点，，纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线轴，故B正确，符合题意； C．点A关于y轴的对称点为，故C错误，不符合题意； D．线段AB的中点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特点，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的特点． 6. 如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，先根据正方形的性质，得出，则，因为点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），故点所表示的数为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的面积为5 ， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧）， ∴点所表示的数为，即 故选：D 7. 关于函数，下列说法正确的是（） A. 经过第一、二、四象限 B. 若函数图象经过点，，则 C. 由的图象向下平移个单位得到 D. 与轴的交点的坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合 熟练掌握一次函数图象和性质，一次函数的增减性，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，是解题的关键． 根据一次函数的性质，，函数图像经过第一、三、四象限，且y随x增大而增大；平移规律为上加下减；与x轴交点令求解，逐一判断即得． 【详解】A、∵中，， ∴函数图像经过第一、三、四象限， 故A错误； B、∵， ∴y随x增大而增大， 又∵， ∴， 故B错误； C、∵向下平移1个单位得， ∴C正确； D、令，得，解得， ∴与x轴交点为， 故D错误． 故选：C． 8. 一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，求出两个一次函数图象的交点，据此进行判断即可． 【详解】解：由得， ， ∵两直线不重合， ∴， ∴， ∴两条直线交点的横坐标为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 9. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 10. 的平方根是______  ，的倒数是______  ，的绝对值是______  ． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、倒数、绝对值的运算，熟练掌握平方根的定义、倒数的化简方法（分母有理化）、绝对值的性质是解题的关键．分别根据平方根、倒数、绝对值的定义，依次计算三个空的结果． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是； ∵，， ∴的倒数是； ∵， ∴的绝对值是 故答案为：；；． 11. 比较大小______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“分母相同的分数，分子大的分数值大”以及二次根式的估值方法是解题的关键． 两个分数分母相同，只需比较分子的大小，即可确定分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． ∴． 12. 若实数m、n满足|m﹣6|+＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 _____． 【答案】10或8 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出m、n，再分情况求解即可． 【详解】解：∵|m﹣6|+＝0，且|m﹣6|≥0，≥0， ∴m＝6，n＝8． ①当m，n是直角边时， ∴直角三角形的斜边＝， ②当m＝8是斜边时，斜边为8， 故答案为：10或8． 【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 【答案】10 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得： x2﹣（x﹣4）2＝82， 解得：x＝10 答：绳索长为10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握知识点是解题关键． 14. 已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD=10，AB=8，那么AE=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠B=∠C=∠D=90°， ∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点， ∴AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°， ∴， ∴CF=4， ∵EF=DE=8-CE， ∴(8-CE)2=42+CE2， ∴CE=3， ∴EF=5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 15. 如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过四个面，则所需捆绑线绳的长至少为__________ 【答案】 【解析】 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． 展开后由勾股定理得：AD2=122+82， 故AD=dm． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算对应的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，…， ∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）． 进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处． ∴是第组的最后一个点． ∴的坐标为 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （3）先根据二次根式的乘除法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （4）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 18. 在如图方格纸中，每个小方格的边长为请按要求解答下列问题： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，同时以格点为顶点，画一个三角形，使它的边长，； （2）作关于轴的轴对称图形不要求写作法，直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图，平面直角坐标系，即为所求； （2）如图，即为所求；面积为 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）构建平面直角坐标系，作出，两点，再根据，，作出点即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．再利用分割法求出三角形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：． 19. 根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 （1）的平方根是______，______， ______； （2）若这个数的整数部分为，求的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及表格中数据的对应值是正确解答的关键． （1）根据平方根、算术平方根的定义以及表格中数据的对应值进行解答即可； （2）根据表格中数据的对应值，估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：由表可得，所以316.84的平方根是； ； ； 故答案为：；；； 【小问2详解】 由表格中数据的对应值可知，，且，可得， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 20. 如图，已知等腰中，，，是边上一点，且， （1）求的长； （2）求中边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则，再根据勾股定理求出的长即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：，，，， ， 是直角三角形，且， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是 21. 我市为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，对居民用水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是某户居民某月用水量x吨与水费y元的函数图象水费按月结算 （1）填空：我市居民用水价目表； 每月用水量吨 单价元 元/吨 ______元/吨 ______元/吨 （2）当时，写出水费元与用水量x之间的关系式； （3）小明家因家庭装修11月的水费共元，求小明家11月份的用水量． 【答案】（1），8 （2） （3）小明家11月份的用水量为吨 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）根据图象数据，列式计算即可； （2）结合（1）可列出函数关系式； （3）判断小明家11月份的用水量超过17吨，再列方程解答即可． 【小问1详解】 解：元/吨，(元/吨， 当时，单价为元/吨，当时，单价为8元/吨； 故答案为：，8； 【小问2详解】 解：当时，， 水费元与用水量x之间的关系式为； 【小问3详解】 解：由图象可知，小明家11月份的用水量超过17吨， 根据题意得：， 解得， 小明家11月份的用水量为吨． 22. 如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题, ，(是的面积； ，(是的面积； ，(是的面积； （1）______，______，______；用含n的代数式表示 （2）求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及勾股定理，能根据题意得出及熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，再根据，，，…，的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， ； 因为，，，，…， 所以 故答案为：5，1，； 【小问2详解】 解：由（1）知， 原式 ． 23. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与x的函数关系式为______； （2）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程时间和路程=速度时间计算即可； （2）根据功率=电量时间和剩余电量=最初电量功率行驶时间计算即可； （3）求出剩余电量为总电量的时对应x的值，从而求出对应s的值即可． 【小问1详解】 解：该新能源汽车的行驶速度为， 与x的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 该新能源汽车的功率为， 与x的函数关系式为 由题意，电量，即， ， ； 【小问3详解】 当时，即， 解得， 当时，． 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 24. 在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. （1）请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （2）下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； （3）已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 【答案】（1）①0； ②如图， （2）①③ （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，画函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）①把代入即可求得的值；②描点、连线即可； （2）根据图象判断即可； （3）根据函数解析式求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 ①把代入得， ， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 观察图象： ①此函数图象关于轴对称，正确； ②当时，函数有最小值为，故错误． ③当时，随的增大而增大；则，随的增大而增大，故正确； 故答案为：①③； 【小问3详解】 的图象上有一点， ， 或， 或， 的图象与轴的交点为点，在轴上存在一点，使面积为， ， 当时，， 此时或； 当时，， 此时或． 综上所述，或或或． 25. 综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． （3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点P的坐标为或 （3）存在，M点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $