21.3.1.2 矩形的判定-课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，通过复习矩形定义及边、角、对角线性质导入，引导学生从性质逆命题猜想判定方法，搭建旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点是以“性质→逆命题→猜想→证明→判定”为主线，结合工人测量门窗对角线等实例培养数学眼光，通过证明过程发展数学思维，课堂练习规范数学语言。小结系统归纳判定方法，助学生构建知识网络，教师可提升教学效率，学生能深化理解并培养探究能力。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十一章 四边形 21.3.1.2 矩形的判定 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 复习回顾 问题1：矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2：矩形有哪些性质？ 矩形 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相平分且相等 21.3.1.2 矩形的判定 教学课件教学过程内容 第1页：复习回顾，导入新课 1. 回顾矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。引导学生明确矩形的本质是“特殊的平行四边形”，特殊之处在于“一个角是直角”。 2. 回顾矩形的性质：（1）边：对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：相等且互相平分。 3. 导入问题：我们已经知道了矩形的定义和性质，那么反过来，如何判定一个平行四边形是矩形？除了利用定义，还有没有其他的判定方法？今天我们就来探究矩形的判定。 第2页：探究一：基于定义的矩形判定 1. 定义判定法的梳理：根据矩形的定义，“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这是矩形最基本的判定方法。 2. 几何语言表述：已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，则四边形ABCD是矩形。 3. 思考辨析：（1）“有一个角是直角的四边形是矩形吗？”引导学生画图举例（如直角梯形），明确需强调“平行四边形”这个前提；（2）“有两个角是直角的四边形是矩形吗？”同样通过画图辨析，强化前提条件的重要性。 第3页：探究二：对角线相等的平行四边形是矩形 1. 提出猜想：结合矩形性质“对角线相等”，引导学生猜想“对角线相等的平行四边形是矩形”。 2. 逻辑证明：已知：如图，在▱ABCD中，AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。 证明过程引导：由平行四边形性质知AB=CD，AB∥CD，结合AC=BD，AD=DA，可证△ABD≌△DCA（SSS），得∠BAD=∠CDA；又因AB∥CD，∠BAD+∠CDA=180°，故∠BAD=90°，根据定义可判定▱ABCD是矩形。 3. 结论总结：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形。 4. 辨析：“对角线相等的四边形是矩形吗？”引导学生举例（如等腰梯形），明确需“平行四边形”前提。 第4页：探究三：有三个角是直角的四边形是矩形 1. 提出问题：如果一个四边形有三个角是直角，它是不是矩形？ 2. 推导过程：（1）由四边形内角和为360°，若三个角是直角，则第四个角=360°-3×90°=90°，即四个角都是直角；（2）有三个角是直角的四边形，对边必然平行（同旁内角互补，两直线平行），故该四边形是平行四边形；（3）结合矩形定义，可判定为矩形。 3. 结论总结：有三个角是直角的四边形是矩形。几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。 第5页：矩形判定方法汇总 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 2. 方法辨析：引导学生区分“平行四边形”为前提的判定（定义法、定理1）和直接判定四边形为矩形的方法（定理2），明确不同场景下的选择思路。 第6页：例题解析（一） 例题1：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求∠OAB的度数。 分析引导：（1）由平行四边形性质知OA=OC，OB=OD，结合OA=OD，得OA=OB=OC=OD，即AC=BD；（2）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定▱ABCD是矩形；（3）由矩形性质知∠DAB=90°，故∠OAB=∠DAB-∠OAD=90°-50°=40°。 解答过程板书：（规范几何语言表述，强化步骤完整性） 第7页：例题解析（二） 例题2：求证：四个角都相等的四边形是矩形。 分析引导：（1）设四边形四个角为∠A、∠B、∠C、∠D，由题意∠A=∠B=∠C=∠D；（2）四边形内角和360°，故每个角=90°；（3）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可证结论。 证明过程书写：（强调逻辑严谨性，规范几何证明格式） 第8页：课堂练习（基础巩固） 1. 判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√，提示：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合对角线相等判定） 2. 填空题：在▱ABCD中，若∠A+∠C=180°，则∠A=____°时，▱ABCD是矩形。（答案：90，提示：平行四边形对角相等，故∠A=∠C，结合和为180°得∠A=90°） 3. 解答题：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1=∠2。求证：▱ABCD是矩形。（提示：由∠1=∠2得OA=OB，结合平行四边形对角线互相平分得OA=OC，OB=OD，故AC=BD，进而判定矩形） 第9页：课堂小结 1. 矩形的三种判定方法（定义法、定理1、定理2）及对应的几何语言； 2. 判定矩形的关键思路：要么先证是平行四边形，再添加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件；要么直接证四边形有三个角是直角； 3. 易错点提醒：注意判定方法的前提条件，避免忽略“平行四边形”而直接判定。 情景导入 问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 思考：你还有其他的判定方法吗？ A B C D 探究新知 探索新知 性 质 猜 想 判定定理 逆命题 证明 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？ 探究新知 同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 注意对角线相等的四边形不一定是矩形. 等腰梯形的两条对角线也相等. 探究新知 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D O 证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC=∠DCB . ∵ AB∥CD， ∴∠ABC +∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC=90°. ∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义). 尝试证明 探究新知 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 且 AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D O 归纳总结 矩形的判定定理1： 探究新知 数学来源于生活 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 探究新知 练 习 如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积. A B C D O 提示： （方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC. （方法二）S▱ABCD = 4 S△OAB . 【选自教材第71页 练习 第2题】 探究新知 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 又△OAB 是等边三角形，AB = 2， ∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4， ∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°. 在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= = = 2 ， ∴S矩形ABCD = AB·BC =2×2 = 4 . ∴AO = CO= AC，BO = DO = BD . A B C D O 探究新知 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形. 成立. 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 一个直角 两个直角 三个直角 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 探究新知 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD . ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠B = 90°，∴四边形ABCD是矩形. 尝试证明 探究新知 有三个角是直角的四边形是矩形. 归纳总结 矩形的判定定理2： A B C D 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. 探究新知 练 习 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ） B 课堂练习 2.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：由四边形的内角和为360°， 得∠A+∠B+∠C+∠D=360°. ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 【选自教材第71页 练习 第1题】 课堂练习 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形. 例 2 分析：根据已知条件，容易证明 四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角， 同理可证∠H，∠AEB 也为直角， 从而证明四边形 EFGH 是矩形. 探究新知 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD . ∴∠BAD + ∠ADC = 180°. 又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC = (∠BAD + ∠ADC) = 90°. ∴∠F = 90°. 同理∠H = ∠AEB = 90°. ∴∠FEH = ∠AEB = 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 探究新知 练 习 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形. 【选自教材第71页 练习 第3题】 课堂练习 证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB . ∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE. ∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD. 在△AEF 和△DEB 中， ∠AEF = ∠DEB， AE = DE， ∠EAF = ∠EDB， ∵AB = AC，D 是 BC 的中点， 又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形. 又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形. ∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC. 课堂练习 归纳总结 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定. 四边形 有三个角是直角 矩形 对角线互相平分且相等 矩形 平行 四边形 对角线相等 矩形 有一个角是直角 矩形 探究新知 返回 1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是(　　) A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 A 中考考法 22 返回 2．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取一个作为补充条件，使▱ABCD为矩形，其中错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ A 中考考法 23 返回 3．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是__________． AC⊥BD 中考考法 24 返回 4．一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(数据如图，单位：mm)．则在图③时，点B，D之间的距离为________mm. 20 中考考法 25 返回 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF．当∠ACB为________°时，四边形ABFE为矩形． 60 中考考法 26 矩形的判定方法 从四边形来判定 从平行四边形来判定 矩形的常用判定方法 定义法 判定1 判定2 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 课堂小结 谢谢观看！ $