专题09角与多边形和圆初步认识期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理角、多边形与圆的知识体系，用表格呈现角的分类标准，以思维导图归纳多边形对角线规律和圆的核心元素，清晰呈现度分秒换算、n边形对角线计算等重难点及内在联系，培养几何直观与空间观念。 讲义亮点在于“题型分层精讲”设计，如钟面角度计算、三角板组合角度技巧等12类常考题型，搭配典例解析与跟踪专练，结合易错点总结，提升运算能力与推理意识。基础学生可掌握换算规则，优秀学生能突破推导难点，助力教师实施精准化复习教学。

专题09角与多边形和圆初步认识期末冲刺必备讲义 1.掌握角的概念、表示方法、度量及计算，能解决角的和差、余角补角相关问题。 2.理解多边形的定义、内角、外角、对角线的概念，掌握正多边形的性质。 3.认识圆的相关概念，能区分弧、弦、圆心角等元素，会进行简单的相关计算。 4.结合图形分析，提升几何直观和逻辑推理能力。 期末必备 知识点梳理 1.角的定义及表示方法 2.角的分类 3.角的度量与计算 4.角平分线 5.多边形的相关概念 6.圆的相关概念 7.易错点与重难点总结 常考题型 精讲精炼 1.钟面角度的计算方法 2.方向角的规范表示方式 3.方向角的实际运算应用 4.角的单位换算与角度制解析 5.三角板组合中角度计算技巧 6.几何图形中角度运算问题 7.角度的四则运算规则与实例 8.角平分线相关的角度计算 9.多边形对角线的条数推导与计算 10.多边形对角线分割成的三角形个数问题 11.圆的核心概念辨析 12.圆的周长和面积的计算与应用 期末备考 压轴通关 压轴题(18题) 【知识点01.角的定义与表示】 1.角的定义（两种表述） *静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 *动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转的起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 2.角的表示方法（四种，必须规范书写） *用三个大写英文字母表示：如∠ABC，顶点字母B必须写在中间。 *用一个大写英文字母表示：当顶点处只有一个角时，如∠B。 *用阿拉伯数字表示：如∠1，需在角内靠近顶点处标注数字。 *用希腊字母表示：如∠α，需在角内靠近顶点处标注希腊字母。 3.角的分类（按度数大小） 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0∘<α<90 小于直角的角 直角 α=90 符号：Rt∠ 钝角 90<α<180 大于直角且小于平角的角 平角 α=180 始边和终边在同一条直线上（是角，不是直线） 周角 α=360 始边和终边重合（是角，不是射线） 【知识点02.角的度量与计算】 1.度量工具：量角器。 2.度量单位：度（）、分（′）、秒（′′），是六十进制。 换算关系：1=60′，1′=60′′，1=3600′′。 换算方法：大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。 3.角的和差运算 计算规则：度与度相加、减，分与分相加、减，秒与秒相加、减；满 60 进 1，不够减则向上一级借 1 当 60。 【知识点03.角的平分线】 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何语言表示 若OC是∠AOB的平分线，则： *∠AOC=∠BOC *∠AOB=2∠AOC=2∠BOC *∠AOC=∠BOC=∠AOB 【知识点04.多边形的相关概念】 1.多边形的定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 *组成要素：边（线段）、顶点、内角（多边形相邻两边组成的角）。 *常见多边形：三角形（3 条边）、四边形（4 条边）、五边形（5 条边）……n边形（n条边，n≥3且n为整数）。 2.多边形的对角线 *定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 *作用：将多边形分割成若干个三角形，便于计算内角和。 *数量规律：从n边形的一个顶点出发，可以作(n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形；n边形共有条对角线。例：五边形从一个顶点出发有2条对角线，共有5条对角线。 3.正多边形 *定义：各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 常见正多边形：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形等。 *注意：各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）；各内角相等的多边形也不一定是正多边形（如矩形）。 【知识点05.圆的相关概念】 1.圆的定义（静态）：在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 *固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 *表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作 “圆O”。 *性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 2.圆的相关元素 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径=2×半径（d=2r）。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 表示方法：以A,B为端点的弧，记作。 分类： 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示 【知识点06.易错点与重难点总结】 1.易错点 1.混淆平角与直线、周角与射线：平角有顶点和两条边，只是边在同一直线上；周角有顶点和两条边，只是边重合。 2.多边形对角线的计数错误：从一个顶点出发的对角线数是(n−3)，不是n或(n−2)。 2.重难点 1.角的度分秒换算与和差运算（六十进制的应用）。 2.角平分线的几何语言表述与应用。 3.n边形对角线数量的推导与计算。 【题型1.钟面角度的计算方法】 【典例】下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查钟面角；钟面被12小时等分，每小时对应，下午3时整，分针指向12，时针指向3，两针相隔3小时，列式计算即可． 【详解】解：∵钟面一周，被12小时等分， ∴每小时对应角度为， ∵下午3时整，分针指向12，时针指向3， ∴两针相差3小时， ∴夹角为． 故选：A． 【跟踪专练1】在分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，根据钟面角度的计算，时针每分钟转，分针每分钟转，分别计算时时针和分针的角度，然后求差得到夹角． 【详解】解：时，时针从点位置转动了， 分针转动了， 时针与分针的夹角为． 故答案为：． 【跟踪专练2】钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 【题型2.方向角的规范表示方式】 【典例】小丽上学时需向东偏南方向走800米到学校，她放学回家时应该向( )方向走800米． 【答案】西偏北 【分析】本题考查方位角，上学与放学的路径方向相反，根据相反向量的概念，方向角关于原点对称． 【详解】解：上学方向为东偏南，其相反方向为西偏北，因此放学回家时应向西偏北方向走800米； 故答案为：西偏北． 【跟踪专练1】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的表示、方向角的计算等知识点，掌握方向角的表示方法是解题的关键． 用的度数减去，再结合图形即可解答． 【详解】解：∵点B在点O的北偏东方向上，， ∴． ∴点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，学校在小刚家北偏 的方向上；电信局在小刚家 偏 的方向上；地铁站在小刚家 的方向上；公园在小刚家 偏 的方向上． 【答案】 西 北 东 南偏东 南 西 【分析】本题考查的是方向角的含义，根据方向角的含义即可得到答案． 【详解】解：根据题意：学校在小刚家北偏西的方向上；电信局在小刚家北偏东的方向上；地铁站在小刚家南偏东的方向上；公园在小刚家南偏西的方向上． 故答案为：西，北，东，南偏东，南，西． 【题型3.方向角的实际运算应用】 【典例】如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角；根据题意得到，求出，即可解答． 【详解】解：如图， ∵射线的方向是南偏东， ∴， ∵， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故选：A． 【跟踪专练1】芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【答案】90 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，，由角的和差得 ，可得C、A、B三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴C、A、B三点在同一条直线上， ∴， 即B、C两点之间的距离是， 故答案为：90． 【跟踪专练2】如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 【题型4.角的单位换算与角度制解析】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，将转换为度分形式，然后进行角度减法运算 ． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【详解】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 【跟踪专练2】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型5.三角板组合中角度计算技巧】 【典例】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角板有关的计算问题，根据题意，得，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 【题型6.几何图形中角度运算问题】 【典例】如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面内有，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】本题考查几何图形中角度计算问题，分为射线在内、外两种情况，分别计算即可． 【分析】解：当在内时，； 当在外时，， ∵， ∴． ∴的度数为或． 故选：C． 【跟踪专练2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 【题型7.角度的四则运算规则与实例】 【典例】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的计算，分两种情况：当这两个角的另两条边在公共边的异侧时；当这两个角的另两条边在公共边的同侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当这两个角的另两条边在公共边的异侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 当这两个角的另两条边在公共边的同侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 综上所述：这两个角的另两条边的夹角为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 【题型8.角平分线相关的角度计算】 【典例】已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由角平分线的定义可得的度数，再根据角的和差关系求． 【详解】解：因为平分，， 所以， ①如图， 又因为， 所以； ②如图， 所以； 故答案为或． 【跟踪专练1】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出． 【详解】解：由折叠知：，， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型9.多边形对角线的条数推导与计算】 【典例】一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题， 根据多边形对角线的定义，从一个顶点出发，可以连接除自身及相邻顶点外的所有其他顶点，因此可引对角线条数为顶点数减3． 【详解】解：从一个顶点出发，可引对角线条数， ∵， ∴可引对角线条数． 故选：D． 【跟踪专练1】过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【答案】216 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案． 【详解】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴， 解得，； n边形没有对角线，； ∵五边形有p条对角线， ∴， 所以． 故答案为：216． 【跟踪专练2】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【详解】解：由题可得． 故选D． 【题型10.多边形对角线分割成的三角形个数问题】 【典例】过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】根据多边形对角线的性质，从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，其中n为多边形的边数. 【详解】解：设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线分成的三角形个数为个； 由题意：，解得 故答案为：. 【跟踪专练1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查凸五边形的三角剖分方法数，解题的关键是：列举所有不相交的对角线组合，即可得出剖分方法总数． 【详解】解：如下图，五边形， 顶点A，可连接和， 同理，连接和；连接和；连接和；连接和； 所有可能的不相交对角线组合共有5种剖分方法， 故选：C． 【跟踪专练2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 【题型11.圆的核心概念辨析】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意； B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意； C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，线段经过圆心O，点B，C在圆上，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，含角的直角三角形性质，圆的基本性质等．根据题意过点作于点，则，继而得到，再利用勾股定理求出，再列式，继而得到本题答案． 【详解】解：过点作于点，连接 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴，解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 【题型12.圆的周长和面积的计算与应用】 【典例】如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 【跟踪专练1】把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了圆的面积的推导，根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径是解题的关键． 根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径，直接运用圆的面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米） （平方厘米） 这个圆的半径是3厘米，这个圆的面积是平方厘米． 故答案为：3，． 1．下列结论中：①；②长方形的面积一定，长方形的长与宽成反比例关系；③线段和射线可度量；④角的大小与边的长短有关．其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查有理数的大小比较，反比例关系，线段及射线的性质，角的定义，根据各知识点分别判断即可． 【详解】解：①，，故原判断错误； ②长方形的面积一定，长宽面积，长方形的长与宽成反比例关系，原说法正确； ③线段可度量，射线不可度量，原说法错误； ④角的大小与边的长短无关，原说法错误； 故选A． 2．下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线段中点定义判断①；根据线段最短判断②；根据正多边形的定义判断③；根据三棱柱的定义可判断④；根据有理数加法法则可判断⑤；根据多形式的定义可判断⑥． 【详解】解：①当点三点在同一直线上时，如果，那么点是线段的中点，故原说法错误； ②两点之间线段最短，故原说法错误； ③各条边都相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，故原说法错误； ④三棱柱有六个顶点，九条棱，该说法正确； ⑤两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如，故原说法错误； ⑥多项式是三次三项式，该说法正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段、线段中点、正多边形、三棱柱，有理数的加法，多项式的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 4．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，根据题意可知，，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 5．如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 6．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 7．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 8．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 9．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 10．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 11．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 12．计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 13．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 14．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 15．按要求画图并回答问题： 已知：如图点，点，点． (1)画出直线，射线，线段； (2)在点的东北方向上有一点，，请直接写出下列各题的结论． ①点在点的北偏西多少度？ ②点为平面内一点，若射线为的角平分线，点在点的北偏东多少度？ ③点为平面内一点，且，若，写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①点在点的北偏西②点在点的北偏东③或 【分析】本题考查作图，方向角，角平分线的定义，角的和差运算，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可； （2）①由方向角的定义得，则，则可得点在点的北偏西25°； ②由题意得，则，，即点在点的北偏东； ③当在射线左侧时，可得，则； 当在射线右侧时，可得，则可得． 【详解】（1）解：如图所示，直线，射线，线段即为所求， （2）解：①∵点的东北方向上有一点， ∴， ∵， ∴， ∴点在点的北偏西； ②∵射线为的角平分线， ∴， ∴， ∴点在点的北偏东； ③当在射线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在射线右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 16．如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 【答案】(1) (2)符合规定，理由见解析 【分析】本题考查了代数式运算与几何图形面积的计算，解题的关键是通过总面积减去水池、休息区的面积得到绿地面积；通过比较绿地面积与总面积的一半判断是否符合规定． （1）先求长方形广场总面积，再求正方形水池面积与四个四分之一圆组成的整圆面积，用总面积减去这两部分得绿地面积； （2）计算总面积的一半，比较绿地面积与该值的大小． 【详解】（1）解：长方形总面积：； 水池面积：； 四个圆形休息区面积和：； 绿地面积：． （2）解：总面积的一半：； 绿地面积； 因，故符合规定． 答：（1）绿地面积为； （2）这个设计图符合规定． 17．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 18．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 【答案】(1)1 (2) (3)图见解析，当时，最大为 【分析】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2）设半径为，根据列方程求解即可； （3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案三中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由为x，则新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案三中的最大半径．即得最终结论． 【详解】（1）解：方案一中的最大半径为1． 长方形的长宽分别为3，2， 直接取圆直径最大为2， 半径最大为1； （2）解：设半径为如图， ； ， 解得． （3）解：设圆的半径为， 新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为． 类似（1），所截出圆的直径最大为或较小的． 当时，即当时，； 当时，即当时，； 当时，即当时，． 当时，； 当时，； 当时，， 方案三中，当时，最大为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09角与多边形和圆初步认识期末冲刺必备讲义 1.掌握角的概念、表示方法、度量及计算，能解决角的和差、余角补角相关问题。 2.理解多边形的定义、内角、外角、对角线的概念，掌握正多边形的性质。 3.认识圆的相关概念，能区分弧、弦、圆心角等元素，会进行简单的相关计算。 4.结合图形分析，提升几何直观和逻辑推理能力。 期末必备 知识点梳理 1.角的定义及表示方法 2.角的分类 3.角的度量与计算 4.角平分线 5.多边形的相关概念 6.圆的相关概念 7.易错点与重难点总结 常考题型 精讲精炼 1.钟面角度的计算方法 2.方向角的规范表示方式 3.方向角的实际运算应用 4.角的单位换算与角度制解析 5.三角板组合中角度计算技巧 6.几何图形中角度运算问题 7.角度的四则运算规则与实例 8.角平分线相关的角度计算 9.多边形对角线的条数推导与计算 10.多边形对角线分割成的三角形个数问题 11.圆的核心概念辨析 12.圆的周长和面积的计算与应用 期末备考 压轴通关 压轴题(18题) 【知识点01.角的定义与表示】 1.角的定义（两种表述） *静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 *动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转的起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 2.角的表示方法（四种，必须规范书写） *用三个大写英文字母表示：如∠ABC，顶点字母B必须写在中间。 *用一个大写英文字母表示：当顶点处只有一个角时，如∠B。 *用阿拉伯数字表示：如∠1，需在角内靠近顶点处标注数字。 *用希腊字母表示：如∠α，需在角内靠近顶点处标注希腊字母。 3.角的分类（按度数大小） 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0∘<α<90 小于直角的角 直角 α=90 符号：Rt∠ 钝角 90<α<180 大于直角且小于平角的角 平角 α=180 始边和终边在同一条直线上（是角，不是直线） 周角 α=360 始边和终边重合（是角，不是射线） 【知识点02.角的度量与计算】 1.度量工具：量角器。 2.度量单位：度（）、分（′）、秒（′′），是六十进制。 换算关系：1=60′，1′=60′′，1=3600′′。 换算方法：大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。 3.角的和差运算 计算规则：度与度相加、减，分与分相加、减，秒与秒相加、减；满 60 进 1，不够减则向上一级借 1 当 60。 【知识点03.角的平分线】 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何语言表示 若OC是∠AOB的平分线，则： *∠AOC=∠BOC *∠AOB=2∠AOC=2∠BOC *∠AOC=∠BOC=∠AOB 【知识点04.多边形的相关概念】 1.多边形的定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 *组成要素：边（线段）、顶点、内角（多边形相邻两边组成的角）。 *常见多边形：三角形（3 条边）、四边形（4 条边）、五边形（5 条边）……n边形（n条边，n≥3且n为整数）。 2.多边形的对角线 *定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 *作用：将多边形分割成若干个三角形，便于计算内角和。 *数量规律：从n边形的一个顶点出发，可以作(n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形；n边形共有条对角线。例：五边形从一个顶点出发有2条对角线，共有5条对角线。 3.正多边形 *定义：各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 常见正多边形：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形等。 *注意：各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）；各内角相等的多边形也不一定是正多边形（如矩形）。 【知识点05.圆的相关概念】 1.圆的定义（静态）：在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 *固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 *表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作 “圆O”。 *性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 2.圆的相关元素 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径=2×半径（d=2r）。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 表示方法：以A,B为端点的弧，记作。 分类： 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示 【知识点06.易错点与重难点总结】 1.易错点 1.混淆平角与直线、周角与射线：平角有顶点和两条边，只是边在同一直线上；周角有顶点和两条边，只是边重合。 2.多边形对角线的计数错误：从一个顶点出发的对角线数是(n−3)，不是n或(n−2)。 2.重难点 1.角的度分秒换算与和差运算（六十进制的应用）。 2.角平分线的几何语言表述与应用。 3.n边形对角线数量的推导与计算。 【题型1.钟面角度的计算方法】 【典例】下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是 度． 【跟踪专练2】钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2.方向角的规范表示方式】 【典例】小丽上学时需向东偏南方向走800米到学校，她放学回家时应该向( )方向走800米． 【跟踪专练1】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【跟踪专练2】如图，学校在小刚家北偏 的方向上；电信局在小刚家 偏 的方向上；地铁站在小刚家 的方向上；公园在小刚家 偏 的方向上． 【题型3.方向角的实际运算应用】 【典例】如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【跟踪专练1】芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【跟踪专练2】如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【题型4.角的单位换算与角度制解析】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【题型5.三角板组合中角度计算技巧】 【典例】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.几何图形中角度运算问题】 【典例】如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【跟踪专练1】在同一平面内有，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 【题型7.角度的四则运算规则与实例】 【典例】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 【跟踪专练2】在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型8.角平分线相关的角度计算】 【典例】已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 【跟踪专练1】如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【题型9.多边形对角线的条数推导与计算】 【典例】一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练1】过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【跟踪专练2】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【题型10.多边形对角线分割成的三角形个数问题】 【典例】过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【跟踪专练1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【题型11.圆的核心概念辨析】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【跟踪专练1】如图，线段经过圆心O，点B，C在圆上，且，，则 ． 【跟踪专练2】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型12.圆的周长和面积的计算与应用】 【典例】如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【跟踪专练1】把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 1．下列结论中：①；②长方形的面积一定，长方形的长与宽成反比例关系；③线段和射线可度量；④角的大小与边的长短有关．其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 3．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 4．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 6．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 8．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 9．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 10．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 11．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 12．计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 13．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 14．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 15．按要求画图并回答问题： 已知：如图点，点，点． (1)画出直线，射线，线段； (2)在点的东北方向上有一点，，请直接写出下列各题的结论． ①点在点的北偏西多少度？ ②点为平面内一点，若射线为的角平分线，点在点的北偏东多少度？ ③点为平面内一点，且，若，写出的度数（用含的式子表示）． 16．如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 17．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 18．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $