专题10一元一次方程期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学一元一次方程期末复习讲义通过表格梳理核心知识点，以框架图呈现知识内在逻辑，系统整合方程定义、等式性质、解法步骤及易错点，清晰展示从概念理解到运算应用的递进关系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层设计11类常考题型，如“已知方程的解求参数”培养抽象能力，“绝对值方程的解法”提升运算能力，结合典例与跟踪专练强化模型意识。压轴题助力学生突破难点，易错点警示帮助规避错误，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题10一元一次方程期末复习冲刺必备讲义 1.理解方程、一元一次方程的概念，能准确判断给定式子是否为一元一次方程。 2.掌握等式的基本性质，并能运用性质进行等式变形。 3.熟练掌握一元一次方程的常规解法步骤，能准确求解一元一次方程。 4.能解决与一元一次方程解法相关的基础变式问题，提升运算能力。 期末必备 知识点梳理 1.认识方程 2.等式的基本性质 3.一元一次方程的解法 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.判断各式是否为方程 2.根据数量关系列方程 3.已知方程的解.求参数 4.判断是否为一元一次方程 5.等式的基本性质及应用 6.解一元一次方程:合并同类项与移项 7.解一元一次方程:去括号 8.解一元一次方程:去分母 9.已知一元一次方程的解,求参数 10.一元一次方程解的关联分析 11.绝对值方程的解法 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.认识方程】 1.方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 两个关键要素：① 是等式（含有等号）；② 含有未知数。 举例：2x+3=7 是方程；2x+3（不是等式）、3+4=7（无未知数）都不是方程。 2.一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 三个关键条件： 1 只含一个未知数； 2 未知数的最高次数为 1； 3 是整式方程（分母不含未知数）。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b 为常数）。 举例：3x−5=0 是一元一次方程；x2+1=5（次数为 2）、+2=3（分母含未知数）都不是一元一次方程。 3.方程的解 使方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；一元一次方程的解也叫做根。 检验方法：将未知数的值代入方程两边，分别计算左右两边的值，若左边 = 右边，则该值是方程的解。 举例：检验 x=2 是否为 2x−1=3 的解：左边=2×2−1=3，右边=3，左边 = 右边，故x=2是方程的解。 【知识点02.等式的性质】 等式的基本性质是解方程的理论依据，具体内容如下： 1.性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数（或同一个整式），所得结果仍是等式。 若a=b，则a±c=b±c（c 为任意数或整式）。 应用：移项（把方程中的某一项改变符号后，从等号的一边移到另一边），如方程3x+2=5变形为3x=5−2。 2.性质 2 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0的数，所得结果仍是等式。若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则=。 注意：除以一个数时，除数不能为 0，这是解方程中容易出错的点。 3.拓展性质 若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）；若 a=b，则 b=a（等式的对称性）。 【知识点03.一元一次方程的解法】 解一元一次方程的核心思路是化归思想：通过变形，将方程逐步转化为 x=a（a 为常数）的形式。 1. 常规解法步骤（以方程 −x=1为例） 步骤 具体操作 注意事项 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。例：两边乘 3 得 2x−1−3x=3 ① 不要漏乘不含分母的项；② 分子是多项式时，去分母后要加括号 去括号 利用去括号法则（括号前是 “+”，去括号后各项不变号；括号前是 “-”，去括号后各项变号） 例：无括号，跳过此步 ① 不要漏乘括号内的每一项；② 注意符号变化 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号例：2x−3x=3+1 移项必须变号，不移项的项保持符号不变 合并同类项 分别合并等号两边的同类项，化为ax=b（a≠0）的形式 例：−x=4 合并同类项时，系数相加，字母和次数不变 系数化为 1 方程两边同时除以未知数的系数 a，得到方程的解x= 例：两边除以−1得x=−4 除以系数时，注意系数的符号；若系数为分数，可乘其倒数 2. 特殊方程的解法技巧 含小数的方程：先利用分数的基本性质，将小数化为整数，再按步骤求解。 例：解方程 0.5x−0.3=0.2x+0.1，可两边同乘 10 得 5x−3=2x+1。 含括号且括号前有系数的方程：先利用分配律去括号，再后续求解。 例：解方程 2(x−1)−3(2x+3)=0，去括号得 2x−2−6x−9=0 【知识点03.易错点警示】 1. 判断一元一次方程时：忽略 “整式方程” 条件，误将分母含未知数的方程 （如=3）当作一元一次方程。 2.去分母时：漏乘不含分母的项，如解方程 =x−1时，两边乘 2 误写成 x+1=x−1。 3.移项时：忘记变号，如方程 3x+2=5x−1 移项误写成 3x+5x=−1−2。 3.系数化为 1 时：混淆乘除运算，如方程 −2x=6 误解得 x=3（正确解为 x=−3）。 【题型1.判断各式是否为方程】 【典例】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是解决本题的关键． 根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：，不是等式，故不是方程，不符合题意； B：，是不等式，不是等式，故不是方程，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，故不是方程，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，故是方程，符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 【题型2.根据数量关系列方程】 【典例】“比的倍大的数等于的一半”，用式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程，读懂题意是解决问题的关键． 首先表示“比的倍大的数”为，然后表示“的一半”为，最后建立等量关系即可得到答案． 【详解】解：“比的倍大的数等于的一半”，用式子表示为， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【跟踪专练2】小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是 ．（写数字） 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 【题型3.已知方程的解,求参数】 【典例】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程建立关于的方程． 根据方程的解的定义，把代入方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 即． 故答案为4． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 【题型4.判断是否为一元一次方程】 【典例】已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念的应用，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，解得；当时，解得， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， ∴m的值为1． 故答案为：1． 【跟踪专练1】在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是根据定义确定未知数的指数和系数的限制条件． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为0，据此列出关于的条件并求解． 【详解】解：由题意，方程是关于x的一元一次方程， 因此且， 解，得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 故m的值为1． 故答案为：1． 【题型5.等式的基本性质与应用】 【典例】下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质和解方程的基本变形．根据等式的性质逐一判断每个选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A．，两边同时除以2应得，但选项得，常数项错误，故原变形错误； B．，化简得，即，但选项得，即，矛盾， 故原变形错误； C．，当时，a和b不一定相等，变形不一定成立，故原变形错误； D．，两边同时除以7，得，故原变形正确， 故选：D． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为，并利用等式性质，分和 两种情况讨论即可． 【详解】解：设，则 （1） （2） （3） 将（1）、（2）、（3） 相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从（1）式得，代入 ， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】下列描述正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．的系数是，次数是4 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念、单项式的系数与次数、等式的基本性质等基础知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据有理数的概念、单项式的系数与次数、等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：有理数的定义是“整数和分数统称有理数”，也可以说“正有理数、0和负有理数统称有理数”，选项A漏掉了“0”，因此选项A错误； 对于单项式，系数是单项式中的数字因数，即，次数是所有字母的指数和，x的指数是1，y的指数是2，总次数为，选项B的系数漏掉了，次数计算错误，因此选项B错误； 若，在等式两边同时减1，根据等式的基本性质，等式仍然成立，，即两边同时乘以，等式仍成立，因此C正确； 若，当时，和的分母为0，无意义，因此不能直接得出，因此D错误； 故选：C． 【题型6.解一元一次方程:合并同类项与移项】 【典例】如果是关于的一元一次方程，那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义可以求出，从而可知方程为，再求出方程的解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， ， ， ， 或， 解得：或， ， ， 方程为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若是方程的解，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程可得： ， 整理得：， 解得：． 故选：A． 【跟踪专练2】已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是：正确理解一元一次方程的定义． 先根据一元一次方程的定义求出k，从而得出这个一元一次方程，再解这个一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得：，， 且， 所以：， ， ． 故答案为：． 【题型7.解一元一次方程:去括号】 【典例】定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算．根据运算定义，，代入表达式并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 解得：． 故选：A． 【跟踪专练1】小刚在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则的值应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解． 根据错误去分母的方程，代入求解a即可． 【详解】解：小刚去分母时，方程右边的“”项没有乘6，因此得到的错误方程为． 将代入错误方程，得， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2.】下列方程变形正确的是（   ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程去分母，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形（系数化为1、移项、去括号、去分母），熟练掌握等式的基本性质及方程变形的规则是解题的关键． 根据一元一次方程变形（系数化为1、移项、去括号、去分母）的规则，逐一验证各选项的变形是否正确． 【详解】解： 方程，系数化为1，应得，而非，故A项错误 方程，移项，应得，而非，故B项错误 方程，去括号，应得，而非，故C项错误 方程，去分母（两边同乘6），得，故D项正确 故选：D． 【题型8.解一元一次方程:去分母】 【典例】已知：关于x的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，把解代入到，进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， 把代入，得，解得； 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的一元一次方程的解相同，则该方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义和一元一次方程的同解问题，根据一元一次方程的定义，求出a的值，再代入方程求解，利用解相同求出b，从而得到解． 【详解】∵ 方程 为一元一次方程， ∴ 且 ， ∴且， ∴ ， 代入方程，得 ，即 ， ∴， 又 ∵ 该方程的解与方程 的解相同， ∴ 将 代入第二个方程，得： ， 解得：， ∴ ， 故该方程的解为 ． 故选：D． 【跟踪专练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，分别求出两个方程的解，再列方程求解m． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； ， ， ； 由题意，方程的解之和为2， 即， 整理，得， 移项，得， 解得 ； 故答案为：18． 【题型9.已知一元一次方程的解,求参数】 【典例】若方程与关于x的方程的解相同，则a的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】B 【分析】本题主要考查同解方程，先求出方程的解，再代入方程中求解. 【详解】解：∵方程， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入， 得， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】若关于x的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解、等式的性质，根据方程有无数个解的条件是化简后x的系数和常数项均为0求解即可． 【详解】解：将方程两边同乘6得：， 移项整理得：， ∵方程有无数个解， ∴令x的系数和常数项均为0，得，， 解得：，， 故． 故答案为：3． 【跟踪专练2】若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程求得，再整体代入方程，据此计算即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴方程为， ∵， ∴， 故选：B． 【题型10.一元一次方程解的关联分析】 【典例】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解的定义，是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知解方程相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 令，则关于y的方程化为： ， ∵该方程与已知方程形式相同，且已知解为， ∴，即， 解得：． 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 【跟踪专练2】已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了方程的解，理解题意，是解题的关键．将关于y的方程进行变形，使其与关于x的方程形式一致，然后利用已知解求解． 【详解】解：关于y的方程 变形为： ， ∵关于x的方程 的解为：， ∴， 解得：． 故答案为：5． 【题型11.绝对值方程的解法】 【典例】点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查数轴，绝对值方程。根据点到原点的距离等于3，可列出绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：点A到原点的距离等于3， ∴ 或， 解得或， 故选：A． 【跟踪专练1】关于的方程的所有解的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的性质．根据绝对值的性质，原方程变形为或，然后分别求出方程的解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或； ∴方程的所有解的和为． 故答案为：8． 【跟踪专练2】当的值为 25 时，代数式的值是（ ） A．51 B．15 C．51 或 D．15 或 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义．由得出，将变形为，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴ 代数式的值为51或， 故选：C． 1．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 2．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 4．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义，得， 解得， 代入原方程，得， 符合一元一次方程的定义． 故答案为：1． 6．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 7．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 8．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值方程． 先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或或或， 即或或或． ∵， ∴． 即 ∵关于x的方程恰有三个解， ∴， ∴． 故选：B． 9．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 10．已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由， ， 则， ∵此方程有无数多个解， ∴，， 解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴； ②在外部， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 或． 11．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 12．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)4 (3)当时，为；当时，为；当时，为 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的运算，等式的性质，整式的加减等知识，理解新定义“关联数”是解题关键． （1）根据新定义进行运算即可求解； （2）根据，，，得到，即可求出； （3）分，，三种情况讨论，根据新定义化为整式加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 13．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的 步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的 步骤解方程即可 （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的 步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的 步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 14．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ②解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 15．如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题10一元一次方程期末复习冲刺必备讲义 1 期末复习目标 1.理解方程、一元一次方程的概念，能准确判断给定式子是否为一元一次方程 2.掌握等式的基本性质，并能运用性质进行等式变形。 3.熟练掌握一元一次方程的常规解法步骤，能准确求解一元一次方程。 4.能解决与一元一次方程解法相关的基础变式问题，提升运算能力。 期未复习内容概览 期末必备 1.认识方程 2.等式的基本性质 知识点梳 3.一元一次方程的解法 4.易错点警示 理 1.判断各式是否为方程 2.根据数量关系列方程 常考题型 3.己知方程的解.求参数 4.判断是否为一元一次方程 精讲精炼 5.等式的基本性质及应用 6.解一元一次方程：合并同类项与移 项 7.解一元一次方程：去括号 8.解一元一次方程：去分母 9.己知一元一次方程的解，求参 10.一元一次方程解的关联分析 数 11.绝对值方程的解法 期末备考 压轴题(15题) 压轴通关 3 期末必备知识点梳理 【知识点01.认识方程】 1.方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 两个关键要素：①是等式（含有等号）；②含有未知数。 试卷第1页，共3页 举例：2x+3=7是方程；2x+3(不是等式)、3+4=7（无未知数）都不是方程。 2.一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做 一元一次方程。 三个关键条件： ①只含一个未知数； ②未知数的最高次数为1： ③是整式方程（分母不含未知数）。 标准形式：ax+b=0(a≠0，a、b为常数)。 举例：3x-5=0是一元一次方程；2+1=5（次数为2）、是*2=3（分母含未知数) 都不是一元一次方程。 3.方程的解 使方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；一元一次方程的解也叫 做根。 检验方法：将未知数的值代入方程两边，分别计算左右两边的值，若左边=右 边，则该值是方程的解。 举例：检验x=2是否为2x-1=3的解：左边=2×2-1=3，右边=3，左边=右边， 故x=2是方程的解。 【知识点02.等式的性质】 等式的基本性质是解方程的理论依据，具体内容如下： 1.性质1 等式两边同时加（或减)同一个数（或同一个整式)，所得结果仍是等式。 若a=b,则a士c=b士c(c为任意数或整式)。 应用：移项（把方程中的某一项改变符号后，从等号的一边移到另一边），如方 程3x+2=5变形为3x=5-2。 2.性质2 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 若ab,则ac=bc;若a=b且c0,则是名。 3.拓展性质 试卷第1页，共3页 若a=b,b=c,则a=c(等式的传递性)；若a=b,则b=a(等式的对称性)。 【知识点03.一元一次方程的解法】 解一元一次方程的核心思路是化归思想：通过变形，将方程逐步转化为x=a(a 为常数)的形式。 1.常规解法步骤（以方程2-1-X=1为例） 步骤 具体操作 注意事项 去分 ①不要漏乘不含分母的 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母 母 例：两边乘3得2x-1-3x=3 项；②分子是多项式时， 去分母后要加括号 利用去括号法则（括号前是“+”， 去括号后各项 去括 ①不要漏乘括号内的每 号 不变号；括号前是“-”，去括号后各项变号) 项；②注意符号变化 例：无括号，跳过此步 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右移项必须变号，不移项的项 移项 边，移项要变号例：2x-3x=3+1 保持符号不变 合并 分别合并等号两边的同类项，化为ax=b(a0)的 合并同类项时，系数相加， 同类 形式例：-x=4 字母和次数不变 项 系数 方程两边同时除以未知数的系数a,得到方程的解 除以系数时，注意系数的符 化为 号；若系数为分数，可乘其 X贵 例：两边除以-1得x=-4 倒数 2.特殊方程的解法技巧 含小数的方程：先利用分数的基本性质，将小数化为整数，再按步骤求解。 例：解方程0.5x-0.3=0.2x+0.1,可两边同乘10得5x-3=2x+1。 含括号且括号前有系数的方程：先利用分配律去括号，再后续求解。 例：解方程2(x-1)-3(2x+3)=0,去括号得2x-2-6x-9=0 【知识点O3.易错点警示】 1. 判断一元一次方程时： 忽略“整式方程”条件，误将分母含未知数的方程 (如3)当作一元一次方程。 2.去分母时： 漏乘不含分母的项，如解方程+出=x-1时，两边乘2误写成x +1=x-1。 3.移项时：忘记变号，如方程3x+2=5x-1移项误写成3x+5x=-1-2。 3.系数化为1时：混淆乘除运算，如方程-2x=6误解得x=3(正确解为x=一3)。 试卷第1页，共3页 4 常考题型精讲精练 【题型1.判断各式是否为方程】 【典例】下列各式是方程的是() A.5+y B.4+x>9 C.5+6=11 D.5x=8 【跟踪专练1】(m-7)x+9=0是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 【跟踪专练2】下面式子中，是方程的是()· A.3x+2.5 B.x-0.8x=1.6 C.4.5+3.6=8.1 D.5x>6 【题型2.根据数量关系列方程】 【典例】“比m的5倍大3的数等于m的一半”，用式子表示为」 【跟踪专练1】下面不能用方程“二x+x=60”来表示的是(). B S梯=60cm2 60 15 共60cm 共60cm2 D 种蔬菜xcm 【跟踪专练2】小亮给同学们表演纸牌魔术.他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克 牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5（其中J记作11，Q记作 12,K记作13，A记作1)，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出的纸牌花色的代 号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同 学说出运算结果是78，这位同学抽出的纸牌点数是 (写数字) 【题型3.已知方程的解，求参数】 【典例】若关于x的一元一次方程4x2025 1 2 +b=2x+c- 的解为x=1,则关于y的 2025 一元一次方程ay+b=2y+c的解为y=() A.y=2025 2024 2023 2026 B.1 C.y= D.y= 2025 2025 【跟踪专练1】已知关于x的方程3x-2k=4的解是x=k,则k的值是 【跟踪专练2】若x=3是关于x的一元一次方程ax+b=4的解，则代数式 试卷第1页，共3页 (3a+b)+3(3a+b)-1的值是() A.18 B.19 C.27 D.28 【题型4.判断是否为一元一次方程】 【典例】己知(m-2)x2m--2=7是关于x的一元一次方程，则m的值为」 【跟踪专练1】在已知下列方程：①x-2=2,②0.3x=1,③；=5x-1,④22-3=0， 2 ⑤x=6,⑥x+y=0,其中是一元一次方程的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【跟踪专练2】己知(m+1)xm+2=0是关于x的一元一次方程，则m的值为 【题型5.等式的基本性质与应用】 【典例】下列变形正确的是() A.由8x+4=2x,得4x+4=x B.由5-x+1=0,得5-x=-1 C.由ax=bx,得a=b D.由3x=7y,得y=三x 7 【跟踪专练1】若abc≠0，则a+b-4c-a-4b+c=-4a+b+c_ b a 【跟踪专练2】下列描述正确的是() A正有理数和负有理数统称为有理数B。弓四的系数是子，次数是4 C.若a=b,则1-a=1-b D.若x=y,则=上 a 【题型6.解一元一次方程：合并同类项与移项】 【典例】如果(a-4)x-8=12是关于x的一元一次方程，那么方程的解是 【跟踪专练1】若x=-3是方程k(x+4)-3k+x=5的解，则k=() A.-4 B.1 C.-1 D.0 【跟踪专练2】已知方程(k-3)x2+2=k-1是关于x的一元一次方程，则方程的解为 x= 【题型7.解一元一次方程：去括号】 【典例】定义一种运算：a※b=2a-b,若x+2)※(x-1)=6,则x的值为() 试卷第1页，共3页 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【跟踪专练1】小刚在解方程x-+0-1去分母时，方程右边的“-1”项没有乘6。因而 3 2 求得的解是x=I6,则a的值应为 【跟踪专练2.】下列方程变形正确的是() A方程-=6，系数化为1，得x=6 B.方程2x-1=5x-3,移项，得2x-5x=3+1 C.方程5+4x-1=3,去括号，得5-4x+4=3 D.方程+1-1=3去分母，得3(x+)-6=2(x-3到 2 3 【题型8.解一元一次方程：去分母】 【典例】已知：关于x的方程)x-3-与3x+m)=m-1有相同的解，则1一 【跟踪专练1】已知关于x的方程(a-2)x+4b=0为一元一次方程，且该方程的解与关于 x的一元一次方程2红+1_b+1的解相同，则该方程的解是() 3 2 A.x=-2 B.x=-1 C.x=0 D.x=1 【跟踪专练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方 程、若关于x的方程+m=4与方程名0。-5互为成双方程，m的值为 64 【题型9.已知一元一次方程的解，求参数】 【典例】若方程3x-2=1与关于x的方程1-（2a-x)=0的解相同，则a的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 【跟踪专练1】若关于x的方程学x+1=+了有无数个解，则加+小的值为一 【跟踪专练2】若关于x的一元一次方程ax-c=2有一个解为2025，则方程2ax=2-a+c的 解为() A.1011 B.1012 C.1013 D.1014 【题型10.一元一次方程解的关联分析】 【典例】已知关于x的一元一次方程，x+3=2x+b的解为x=2,那么关于y的一元 2025 4 试卷第1页，共3页 次方程35-引+子2-6+6的解) 4 【跟踪专练1】己知关于x的一元一次方程，x。+5=2025x+m的解是x=19,那么关于y 2025 的一元一次方程-’+5=20255-y)+m的解是（) 2025 A.21 B.-14 C.23 D.24 【跟踪专练2】已知关于x的方程2024 -2024=2025m的解为x=2,则关于y的方程 2025 202 202 (y-3)-2025m=2024的解为y= 【题型11.绝对值方程的解法】 【典例】点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的 值为() A.-2或1 B.-2或2 C.-1或1 D.-1或2 【跟踪专练1】关于x的方程x-2-1-a=0(0<a<1的所有解的和为 【跟踪专练2】当2x+y+1的值为25时，代数式4x+2y+3的值是() A.51 B.15 C.51或-45 D.15或-9 期未备考压轴通关 1.下面说法正确的是(). A.方程5x+5=5的解是5 B.5x+5<5是方程C.等式一定是方程 D.方程一定是等式 2.甲袋有大米x千克，乙袋有大米y千克.如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米 一样重，下面等式不符合题意的是() A.x-6=y+6B.x-y=6 C.x-6×2=y D.x-y=6×2 3.整式mx-2n(m,n为常数)的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对 应的整式的值，则关于x的方程2n-mx=8的解为() 0 mx-2n A.x=2 B.x=-1 C.x=0 D.x=-2 试卷第1页，共3页 4.己知关于x的方程a2-9)x2+ax-3x+4=0是一元一次方程，则多项式： -4a2+7-3a+2a+1的值是 5.已知方程x2-+k=0是关于x的一元一次方程，则k的值为 6.若不论取什么实数，关于的方程3，-a_x+k-=1（a、b是常数)的解总是r=1, 32 则a+b= 7.如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等.图①、②所示的两个天平处于平 衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置() 8m0△△&凸四△△&日△、 ① ② ③ A.4个球 B.5个球 C.6个球 D.7个球 8.关于x的方程x-2022-1=a恰有三个解，则a的取值范围是() A.0<a<1 B.a=1 C.a>1 D.2022 9.定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如： 方程2x-1=3和x+1=0为美好方程.若关于x的方程， 2024x+1=0与、1 x-1=3x+k是“美 024 好方程，则关于y的方程2024+3引-1=36+9的解是 10.已知LA0B=25°，过点0作射线OC,OM平分∠C0A, B0C=m,且m,n使关于x的 ∠AOCn1 方程2mx-1=6x-3n有无数多个解，则∠B0M= 11.若(m-1x叫+2=0是关于x的一元一次方程 (1)求m的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断x=1是否为方程的解. 12.对于任意一个有理数x,把[x]称作x的关联数，并规定：当x≥0时，[x]=x-2;当 x<0时[x=x+2,例如：[0.5=0.5-2=-1.5. )-3+0]= (2)当a>0,b<0时，有a]=[b],求a-b的值： (3)化简：2[x]-[x+2]. 试卷第1页，共3页 13.解方程： (1)9-5x=3-2x: (2)5(x-5-2(x+1)=3: 6③3x+1-1-2x-1 2 4； ④0.5x+0.9+-5_001+0.02x 0.5 3 0.03 14.已知一个关于x的一元一次方程cx+d=0(c≠0，d为常数)，若这个方程的解恰好 为x=c+d或x=-c-d,则称这个方程为“幸福方程”.例如：-2x+4=0的解为x=2,而 -2+4=2,则方程-2x+4=0是“幸福方程， (1)下列方程是“幸福方程”的打“√”，不是“幸福方程”的打“×”： ①x-7=0() @-3r1=-号 (2)若关于x的方程2x+m=0是“幸福方程，求m的值； (3)若关于x的方程ax-b=0是“幸福方程”，求关于y的方程a(b-a)y+5=(-b+1)y的解 15.如图，数轴上有两条线段，AB=3,CD=2,点A表示的数是Q,点D表示的数是b, 且a、b满足a+12+(b-10)2=0. A B 0 cD→ (I)点A在数轴上表示的数是 ，点D在数轴上表示的数是 (②)若线段AB、线段CD分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动， 设运动时间为t秒，当t为何值时，点A与点D之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段AB、线段CD分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动， 与此同时，动点P从-25出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动.当P、D相遇时停 止运动，在运动过程中AC+mPD为定值，求出这个定值及m的值 试卷第1页，共3页