精品解析：云南省蒙自市第三中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

云南2025秋·蒙自三中期中考试卷 八年级数学试卷 （考试范围：第十三章至第十五章） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 6，6，3 C. 4，4，4 D. 3，4，5 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 11. 大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 14. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 15. 如图，相交于点O，则下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 17. △ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝_____度． 18. 已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为________． 19. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 21. 已知：如图，与的顶点A重合，．求证：． 22. 如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 23. 如图所示平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）． （1）画出与关于x轴对称的，并直接写出点、、的坐标； （2）在y轴上有点M，满足与面积相等，M的坐标是______． 24. 如图，在和中， （1）求证：； （2）若，求的长度． 25. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 26. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 27. 【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南2025秋·蒙自三中期中考试卷 八年级数学试卷 （考试范围：第十三章至第十五章） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 【详解】自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，选项A、选项B和选项C都与题干不符． 故选：C． 3. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 6，6，3 C. 4，4，4 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，由此进行求解． 【详解】解：A、，所以不能构成三角形，故符合题意； B、，所以能构成三角形，故不符合题意； C、，所以能构成三角形，故不符合题意； D、，所以能构成三角形，故不符合题意； 故选A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是（-2，-1）， 故选：C． 【点睛】此题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟记特点是解题的关键． 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得到 再结合 从而可得△OMC≌△ONC，于是可得判定两个三角形全等的依据. 【详解】解：由题意得：MC=NC． 在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，理解题意，熟练运用判定两个三角形全等是解决本题的关键． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 7. 如图，，点在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，由直角三角形的特征得，，即可求解；能熟练利用直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 是斜边上的高， ， ， ， 故选：C． 9. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当为顶角时，底角为， 另外底角也可以为， 则它的底角是或， 故选：． 10. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 11. 大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的等边对等角可判断选项A，根据三线合一可判断选项B、C，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵，是的中点， ∴，，故选项B、C正确． 由已知得不到，故D不正确； 故选：D 12. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据成轴对称图形的特征进行判断，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据与关于直线对称，交于点，得出，，，与不一定互相平行，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，， 故A、C、D选项不符合题意； 则与不一定互相平行， 故B选项符合题意； 故选：B 13. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由作法得：垂直平分，平分，可得， 【详解】解：由作法得：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 14. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 15. 如图，相交于点O，则下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据可证即可判断②；同理可证即可判断③；由全等三角形的性质得到可证明，即可判断④；根据现有条件无法证明即可判断①． 【详解】解：在和中， ， ∴，故②正确； 同理可证，故③正确； ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故①错误； ∴正确的个数有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假； 【详解】∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°， ∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形 ∴ 逆命题为真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键； 17. △ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由∠A=∠C可得∠A＝∠C＝∠B，利用三角形内角和即可的答案. 【详解】∵△ABC中，AB＝AC ∴∠B＝∠C ∵∠A＝∠C ∴∠A＝∠C＝∠B ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=60°， 故答案为60 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；三角形三个内角和等于180°.熟练掌握性质及定理是解题关键. 18. 已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y），可求出a、b值，即可求得a+b的值． 【详解】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称， ∴a=﹣4，b=3， ∴a+b=﹣4+3=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标、代数式求值，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律是解答的关键． 19. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度 【答案】90 【解析】 【分析】先利用HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠BCA=∠EFD，又因为∠ABC+∠BCA=90°，所以∠ABC+∠DFE=90°． 【详解】解：∵AC⊥AB，ED⊥DF， ∴∠CAB=∠FDE= 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠BCA=∠EFD． ∵AC⊥AB， ∴∠ABC+∠BCA=， ∴∠ABC+∠DFE=． 故答案为：90． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质的运用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 21. 已知：如图，与的顶点A重合，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，可以得到，即可得到． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的证明方法． 22. 如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】略 23. 如图所示平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）． （1）画出与关于x轴对称的，并直接写出点、、的坐标； （2）在y轴上有点M，满足与面积相等，M的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图， 即为所求．点，，． （2）或． 【解析】 【分析】本题考查作图一轴对称、变换三角面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）由与面积相等，且它们由公共的底边知两三角形在边上的高相等，据此结合图形可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 与面积相等，且它们由公共的底边， ∴．两三角形在边上的高相等， 点M在y轴上， ∴点M是直线m、1与y轴的交点，其点的坐标为或． 故答案为∶ 或． 24. 如图，在和中， （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 在和中 ∵ ∴， ∴， ∴； （2）4cm． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案； 对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴. ∵， ∴， ∴ 25. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长是8 （2）的度数是 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1） ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． （2）小丽距地面的高为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 27. 【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，在的延长线上截取，使得，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 故， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，．则，再根据全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）在上截取，使得，连接，则是等边三角形，同（1）可证，根据全等三角形的性质得出，进而得出结论； （3）连接，在的延长线上截取，使得，连接．根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，得出，再由含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $