精品解析：江苏省扬州市高邮市2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学期中调研试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 9的平方根是，用下列式子表示正确的是 A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）． A. ，， B. C. D. 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ） A. B. 4 C. 12 D. 7. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共30分） 9. ______． 10. 近似数精确到____位． 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 12. 已知点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是2，则点的坐标为_________． 13. 如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是____． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，B、D、C在一条直线上，若，则的大小为_______________°． 15. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是______． 16. 如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为_________． 17. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 18. 如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____． 三．解答题（共96分） 19. 求下列各式中实数x的值： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 已知的算术平方根为，的立方根为，是的整数部分，求的算术平方根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上求作一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为 ． 23. 如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 25. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图1中的边上找一点D，连接，使． （2）在图2中的边上找一点E，连接，使点E到和所在直线的距离相等． （3）在图3中画出点A关于的对称点F． 26. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： （1）求证：； （2）求四边形的面积． 27. 对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：若点P满足，则称P为线段的“轴点”，其中，当时，称P为线段的“远轴点”；当时，称P为线段的“近轴点”． （1）如图1，点A，B的坐标分别为，则在中，线段的“近轴点”是． （2）如图2，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，． ①若P为线段的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围； ②点C为y轴上的动点（不与点B重合且），若Q为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点Q的坐标． 28. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中调研试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有（相邻两个8之间6的个数逐次加1）共3个， 故选：B． 3. 9的平方根是，用下列式子表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）． A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，∵， ∴为直角三角形， 选项A不符合题意； B中，∵， ∴设，，， ∵， ∴为直角三角形， 故选项B不符合题意； C中，∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故选项C不符合题意； D中，∵， ∴设，则，， 故， 解得， ∴，，， ∴是锐角三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ） A. B. 4 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，根据此性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且对称点为， ∴，且， 解得，， ∴； 故选D． 7. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：，，的周长为7， ∴， ， A、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； D、记两弧交点为， 由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（每题3分，共30分） 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 近似数精确到____位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，近似数，用科学记数法表示的数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 要确定精确到哪一位，首先要把这个数还原，然后看末尾的数字在还原的数中的数位即为所求，据此求解即可． 【详解】解：， 故近似数精确到百位， 故答案为：百． 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 12. 已知点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是2，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第四象限内点得横坐标是正数，纵坐标是负数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴点横坐标是2，纵坐标是-3， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内坐标的符号，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键． 13. 如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 则点P到原点的距离为：， 所以点P表示的数为：， 故答案为：． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，B、D、C在一条直线上，若，则的大小为_______________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查三角形旋转的性质，掌握旋转后图形大小相同，理解、、在一条直线上得出等腰三角形，并根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解是关键． 将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上，可知，即等腰三角形，则，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 在等腰三角形中，， 故答案是：． 15. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图， 由勾股定理得：，，， ∴； ∴正方形的面积， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作的延长线于，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值． 取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小． 【详解】取的中点，连接， ∵， ∴是直角三角形，是的斜边， ∴ ∵， ∴． 连接， ∵是中点， ∴． 又因为，， 在中，根据勾股定理 观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有 ∵、，得： ∴的最小值为． 三．解答题（共96分） 19. 求下列各式中实数x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用立方根和平方根的性质解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算法则． （1）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据立方根的定义求解； （2）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据平方根的定义求出的值，进而求出的值． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， 或． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算； （1）根据算术平方根和立方根的定义化简各个式子，再计算即可； （2）根据零指数幂和算术平方根化简后再计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 21. 已知的算术平方根为，的立方根为，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和无理数的估算，根据算术平方根、立方根的定义可求出的值，利用夹逼法可求出的值，进而得到的值，最后根据算术平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的算术平方根为，的立方根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上求作一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称作图，坐标与图形，轴对称的性质，一次函数的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小，求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图形可知，点的坐标为； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得：， 则直线的解析式为， 令，则，解得：， 即点P的坐标为． 23. 如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ． 24. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图1中的边上找一点D，连接，使． （2）在图2中的边上找一点E，连接，使点E到和所在直线的距离相等． （3）在图3中画出点A关于的对称点F． 【答案】（1） 如下图即为所求作； （2） 如下图即为所求作； （3） 如下图点F即为所求作； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及其作法、平行线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形中线的性质，取格点M、N，连接交于点D，再连接即可； （2）取格点P，使，连接交格点于Q，则，连接交于点E，根据等腰三角形性质得出平分，则点E到和所在直线的距离相等； （3）先过点A作于点O，延长到点G，使，分别过点A、G作，且，交于点F，根据两平行线间的距离等于两平行线间的距离可得，则点A关于的对称点F． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 27. 对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：若点P满足，则称P为线段的“轴点”，其中，当时，称P为线段的“远轴点”；当时，称P为线段的“近轴点”． （1）如图1，点A，B的坐标分别为，则在中，线段的“近轴点”是． （2）如图2，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，． ①若P为线段的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围； ②点C为y轴上的动点（不与点B重合且），若Q为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或；② 【解析】 【分析】先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案： (2)①先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案； ②先判断出点在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可. 【小问1详解】 解：如图，作等边， 点的坐标分别为, 在中，, 点, 同理可得：, 当点在线段上时，点是“近轴点”， 和是”近轴点”， 故答案为：; 【小问2详解】 解：①如图2-1， 以为边作等边， 设,则, 在中，, 解得(舍负)， 在等边中， 点的坐标为, 同理可得, 若为线段的“远轴点”， 点的横坐标的取值范围为或. 故答案为：或. ②如图2-2，由题意点在线段的垂直平分线上.连接. 点在的垂直平分线上， 根据垂线段最短可知：当共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点就是的垂直平分线与轴的交点, 在的垂直平分线上， , 点的坐标为, 当点的坐标为时，的值最小， 故答案为：. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，的特殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 28. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3） 解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $