专题11一元一次方程的应用期末复习冲刺讲义(核心考点+常考题型精析)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学一元一次方程应用复习讲义通过表格系统分类15种核心题型，按“审题找等量-设元-列方程-求解-检验”六步解题流程构建知识框架，用对比表格呈现各题型核心公式与易错点，清晰梳理工程问题工作量关系、销售问题利润公式等重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型-方法-变式”三阶训练设计，如工程问题典例结合中途停工情境培养推理意识，销售问题通过利润率公式双向推导强化模型意识。每个题型配备基础巩固题与综合提升题，帮助学生分层掌握，教师可据此实施精准教学，提升学生用方程思想解决实际问题的能力。

专题11一元一次方程的应用期末复习冲刺讲义 1.能准确辨别实际问题中的等量关系，熟练列出一元一次方程。 2.掌握一元一次方程应用的六大核心题型，学会分类解题技巧。 3.提升用方程思想解决实际问题的能力，突破易错点和难点。 1.一元一次方程应用:工程问题 2.一元一次方程应用:销售问题 3.一元一次方程应用:比赛积分问题 4.一元一次方程应用:方案选择问题 5.一元一次方程应用:数字问题 6.一元一次方程应用:几何问题 7.一元一次方程应用:动点问题 8.一元一次方程应用:水电费问题 9.一元一次方程应用:行程问题 10.一元一次方程应用:比例分配问题 11.一元一次方程应用:日历问题 12.一元一次方程应用:古代问题 13.一元一次方程应用:其他问题 14.一元一次方程应用:配套问题 15.一元一次方程应用:和差倍分问题 1.审题找等量：提炼已知/未知量，锁定不变量、公式（路程/利润等）或固定关系，这是列方程的核心依据。 2.巧设未知数：优先设标准量、较小量或直接所求量为x，简化表达式。 3.列一元一次方程：将各量代入等量关系，用等号连接；确保两边单位统一、表达式规范。 4.规范解方程：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，注意符号和运算准确性。 5.检验验实际：① 代入原方程验证左右相等；② 检验解是否符合实际（人数为正整数、费用为正数等），不合题意舍去。 6.完整作答：梳理所求量，写出带单位的完整答案。 题型1.一元一次方程应用之工程问题 一、核心定义 工程问题的本质是围绕工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解决工程施工中的任务分配、进度核算、完工时间推算等实际问题。 二、核心公式 工程问题的所有运算均基于以下三个基础公式，三者可相互变形，适配不同的问题场景： 基本公式：工作总量工作效率工作时间 变形公式 1：工作效率工作总量工作时间 变形公式 2：工作时间工作总量工作效率 三、易错点警示 1.效率与时间混淆：误将完成工程的时间当作效率。例如甲单独完成一项工程需 10 天，错误将甲的效率设为 10，正确效率应为（将工作总量视为单位 “1”）。 2.合作时间计算错误：工程中途有人停工、增减人员或更换施工主体时，未准确区分各主体的实际工作时间，导致效率求和或工作量计算出错。 3.总工作量关系遗漏：多阶段、多主体协作的工程中，忽略 “各阶段工作量之和 = 总工作量（通常为单位 1）” 的核心等量关系，造成方程列写错误。 4.结果实际意义忽视：解出的时间为负数、小数，或人数为非整数时，未结合工程实际情况检验。需注意：人数必须为正整数；时间可根据题意保留小数或取整。 .【典例】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【跟踪专练1】一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【跟踪专练】2一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 题型2.一元一次方程应用之销售盈亏问题 一、核心定义 销售问题的本质是围绕成本价、售价、利润、利润率等核心量的数量关系，判断销售行为的盈利、亏损情况，或求解未知量。 二、核心公式（精准推导，双向可逆） 1. 基础等量关系 利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价；售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） 利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2. 变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 = （利润率 ≠0） 折扣价 = 标价 × 折扣率（如 8 折即标价×0.8，9.5 折即标价×0.95） 【典例】综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【跟踪专练1】十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【跟踪专练1】温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 题型3.一元一次方程应用之比赛积分问题 一、核心公式与数量关系 总积分计算公式总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（注：若无平局场次，可直接省略平场积分项） 单场积分大小关系胜场得分 ＞ 平场得分 ≥ 0；负场得分通常为 0（特殊题型会明确标注负场扣分规则） 总场次数量关系总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.积分规则混淆：易误记胜、负、平的单场积分，尤其忽略题目中 “负场扣分” 等特殊设定。 2.场次关系错误：计算总场次时易出现重复统计或遗漏场次的问题，导致列方程时数量关系出错。 3解的实际意义缺失：求出方程解后，未检验胜、负、平场次是否为非负整数，忽略实际比赛场次的取值要求。 【典例】根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 【跟踪专练1】12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【跟踪专练1】（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 题型4.一元一次方程应用之方案选择问题 核心等量关系：当不同方案的核心指标（成本、收益、用量等）数值相等时，即为方案优劣判定的临界点。通过建立方程求解该临界值，是比较方案性价比的关键依据。 常用公式：结合实际应用场景选取对应公式，典型公式参考如下 购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用 收费总额 = 基础费用 + 单价 × 计费用量 工程总费用 = 人均费用 × 参与人数 + 材料成本 【典例】某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【跟踪专练1】运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【跟踪专练1】在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 题型5.一元一次方程应用之数字问题 一、核心关系与公式 两位数：十位数字为a，个位数字为b，表示为10a+b 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，表示为100a+10b+c（更高位数依此类推） 二、易错点警示 1.数位表示错误：误将多位数写成数字直接相加（如两位数写成a+b），忽略十进制数位权重 2.数字取值超限：解得的数字超出0−9范围，或首位数字为0（不符合多位数定义） 3.连续数设元错误：混淆连续整数、奇数、偶数的差值，导致表达式列错 【典例】我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【跟踪专练1】观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【跟踪专练2】已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． (1)的“和谐差” ； (2)已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； (3)已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 题型6.一元一次方程应用之几何问题 一、核心公式（初中几何基础必备） 1. 平面图形 长方形：周长 C=2(a+b)，面积 S=ab（a 长，b 宽） 正方形：周长 C=4a，面积 S=a2（a 边长） 三角形：周长 C=a+b+c，面积 S=ah（a 底，h 高） 圆：周长 C=2πr，面积 S=πr2（r 半径） 2. 立体图形（基础体积） 长方体：体积 V=abc（a 长，b 宽，c 高） 正方体：体积 V=a3（a 棱长） 二、易错点警示 1.公式混淆：三角形面积漏写 ，圆周长、面积公式混用 2.单位疏漏：未统一单位（如 cm 与 m）就计算 3.形变误判：折叠对应边 / 角相等、剪拼面积不变的规律记混 【典例】如图，点是线段延长线上的一点，且将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【跟踪专练1】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【跟踪专练2】若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 题型7.一元一次方程应用之动点问题 一、核心关系与公式 基础运动关系 图形关键关系 线段动点：运动后线段长度 = 总长度 - 已走路程（或分段叠加路程） 相遇问题：路程和 = 初始距离 追及问题：路程差 = 初始距离 二、易错点警示 1.忽略运动方向，线段长度表达式列错 2.速度、时间单位不统一，直接计算 3.遗漏端点边界，解超出实际运动范围 4.混淆路程关系，相遇、追及公式颠倒 .【典例】如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【跟踪专练1】如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 【跟踪专练2】如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 题型8.一元一次方程应用之水电费问题 核心关系与公式 单一收费模式：总费用 = 单价 × 总用量（单价固定，无分段） 阶梯收费模式（初中重点）：总费用 = 各档位费用之和（仅超档部分按对应单价算） 【典例】为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【跟踪专练1】【问题背景】下表是东东家收到的9月水费缴费通知单，有两处的数据模糊不清．（表中用、表示），结合表中的信息回答下列问题： 上期抄表数 本期抄表数 本期用水量 587 632 45 自来水费（含污水处理费） 用水量（吨） 单价（元／吨） 金额（元） 第一级：20 2.5 50 第二级：20 第三级：5 6.3 31.5 本期实付金额（大写）：壹佰伍拾元伍角整  小写金额：150.5元 (1)【数据分析】求表中的值； (2)【理解应用】莉莉和东东住同一小区，若莉莉家某月用水量为吨，请计算莉莉家应缴的水费． (3)【计算说理】莉莉家8月用水15吨，因没及时缴费而产生滞纳费，9月用水35吨，如果她家一次性缴费（水费按月单独计费，其中8月份需缴纳滞纳金1元），那么她家的缴费会超过东东家9月的水费吗？ 【跟踪专练2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 题型9.一元一次方程应用之行程问题 核心公式与关系 基础公式路程 = 速度 × 时间（s=vt）变形公式：速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度 分类核心关系 相遇问题（相向而行）：总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷（甲速度 + 乙速度） 追及问题（同向而行）：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 路程差 ÷（快者速度 - 慢者速度） 往返问题：往返总路程 = 单程路程 × 2；往返平均速度 = 往返总路程 ÷ 往返总时间 【典例】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【跟踪专练1】以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【跟踪专练2】如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 题型10.一元一次方程应用之比列分配问题 一.核心定义 比例分配问题是指把一个总量按照给定的比例分成若干部分，求各部分具体数量的问题。解题关键是根据比例设未知数，再结合总量建立方程。 二.核心公式与设元方法 1.若总量为m，各部分的比例为a:b:c:… 设每一份的数量为x，则各部分的数量分别为ax、bx、cx… 2.等量关系核心： ax+bx+cx+.....=总量m. 【典例】甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 【跟踪专练1】某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【跟踪专练2】某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 题型11.一元一次方程应用之日历问题 1. 横行相邻：右边数 = 左边数 + 1 设中间数为x，三数为 x−1、x、x+1，和为3x 2. 竖列相邻：下边数 = 上边数 + 7 设中间数为x，三数为 x−7、x、x+7，和为3x 3.斜向相邻 左上→右下：右下数 = 左上数 + 8 右上→左下：左下数 = 右上数 + 6 4.2×2 方框：设左上角为x，四数为x、x+1、x+7、x+8，对角和相等 【典例】如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 【跟踪专练1】【综合与探究】同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘， 下面就让我们一起来探索吧！ (1)如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． ①这5个数中，最大数与最小数的差是 ； ②小宇发现当任意移动“十”字框时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请计算说明他的发现成立． (2)如图2是2024年10月的月历，小宇用如图所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请任选其中一个字母，用含这个字母的代数式表示这5个数的和． ②这5个数的和能等于101吗？若能，请求出这5个数；若不能，请说明理由． 【跟踪专练1】图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 题型12.一元一次方程应用之古代问题 核心关系与设元技巧 比例设元法：若各部分比例为a:b（或a:b:c），设各部分量为ax、bx（或ax、bx、cx），其中x为比例系数。 核心等量关系：各部分量之和 = 总量。 【典例】《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 【跟踪专练1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 【跟踪专练2】电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 题型13.一元一次方程应用之其他问题 常见题型分类及核心要点 年龄问题 核心关系：年龄差不变；年龄同步增减 设元技巧：设现在年龄为x，表示过去 / 未来年龄 浓度问题（基础） 核心公式：溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂 解题关键：稀释 / 加浓时溶质质量不变，据此列方程 【典例】2012年年底时，某镇人口为万，人均住房面积为．到2022年年底，该镇人口增加至6万，人均住房面积达到．那么这10年间，该镇居民住房总面积增长了百分之几？ 【跟踪专练1】某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“革命圣地西柏坡一日游”活动，收费标准如下： 人数 大于0且小于或等于100 大于100且小于或等于200 大于200 收费标准/（元/人） 60 55 50 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数小于100，乙校报名参加的学生人数大于100．经核算，两校分别组团共需花费13650元，两校联合组团只需花费12000元． (1)甲、乙两校报名参加活动的学生共有多少人？ (2)甲、乙两校报名参加活动的学生各有多少人？ 【跟踪专练2.】已知射线在的内部，射线在射线的右侧，且满足． (1)如图1，在的内部，已知，射线、分别平分、，则________． (2)如图2，已知射线平分，，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数． (3)在（2）的结论下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，同时将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 题型14.一元一次方程应用之配套问题 核心关系：按产品配套比例确定数量关系（如m个A配n个B，则n×A=m×B） 解题关键：设生产其中一种部件的数量为x，根据配套比表示另一种部件数量，列等式求解 【典例】粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 【跟踪专练1】某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【跟踪专练2】1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． 题型15.一元一次方程应用之和差倍分问题 核心关系：和（两数之和）、差（两数之差）、倍（几倍量）、分（几分之几量）的等量关系 解题关键：设较小数或标准量为x，用含x的式子表示其他量，根据和 / 差 / 倍 / 分关系列方程 【典例】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人人，其中女工人人数比男工人人数的倍少人，问该车间有男工人、女工人各多少人？ 【跟踪专练1】某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【跟踪专练2】《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次方程的应用期末复习冲刺讲义 1.能准确辨别实际问题中的等量关系，熟练列出一元一次方程。 2.掌握一元一次方程应用的六大核心题型，学会分类解题技巧。 3.提升用方程思想解决实际问题的能力，突破易错点和难点。 1.一元一次方程应用:工程问题 2.一元一次方程应用:销售问题 3.一元一次方程应用:比赛积分问题 4.一元一次方程应用:方案选择问题 5.一元一次方程应用:数字问题 6.一元一次方程应用:几何问题 7.一元一次方程应用:动点问题 8.一元一次方程应用:水电费问题 9.一元一次方程应用:行程问题 10.一元一次方程应用:比例分配问题 11.一元一次方程应用:日历问题 12.一元一次方程应用:古代问题 13.一元一次方程应用:其他问题 14.一元一次方程应用:配套问题 15.一元一次方程应用:和差倍分问题 1.审题找等量：提炼已知/未知量，锁定不变量、公式（路程/利润等）或固定关系，这是列方程的核心依据。 2.巧设未知数：优先设标准量、较小量或直接所求量为x，简化表达式。 3.列一元一次方程：将各量代入等量关系，用等号连接；确保两边单位统一、表达式规范。 4.规范解方程：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，注意符号和运算准确性。 5.检验验实际：① 代入原方程验证左右相等；② 检验解是否符合实际（人数为正整数、费用为正数等），不合题意舍去。 6.完整作答：梳理所求量，写出带单位的完整答案。 题型1.一元一次方程应用之工程问题 一、核心定义 工程问题的本质是围绕工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解决工程施工中的任务分配、进度核算、完工时间推算等实际问题。 二、核心公式 工程问题的所有运算均基于以下三个基础公式，三者可相互变形，适配不同的问题场景： 基本公式：工作总量工作效率工作时间 变形公式 1：工作效率工作总量工作时间 变形公式 2：工作时间工作总量工作效率 三、易错点警示 1.效率与时间混淆：误将完成工程的时间当作效率。例如甲单独完成一项工程需 10 天，错误将甲的效率设为 10，正确效率应为（将工作总量视为单位 “1”）。 2.合作时间计算错误：工程中途有人停工、增减人员或更换施工主体时，未准确区分各主体的实际工作时间，导致效率求和或工作量计算出错。 3.总工作量关系遗漏：多阶段、多主体协作的工程中，忽略 “各阶段工作量之和 = 总工作量（通常为单位 1）” 的核心等量关系，造成方程列写错误。 4.结果实际意义忽视：解出的时间为负数、小数，或人数为非整数时，未结合工程实际情况检验。需注意：人数必须为正整数；时间可根据题意保留小数或取整。 .【典例】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 【跟踪专练1】一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】(1)18天 (2)10天 (3)4.32万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）解：设完成这项工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）． 【跟踪专练】2一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 题型2.一元一次方程应用之销售盈亏问题 一、核心定义 销售问题的本质是围绕成本价、售价、利润、利润率等核心量的数量关系，判断销售行为的盈利、亏损情况，或求解未知量。 二、核心公式（精准推导，双向可逆） 1. 基础等量关系 利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价；售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） 利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2. 变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 = （利润率 ≠0） 折扣价 = 标价 × 折扣率（如 8 折即标价×0.8，9.5 折即标价×0.95） 【典例】综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 【跟踪专练1】十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】(1)A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2)a的值为560 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 【跟踪专练1】温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 【答案】(1)8；26 (2)230 【分析】本题考查分段计费的实际应用．明确分段计价的逻辑，建立一元一次方程是解题关键． （1）根据“实际付款=定价×折扣率”，算出第一次购书的定价，根据题意求解两次省去的金额即可． （2）根据“节省金额=定价-实际付款”，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 定价第一次定价不超过200元， 第一次购书定价为， 第一次购书省去了， 两次共节约了34元， 第二次购书省去了， 答：第一次购书省去了8元，第二次购书省去了26元． （2）解：设第二次所购书的实际定价是元， 第二次去购书享受到了八折优惠， ， 实际付款=， 节约金额=， ， 解得． 答：第二次所购书的实际定价是230元． 题型3.一元一次方程应用之比赛积分问题 一、核心公式与数量关系 总积分计算公式总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（注：若无平局场次，可直接省略平场积分项） 单场积分大小关系胜场得分 ＞ 平场得分 ≥ 0；负场得分通常为 0（特殊题型会明确标注负场扣分规则） 总场次数量关系总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.积分规则混淆：易误记胜、负、平的单场积分，尤其忽略题目中 “负场扣分” 等特殊设定。 2.场次关系错误：计算总场次时易出现重复统计或遗漏场次的问题，导致列方程时数量关系出错。 3解的实际意义缺失：求出方程解后，未检验胜、负、平场次是否为非负整数，忽略实际比赛场次的取值要求。 【典例】根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 【答案】(1)设长方形的宽为米，则方程为 (2)设买蓝色布料米，则方程为 (3)设该队胜了场，则方程为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设长方形的宽为米，则长为米，再由长方形周长计算公式列出方程即可； （2）设买蓝色布料米，则买白色布料米，再由一共花费690元列出方程即可； （3）设该队胜了场，则该队负了场，再由一共得15分列出方程即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为米，则长为米． 根据题意，列方程得． （2）解：设买蓝色布料米，则买白色布料米． 根据题意，列方程得． （3）解：设该队胜了场，则该队负了场， 根据题意列方程，得． 【跟踪专练1】12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【答案】(1) (2) 没有可能 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据得分规则列出代数式，再通过方程求解并判断合理性． （1）根据答对得分减去不答或答错扣分，列出含的代数式； （2）根据得分列方程，求解后判断其是否为整数且不超过总题数． 【详解】（1）解：答对道题，则不答或答错道题，得分是分． 故答案为：． （2）解：假设能拿到100分，则 （不是整数） 需为整数， 小明不可能拿到100分． 答：小明没有可能拿到100分． 【跟踪专练1】（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【答案】选：条；选：分，分，分，分 【分析】选：求出总的金鱼数量，再分种情况求出红色和白色金鱼的数量，若能被整除即可求解； 选：求出总的比赛场数，进而求出产生的总得分，再根据题意求出第一名、第二名、第三名的得分，最后根据方程求出第四名的得分即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：选，解答如下： （条）， ，不能被整除； ，，能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ∴黑色的金鱼有条； 选，解答如下： 由题意可得，总的比赛场数为场， ∴产生的总得分为分， ∵获得第一与第二的选手一次都没输过， ∴两人为平局， ∴第一名胜平局，得分最高，得分为分， ∴第二名得分次之且不败，其余局中最多为胜平，最高得分为分， ∴第三名最高得分为分， 设第四名得分为，则， 解得， ∴第四名得分为分， 答：从第一名到第四名，每个人的得分各自是分，分，分，分． 题型4.一元一次方程应用之方案选择问题 核心等量关系：当不同方案的核心指标（成本、收益、用量等）数值相等时，即为方案优劣判定的临界点。通过建立方程求解该临界值，是比较方案性价比的关键依据。 常用公式：结合实际应用场景选取对应公式，典型公式参考如下 购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用 收费总额 = 基础费用 + 单价 × 计费用量 工程总费用 = 人均费用 × 参与人数 + 材料成本 【典例】某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 【跟踪专练1】运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【跟踪专练1】在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【答案】(1)购进50个篮球，120个排球 (2)购买12个篮球，10个排球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球，根据题意列方程即可； （2）设学校准备购买m个篮球，则购买个排球，根据两种方案的购买总价是一样的列方程求解即可． 【详解】（1）解：设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球， 根据题意，得， 解得， ， 答：体育用品商店购进50个篮球，120个排球； （2）解：设学校准备购买m个篮球，则购买个排球， 根据题意，得， 解得， ， 符合题意， 答：学校准备购买12个篮球，10个排球． 题型5.一元一次方程应用之数字问题 一、核心关系与公式 两位数：十位数字为a，个位数字为b，表示为10a+b 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，表示为100a+10b+c（更高位数依此类推） 二、易错点警示 1.数位表示错误：误将多位数写成数字直接相加（如两位数写成a+b），忽略十进制数位权重 2.数字取值超限：解得的数字超出0−9范围，或首位数字为0（不符合多位数定义） 3.连续数设元错误：混淆连续整数、奇数、偶数的差值，导致表达式列错 【典例】我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【答案】(1)2 (2)差为，能被9整除，见解析 【分析】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据数位问题，数字的表示方法，及“原两位数比新两位数大9”列方程求解即可； （2）根据题意分别表示出原两位数和新两位数，并作差化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 即的值是2； （2）解：差为，能被9整除，理由如下： 两位数与新两位数的差为：， 根据题意可知、均为整数， 所以能被9整除． 【跟踪专练1】观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，则设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，根据题意有，再解方程求出，再由第一行的第n个数是即可求解． 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． 所以第一行的第7个数为， 故答案为：； （2）解：能，理由如下： 观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为， 根据题意有， 解得， ， ， n的值为5． 【跟踪专练2】已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． (1)的“和谐差” ； (2)已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； (3)已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的“和谐数”，再求出“和谐差”即可； （2）设数的十位数字为，则个位数字为，得出，，再根据它的“和谐数”等于它的倍求出，结果即可求得； （3）先求出“和谐差”，化简后根据题目要求罗列出可能结果． 【详解】（1）解：∵的“和谐数”为， ∴； 故答案为：； （2）解：设数的十位数字为，则个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴的“和谐数”， ∴， ∵其中，， 且，为整数， ∴， ∵ 能被整除， ∴是正整数， ∴或或或， ∴三位数所有可能的数值为：． 【点睛】本题考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 题型6.一元一次方程应用之几何问题 一、核心公式（初中几何基础必备） 1. 平面图形 长方形：周长 C=2(a+b)，面积 S=ab（a 长，b 宽） 正方形：周长 C=4a，面积 S=a2（a 边长） 三角形：周长 C=a+b+c，面积 S=ah（a 底，h 高） 圆：周长 C=2πr，面积 S=πr2（r 半径） 2. 立体图形（基础体积） 长方体：体积 V=abc（a 长，b 宽，c 高） 正方体：体积 V=a3（a 棱长） 二、易错点警示 1.公式混淆：三角形面积漏写 ，圆周长、面积公式混用 2.单位疏漏：未统一单位（如 cm 与 m）就计算 3.形变误判：折叠对应边 / 角相等、剪拼面积不变的规律记混 【典例】如图，点是线段延长线上的一点，且将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的比例关系和长度计算． （1）根据线段的比例关系设出未知数，再结合已知条件列出方程求解． （2）根据线段的比例关系设出未知数，再结合已知条件列出方程求解． 【详解】（1）设， 因为、将线段分成三部分， 所以，． 已知，即，解得， 因为， 把代入可得． 已知，则， 把代入可得． （2）设，同理可得，． 已知， 又因为，所以，解得。 因为， 所以，把代入可得。 ，其中，， 所以． 【跟踪专练1】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 【跟踪专练2】若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的值为或或 【分析】本题主要考查角的新定义运算，一元一次方程的运用，理解“余倍角”的定义，几何中角的数量关系的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，分旋转超过时，旋转超过时，即时，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知° ， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分， ∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得，； ②当旋转超过时，且即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； ③当旋转超过时，即时， 由题意可得，转了，转了， ∴，, ∵平分，平分， ∴，， 如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或或． 题型7.一元一次方程应用之动点问题 一、核心关系与公式 基础运动关系 图形关键关系 线段动点：运动后线段长度 = 总长度 - 已走路程（或分段叠加路程） 相遇问题：路程和 = 初始距离 追及问题：路程差 = 初始距离 二、易错点警示 1.忽略运动方向，线段长度表达式列错 2.速度、时间单位不统一，直接计算 3.遗漏端点边界，解超出实际运动范围 4.混淆路程关系，相遇、追及公式颠倒 .【典例】如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【答案】(1) 3 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． 【详解】（1）解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； （2）解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； （3）解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 【跟踪专练1】如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）由题意可得点表示的数为，当时，点表示的数为，点表示的数为，然后通过数轴上两点间的距离公式即可求解； （）由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为，则当点与点重合时，，然后求出的值即可； （）分为当从向运动时，，当在点停留时，，当没有追到前，，当追到后，几种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动， ∴点从向运动的过程中，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点与点之间的距离为； （3）解：由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当点与点重合时，， 解得：； （4）解：由题意得点到达点需要（秒）； 当从向运动时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，不符合题意； 当在点停留时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当没有追到前，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当追到后，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：的值为或或． 【跟踪专练2】如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 【答案】(1)；；5 (2)5或9 (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、c的值，根据结合数轴上两点距离计算公式可建立关于b的方程，解方程即可得到答案； （2）求出运动t秒时点P表示的数和点Q表示的数，进而求出点M和点N表示的数，根据点M和点N的距离为2建立方程求解即可； （3）列方程求出点P追上点D的时间，进而求出点P从出发到回到点A的时间，表示出点P返回途中表示的数，进而表示出，根据为定值，即的值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点B在A、C之间，且， ∴， 解得； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M和点N的距离为2， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：运动秒时，点P追上点D， 由题意得，， 解得， ∴运动16秒时，点P追上点D，此时点P表示的数为， ∴在点P返回的过程中，点P表示的数为，且点P从出发到回到点A的时间为秒， ∴，， 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 题型8.一元一次方程应用之水电费问题 核心关系与公式 单一收费模式：总费用 = 单价 × 总用量（单价固定，无分段） 阶梯收费模式（初中重点）：总费用 = 各档位费用之和（仅超档部分按对应单价算） 【典例】为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 【跟踪专练1】【问题背景】下表是东东家收到的9月水费缴费通知单，有两处的数据模糊不清．（表中用、表示），结合表中的信息回答下列问题： 上期抄表数 本期抄表数 本期用水量 587 632 45 自来水费（含污水处理费） 用水量（吨） 单价（元／吨） 金额（元） 第一级：20 2.5 50 第二级：20 第三级：5 6.3 31.5 本期实付金额（大写）：壹佰伍拾元伍角整  小写金额：150.5元 (1)【数据分析】求表中的值； (2)【理解应用】莉莉和东东住同一小区，若莉莉家某月用水量为吨，请计算莉莉家应缴的水费． (3)【计算说理】莉莉家8月用水15吨，因没及时缴费而产生滞纳费，9月用水35吨，如果她家一次性缴费（水费按月单独计费，其中8月份需缴纳滞纳金1元），那么她家的缴费会超过东东家9月的水费吗？ 【答案】(1)， (2)莉莉家应缴水费为：当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为 元． (3)不会超过 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是阶梯收费的计算方法． （1）根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）按阶梯水价分段计算水费即可； （3）分别计算莉莉家8月和9月的水费，加上滞纳金，与东东家9月水费比较． 【详解】（1）根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）莉莉家用水量为 m 吨，根据阶梯水价： 当时，水费为 元； 当时，前20吨水费50元，超出部分吨按3.45元/吨计算， 水费为 元； 当 时，前40吨水费为 元， 超出部分吨按6.3元/吨计算，水费为元； （3）莉莉家8月用水15吨，水费为 元，加上滞纳金1元，共需缴元． 9月用水35吨，水费为 元． 两月共需缴 元． 东东家9月水费为150.5元，， ∴不会超过． 【跟踪专练2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 题型9.一元一次方程应用之行程问题 核心公式与关系 基础公式路程 = 速度 × 时间（s=vt）变形公式：速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度 分类核心关系 相遇问题（相向而行）：总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷（甲速度 + 乙速度） 追及问题（同向而行）：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 路程差 ÷（快者速度 - 慢者速度） 往返问题：往返总路程 = 单程路程 × 2；往返平均速度 = 往返总路程 ÷ 往返总时间 【典例】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为，根据运行里程比原来缩短了建立方程解答即可． 【详解】解：设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 【跟踪专练1】以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)相同，不同 (2)①；；② 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车票上的信息即可得到答案； （2）①根据时间等于路程除以速度即可得到答案；②根据两车同时到达终点列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，两车都是从A地开往B地的列车，动车的发车时间为，高铁的发车时间为， ∴两车的行驶方向相同，发车时间不同； （2）解：①由题意得，动车行驶完全程所用的时间为，高铁行驶完全程所用的时间为； ②由题意得，， 解得， 答：A，B两地之间的距离为； 【跟踪专练2】如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 【答案】(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由与的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在、、、上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【详解】（1）解， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质．利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b，用含t的代数式正确表示点A和B对应的数是本题的关键． 题型10.一元一次方程应用之比列分配问题 一.核心定义 比例分配问题是指把一个总量按照给定的比例分成若干部分，求各部分具体数量的问题。解题关键是根据比例设未知数，再结合总量建立方程。 二.核心公式与设元方法 1.若总量为m，各部分的比例为a:b:c:… 设每一份的数量为x，则各部分的数量分别为ax、bx、cx… 2.等量关系核心： ax+bx+cx+.....=总量m. 【典例】甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 【答案】甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙可获得利润分别是元、元，根据“第一年盈利14000元”列出一元一次方程，计算即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设甲、乙可获得利润分别是元、元， ， 解得． （元），（元） 答：甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元． 【跟踪专练1】某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【答案】(1)C (2)三个体育社团的总人数为95人 【分析】本题考查了一元一次方程解应用题，解题的关键是理解题意，找出数量之间的关系． （1）由题意可知：篮球社人数最多，进而可知篮球社人数所占比例最多、比足球社人数多，可得答案； （2）设三个体育社团总人数为x人，列方程，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：篮球社人数最多， 所以篮球社人数所占比例最多，比足球社人数多， 所以选项A、B错误，选项C正确； （2）设三个体育社团总人数为x人，由题意可得： 解这个方程得：， 所以三个体育社团的总人数为95人． 【跟踪专练2】某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 题型11.一元一次方程应用之日历问题 1. 横行相邻：右边数 = 左边数 + 1 设中间数为x，三数为 x−1、x、x+1，和为3x 2. 竖列相邻：下边数 = 上边数 + 7 设中间数为x，三数为 x−7、x、x+7，和为3x 3.斜向相邻 左上→右下：右下数 = 左上数 + 8 右上→左下：左下数 = 右上数 + 6 4.2×2 方框：设左上角为x，四数为x、x+1、x+7、x+8，对角和相等 【典例】如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1) (2)能，这五个数中最小的数为2 (3)115 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设X框最中间的数为a，再分别找出其他四个数，再列式计算，即可作答． （2）理解题意，则，解得，即可求出这五个数中最小的数； （3）先理解题意，得出，故，即可求出五个数的和的最大值． 【详解】（1）解：依题意，设X框最中间的数为a， 则X框的其他四个数分别是 ∴ ∴这5个数之和为； （2）解：这5个数的和能等于50，过程如下： 依题意，当设X框最中间的数为a，则这5个数之和为 故， 解得， ∴这五个数中最小的数是； （3）解：由（1）得设X框最中间的数为a，则X框的其他四个数分别是，且这5个数之和为； 观察2025年十二月份的日历，有号， 即， 解得， 此时五个数的和的最大值是． 【跟踪专练1】【综合与探究】同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘， 下面就让我们一起来探索吧！ (1)如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． ①这5个数中，最大数与最小数的差是 ； ②小宇发现当任意移动“十”字框时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请计算说明他的发现成立． (2)如图2是2024年10月的月历，小宇用如图所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请任选其中一个字母，用含这个字母的代数式表示这5个数的和． ②这5个数的和能等于101吗？若能，请求出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答； ②设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答； （2）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以，即可作答； ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）①解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； ②解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数； （2）①解：∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴， ∴， ∴这5个数的和为（答案不唯一）； ②解：能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． 【跟踪专练1】图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，0 (3)不能，理由见解析 (4)是定值，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可； （4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题． 【详解】（1）解：设，则，，， ，， ． 故答案为：=． （2）由（1）得，， ． 故答案为：，0． （3）由（1）得，，，，， ， 整理得：，解得． 8在月历表中第二行最后一个数， 无法框出九方格． ∴不能； （4）由（1）得，，，，， ． ∴代数式的值是定值，它的值为． 题型12.一元一次方程应用之古代问题 核心关系与设元技巧 比例设元法：若各部分比例为a:b（或a:b:c），设各部分量为ax、bx（或ax、bx、cx），其中x为比例系数。 核心等量关系：各部分量之和 = 总量。 【典例】《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 【答案】绳长36尺，井深8尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设绳子长尺，根据两种测量方式下井深相等建立方程，解方程求出的值，再代入求出井深，由此即可得． 【详解】解：设绳子长尺， 由题意得：， 解得：， 则井深为（尺）． 答：绳长36尺，井深8尺． 【跟踪专练1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1) (2)，该店有8间客房，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． （1）根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”填写表格即可． （2）房客总数相同列方程即可解答． 【详解】（1）解：填表如下： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 故答案为：． （2）解：根据题意可得：， 解得：， 故该店有8间客房． 【跟踪专练2】电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 【答案】(1)① (2)数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗 【分析】（1）设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，列不等式组即可求解. （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，得： ， 解得， 又为奇数， 共个. ①是正确的,②③是错误的. 答：说法正确的是①. （2）解：设数量少的群里有条狗， 则其余三个群里各有条狗． 由题意，得， 解得，则， 答：数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 题型13.一元一次方程应用之其他问题 常见题型分类及核心要点 年龄问题 核心关系：年龄差不变；年龄同步增减 设元技巧：设现在年龄为x，表示过去 / 未来年龄 浓度问题（基础） 核心公式：溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂 解题关键：稀释 / 加浓时溶质质量不变，据此列方程 【典例】2012年年底时，某镇人口为万，人均住房面积为．到2022年年底，该镇人口增加至6万，人均住房面积达到．那么这10年间，该镇居民住房总面积增长了百分之几？ 【答案】 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．设增长率为，根据等量关系，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这10年间住房面积增长的百分数为， 根据题意，得， 解得：． 答：这10年间住房面积增长了． 【跟踪专练1】某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“革命圣地西柏坡一日游”活动，收费标准如下： 人数 大于0且小于或等于100 大于100且小于或等于200 大于200 收费标准/（元/人） 60 55 50 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数小于100，乙校报名参加的学生人数大于100．经核算，两校分别组团共需花费13650元，两校联合组团只需花费12000元． (1)甲、乙两校报名参加活动的学生共有多少人？ (2)甲、乙两校报名参加活动的学生各有多少人？ 【答案】(1)240人 (2)甲校90人，乙校150人 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． （1）通过联合组团花费12000元，推断总人数超过200人，计算得总人数为240人． （2）设甲校报名参加活动的学生有人，则乙校报名参加活动的学生有人，分及两种情况考虑，根据两校分别组团共需花费 13650 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，可得出值（即甲校报名参加活动的学生人数），再将其代入中，即可求出乙校报名参加活动的学生人数． 【详解】（1）解：设两校学生总人数为人． 若大于200，则收费50元/人，，解得：． 若大于100且小于或等于200，则，解得：，不合题意． 若大于0且小于或等于100，则，解得：，不合题意． 故两校学生总人数为240人． （2）解：设甲校报名参加活动的学生有人，则乙校报名参加活动的学生有人， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴． 答：甲校报名参加活动的学生有90人，乙校报名参加活动的学生有150人． 【跟踪专练2.】已知射线在的内部，射线在射线的右侧，且满足． (1)如图1，在的内部，已知，射线、分别平分、，则________． (2)如图2，已知射线平分，，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数． (3)在（2）的结论下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，同时将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)； (3)t的值为或 【分析】此题考查了角的旋转，角平分线的计算和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关概念． （1）设，根据题意得，再根据即可求出x的值，结合角平分线的定义即可求出的度数，进而即可求出的度数； （2）根据题意可求出，根据角平分线的定义可得，进而即可求出将进行变形代入即可求出和的数量关系，最后将进行代入求解即可得到的度数； （3）由（2）得，计算出未旋转时，、、的度数，由题意得，位置旋转，位置旋转，则可求出、的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，分和时得的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴设，则， ∴ 解得， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 结合， 得 ， ∴ ， （2）解：由图可得，， ∵， ∴， ， ， ， ∵平分， ∴， 由图可得， ， ∵，， ∴， ， ， ， 由图可得，， ∴， ∴， ， ， 当时， ， ∴ ； （3）解：由（2）知，未旋转时， ， ， ， 当时， 由题意得，逆时针旋转每秒，位置旋转，角度大小不变，且旋转后对应的角为； 顺时针旋转每秒，位置旋转，角度大小不变，且旋转后对应的角为， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得． 当时，射线旋转超过一周， 则， ∴， ∴ ∴， 解得； 所以，的值为或． 题型14.一元一次方程应用之配套问题 核心关系：按产品配套比例确定数量关系（如m个A配n个B，则n×A=m×B） 解题关键：设生产其中一种部件的数量为x，根据配套比表示另一种部件数量，列等式求解 【典例】粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 【答案】应用千克糯米制作蛋黄肉粽 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，分别表示出制作的蛋黄肉粽和碱水粽数量，结合粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成，建立等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 制作蛋黄肉粽的个数为，制作碱水粽的个数为， 粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成， ， 解得， 答：应用千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 【跟踪专练1】某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【跟踪专练2】1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 题型15.一元一次方程应用之和差倍分问题 核心关系：和（两数之和）、差（两数之差）、倍（几倍量）、分（几分之几量）的等量关系 解题关键：设较小数或标准量为x，用含x的式子表示其他量，根据和 / 差 / 倍 / 分关系列方程 【典例】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人人，其中女工人人数比男工人人数的倍少人，问该车间有男工人、女工人各多少人？ 【答案】男工人人，女工人人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设男工人数为人，则女工人数为人，根据女工人数与男工人数的关系及总人数列出方程求解，即可． 【详解】解：设男工人数为人，则女工人数为人， 根据总人数为46人，得方程， 化简得， 移项得， 解得， 则女工人数为人． 答：男工人14人，女工人32人． 【跟踪专练1】某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)件 (2)生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． 【跟踪专练2】《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 【答案】甲原来有36钱，乙原来有24钱 【分析】本题可通过设甲原有钱数为未知数，根据乙的钱数的两种不同表示方法列出一元一次方程来求解。解题思路是先设甲的钱数，再根据题目条件表示出乙的钱数，最后利用乙的钱数不变建立等式． 【详解】解：设甲原来有钱，则乙原来有钱． 根据题意，得， 解得，则． 故甲原来有36钱，乙原来有24钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握设甲的钱数为未知数，根据乙的钱数的不同表示方法列出方程求解是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $