精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

三明一中2025—2026学年上学期12月月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简求值即可． 【详解】 故选：B 2. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正余弦函数、指数函数、幂函数的单调性和奇偶性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，在上单调递减，在上单调递减，A错误； 对于B，，不恒成立， 为定义在上的奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，，为定义在上的偶函数； 当时，，又在上单调递增，在上单调递增，C正确； 对于D，，不恒成立， 为定义在上的奇函数，D错误. 故选：C. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】因为函数是上的增函数，是上的增函数， 故函数是上的增函数． 又，， 即，所以函数区间内存在零点． 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将所求式子分子分母同时除以，再利用，可将所求式子转化为关于的式子，将代入即可求得结果. 【详解】∵，而， ∴. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，函数不能严格单调，ABC不合要求，D选项，可举出例子. 【详解】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调， A选项，在R上严格单调递增，不满足要求； B选项，在上严格单调递增，不满足要求； C选项，在R上严格单调递增，不满足要求； D选项，在R上不严格单调递增， 其中，与，的值域均为， 故为“同族函数”，D正确. 故选：D 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（ ） （参考数据：） A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件，结合对数运算求出半衰期的值，然后再利用求出的值计算水温从降至所用的时间. 【详解】已知，初始温度，当热水降至用时分钟，此时，分钟. 将这些值代入公式中，得到 即，化简可得 对等式两边取对数，. 根据对数运算法则可得. 又因为，. 将其代入上式可得. 已知，代入可得. 即，解得. 设水温从降至用时分钟，此时，，，. 代入公式，得到. 即，化简可得.所以，解得分钟. 故选：D. 8. 已知，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解. 【详解】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确有（ ） A. 若，，则 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 函数与函数为同一个函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数与对数互化原则、对数运算法则可求得A正确；通过反例可说明B错误；通过终边相同的角的特征可确定C正确；根据两函数定义域不同可确定D错误. 【详解】对于A，，，，， ，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，，终边位置与终边位置相同，均位于第三象限， 是第三象限的角，C正确； 对于D，由得：，的定义域为； 由得：或，的定义域为； 与定义域不同，与不是同一函数，D错误. 故选：AC. 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：配方整理即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据一元二次函数恒成立问题结合判别式运算求解即可；对于D：整理可得，进而求取值范围. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：当时，，故B错误； 对于选项C：若二次恒成立， 则，解得，故C正确； 对于选项D：令， 因为，则，， 可得，故D正确； 故选：ACD. 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 13. 已知，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式进行化简求值. 【详解】＝ ＝. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，并得到函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性得到不等式，解得范围. 【详解】∵，∴ 函数的定义域为， ， 令函数，即， 则函数定义域为， 则， 即函数为奇函数， 又∵中， 在上单调递减，在上递增，∴在上单调递减； 在上单调递减；在上单调递减； ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 即，即， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛，本题是利用函数的奇偶性和单调性求不等式，本题的关键是构造新的函数，利用函数的奇偶性整理不等式，利用函数单调性建立不等式，即可求得范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再把代入，利用并集补集的定义求解. （2）根据交集的结果列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，或， 当时，或， 所以. 【小问2详解】 由，得，则由，得，解得， 所以的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数奇偶性，并说明理由； （3）若，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）奇函数，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的性质及分式不等式的解法求定义域； （2）应用奇偶性定义判断即可； （3）利用奇函数性质或对数运算性质得到，解分式不等式求参数范围. 【小问1详解】 由条件得，则，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 函数为奇函数，理由如下： 因为定义域为，且， 所以函数为奇函数. 【小问3详解】 法一： 因为函数为奇函数，所以，即，得， 则，故， 因为，则，可得，解得， 故m的取值范围为. 法二： 因为， 由，得，故， 因为，则，可得，解得， 故m的取值范围为. 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由三角函数在单位圆中的定义，结合诱导公式化简求值即可； （2）解法一：根据题意化简可得，平方得到，再根据齐次化得，即，再解方程即可；解法二：根据题意化简可得，再结合三角恒等式，解方程组得或，再由求解即可． 【小问1详解】 由三角函数定义得，． 为锐角，， ， ，； 【小问2详解】 解法一：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，即， ，故， ，即， 解得或 解法二：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，解得或， 或． 18. 已知函数． （1）①求的值； ②求的值； （2）根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； （3）判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围． 【答案】（1）①； ② （2），证明过程见解析，几何意义：的图象关于中心对称； （3）函数单调递增，理由见解析， 【解析】 【分析】（1）代入计算出，故，同理计算出； （2）猜想，利用指数运算法则进行证明，并得到函数的对称性； （3）定义法得到函数单调性，结合，得到，求出答案. 【小问1详解】 ①，，； ②； 【小问2详解】 猜想，证明过程如下： ； 几何意义：的图象关于中心对称 【小问3详解】 函数在R上单调递增，理由如下： 任取，， 则 ， 因为在R上单调递增，，所以， 又，故， 即，在R上单调递增， 因为，， 所以， 故，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数， （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2），，求实数的取值范围； （3）已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）由对数函数真数大于0得到，由根的判别式得到不等式，求出答案； （2）转化为在上恒成立，令，对称轴为，分，和三种情况，结合函数单调性和最小值，得到不等式，求出答案； （3）分析出当时，的定义域为，转化为在只有1个解，换元后得到，，由对勾函数单调性和值域得到或，当，分析得到的定义域为，转化为在只有1个解，结合根的判别式得到，故时，满足要求，从而求出的取值范围 【小问1详解】 由题意得恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 ，， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，对称轴为， 当时，在上单调递增， 只需，解得， 与取交集得； 当时，的最小值为， 故只需，解得； 当时，在上单调递减， 只需，解得， 与取交集得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 需满足，故， 恰有一个零点， 由（1）知，若，此时的定义域为， 若，的两根为， ， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 若，此时定义域为， 综上，当时，的定义域为， 令在只有1个解， 变形得到，令， 则，， 下面证明在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， 因为，所以， 故，， 所以在上单调递减， 同理可证在上单调递增， 其中，， 要想在只有1个解，需满足或， 又，所以或， ，的两根为，， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 则的定义域为， 故在只有1个解， 令，其中， 故需满足，即， 化简得，显然，当时，上式恒成立， 故时，满足要求， 综上，实数的取值范围为或. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025—2026学年上学期12月月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 3. 函数零点所在的区间是（ ） A B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（ ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（ ） （参考数据：） A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟 8. 已知，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 函数与函数为同一个函数 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 13. 已知，则等于__________. 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若，求m的取值范围. 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 18. 已知函数． （1）①求的值； ②求的值； （2）根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； （3）判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围． 19. 已知函数， （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2），，求实数的取值范围； （3）已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $