精品解析：河南省周口市商水县第二高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度高一上数学12月月考 一､单选题（共40分） 1. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，命题“，使有实根”的否定是（ ） A. ，使无实根 B. ，使有实根 C ，使无实根. D. ，使有实根 4. 设，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则使得成立的取值范围为（ ） A. B. C D. 8. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共18分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 的图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，，都有 11. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 函数的图像必过定点 B. 函数与函数的图象关于轴对称 C. 函数单调递增区间是 D. 函数，若，则 三､填空题（共15分） 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______． 13. 已知，集合，则______． 14. 已知函数，则______． 四､解答题（共77分） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知（，且）. （1）求定义域并判断的奇偶性； （2）若在区间内的最大值为2，求. 17. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 18. 为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”.其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 0 20 40 0 2400 4400 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：（），则这辆车在国道上和在高速路上行驶速度分别为多少时，才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上数学12月月考 一､单选题（共40分） 1. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法来判断不等式的推出关系，从而可判断充要关系. 【详解】由于， 当且，可得，此是“且”是“”的充分条件， 当，也可得且， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用集合并集与补集的定义与运算法则，即可求解. 【详解】由全集，集合，可得， 又由集合，所以. 故选：B. 3. 设，命题“，使有实根”的否定是（ ） A. ，使无实根 B. ，使有实根 C ，使无实根. D. ，使有实根 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合全称命题的否定为存在性命题，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题的否定为存在性命题，可得命题“，使有实根”的否定为“，使无实根”. 故选：C. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 6. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 7. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明函数是偶函数，在是减函数，然后由奇偶性、单调性转化求解． 【详解】易知的定义域为， ，所以是偶函数， 当时，为减函数，为增函数，所以为减函数， 则等价于，所以， ，解得或. 故选：B 8. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 二､多选题（共18分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，化成弧度是，A选项正确. B选项，关于的不等式的解集为， ，所以B选项错误. C选项，命题“，”的否定是，， C选项正确. D选项，若一扇形的弧长为2，圆心角为即， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积为，D选项错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 的图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域求法判断A；根据图象变换判断B；利用配凑法求得的解析式，判断C；根据基本不等式判断D. 【详解】对于A，由函数的定义域为，得函数中，所以. 所以函数的定义域为.故A错误； 对于B，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到. 因为的图象关于点中心对称，所以关于点中心对称.故B正确； 对于C，函数，所以. 故C正确； 对于D，因为函数，且， 所以，. 因为，， 所以. 所以，所以. 即.故D正确. 故选：BCD. 11. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 函数的图像必过定点 B. 函数与函数的图象关于轴对称 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；由指数函数的图象与性质，可判定B正确；根据对数函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定C错误；设函数，求得为奇函数，得到，进而求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，令，可得， 所以函数的图像必过定点，所以A正确； 对于B，由指数函数的图像与性质，可得函数与函数的图像关于轴对称，所以B正确； 对于C，由函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为， 令，可得在单调递减，在单调递增， 又函数为增函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得的单调递增区间为，所以C错误； 对于D，由，设， 则，所以函数为奇函数， 因为，即，可得， 则， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题（共15分） 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据R上的奇函数特征易得和，代入即得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，则． 故答案为：. 13. 已知，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等，结合元素的互异性求参数，进而确定目标式的值. 【详解】由题设，若，则不满足元素的互异性， 所以，显然满足题设， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，则，进而可得解. 【详解】由已知，则， 则， 设， 则， 即， 则， 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. 【小问2详解】 解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 16. 已知（，且）. （1）求定义域并判断的奇偶性； （2）若在区间内的最大值为2，求. 【答案】（1），偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，建立不等式组，求得其定义域，根据奇偶性的定义，可得答案； （2）由对数运算整理函数解析式，根据二次函数与对数函数单调性，结合复合函数的单调性，利用分类讨论，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由函数，则，解得，故函数的定义域为. 函数的定义域的关于原点对称，且，所以函数为偶函数. 【小问2详解】 由函数，且函数在上单调递减， 则当时，函数在上单调递增，故在上的最大值为， 由题意可得，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为， 由题意可得，解得，不符合题意. 综上所述，. 17. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）；当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. 【小问1详解】 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数. 小问2详解】 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. 【小问3详解】 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 18. 为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1） （2）方案①比较合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数模型，由题意列出函数关系式即可； （2）根据基本不等式和二次函数求最值的方法，求出两种方案的最大获利金额，进而根据实际情况，选出结果即可. 【小问1详解】 根据题意可得； 【小问2详解】 ①年平均盈利额为， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即使用7年后，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元； ②可知，当时，盈利额达到最大值， 该设备可获利万元， 因为两种方案企业获利总额相同，但方案①所用时间较短，所以方案①比较合理． 19. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”.其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 0 20 40 0 2400 4400 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：（），则这辆车在国道上和在高速路上行驶速度分别为多少时，才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择， （2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式； （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 对于，当时，它无意义，所以不合题意， 对于，易知是减函数， 由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意， 所以选，由表中数据可得， 解得，，所以当时，. 【小问2详解】 国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 因为，所以当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $