21.2.1.1 平行四边形的性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形的概念及对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质。课堂从伸缩门、竹篱笆等现实图形导入，通过四边形分类引出平行四边形定义，搭建从四边形到特殊四边形的学习支架。 其亮点在于注重几何直观与推理意识培养，通过度量猜想、连接对角线证全等探究性质，规范几何语言表达。例题设计举一反三，结合中考题，培养应用意识。小结归纳性质及几何语言，助力学生构建知识体系，教师可利用分层练习提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十一章 四边形 21.2.1.1 平行四边形的性质 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 学习目标 1. 理解平行四边形的概念． 2. 探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分 的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯． 3. 利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用 数学知识解决实际问题的能力． 学习目标 新课导入 下面图形给我们留下什么图形的形象？ 伸缩门 竹篱笆 情景导入 只有一组对边平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 梯形 情景导入 探索新知 A B C D 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 什么样的图形叫作平行四边形呢？ 平行四边形用“□ ”表示. 平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”. 注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序. 探究新知 几何语言: 双重 含义 ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. A B C D 探究新知 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA 两组：AB 和 DC，AD 和 BC 四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC 两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC 两条：AC 和 BD D A C B O 探究新知 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ 平行四边形满足两个条件 一、是四边形 二、两组对边分别平行 × √ × × √ 探究新知 如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ）. A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个 A B C D E G H O F C 图中EF分出2个， GH分出2个， EF和GH分出4个， 加上□ABCD， 共有9个平行四边形 . 探究新知 A D B C 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下. 探究新知 AD = 5.5 cm， BC = 5.5 cm， AD = BC A D B C BA = 3.5 cm， CD = 3.5 cm， BA = CD 猜想 1：平行四边形的对边相等. 探究新知 A D B C ∠A = 120°， ∠C = 120°， ∠A = ∠C ， ∠B = 60°， ∠D = 60°， ∠B = ∠D . 猜想 2：平行四边形的对角相等. 探究新知 猜想 1：平行四边形的对边相等. 猜想 2：平行四边形的对角相等. 你能证明这些猜想吗？ A D B C 思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？ 连接任意一条对角线即可. 探究新知 1 4 2 3 证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC. A D B C ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. 又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴△ABC ≌△CDA ∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D. （两直线平行，内错角相等） （ASA） 请你自己证明∠BAD = ∠DCB. ∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3， ∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3， 即∠BAD = ∠DCB. 探究新知 A D B C 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义， 证明其对角相等呢？ 答：能.证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°. ∴∠A = ∠C. 同理可证 ∠B = ∠D. 探究新知 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等 . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB = CD,BC = AD； ∠A = ∠C，∠B = ∠D. 归纳小结 在平行四边形ABCD中， AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. 几何语言： 平行四边形的性质 A D B C 探究新知 1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证:∠ADE = ∠CBF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD. ∵E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF. ∴△AED≌△CFB(SAS). ∴△ADE=∠CBF. 探究新知 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F. （1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数； 解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC， ∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°. ∵四边形 BCDE 是平行四边形， ∴∠E = ∠C = 65°. 探究新知 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F. （2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长. ∵四边形 BCDE 是平行四边形， ∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD， ∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A. ∵AD = CD，BE = AD. ∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3. 探究新知 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ D C A B O 用尺子量一量，你发现了什么？自己动手试一试. OA = OC，OB = OD. 单击跳转几何画板 探究新知 D C A B O 改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？ D C A B O D C A B O 想一想，怎么证明？ 探究新知 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ D C A B O 4 2 1 3 证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB，DC = AB. ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴△DCO ≌ △BAO（ASA）. ∴OD = OB，OC = OA. 同理，△OAD ≌△OCB. 探究新知 平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. A B C D O 1 2 4 3 归纳小结 平行四边形的性质 探究新知 例 1 如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积. A B C D O 【思路分析】 平行四边形对边相等 BC，CD 的长 运用勾股定理 AC 的长 面积公式 □ ABCD 的面积 探究新知 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC = AD = 8，CD = AB = 10. ∵AC ⊥ BC， ∴△ABC 是直角三角形. 根据勾股定理，AC = = 6. ∴ OA = OC = S□ABCD = BC · AC = 8×6 = 48. A B C D O 例 1 如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积. 探究新知 1. 如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ） A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 思维拓展 C 探究新知 2. 如图， □ABCD 的周长是36cm，从顶点 D 分别向 AB，BC 引两条高 DE，DF.若 DE = cm，DF = cm，求这个平行四边形的面积. 思维拓展 解：设AB ＝ x cm，BC ＝ y cm. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD，AD ＝BC. 又□ ABCD 的周长是36 cm，∴ x ＋ y ＝ 18.① ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，∴ S □ ABCD ＝ AB·DE ＝ BC·DF. ∴ .② 由①②，得 x = 10，y ＝ 8.∴ AB ＝ 10 cm，BC ＝ 8 cm. ∴ 探究新知 练 习 1. 在□ ABCD 中， （1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长； （2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数. 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD = AB = 5，AD = BC = 3. （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠C = ∠A，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠D = 180°. ∵∠A = 38°，∴∠C = 38°，∴∠D = ∠B = 180°－38°= 142°. 【选自教材第57页 练习 第1题】 课堂练习 2. 如图， □ ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？ A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4， OD＝ OB ＝ 7， △ABO 与△ADO 的周长呢？ 又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD + BC + CD)－(AB + BC + AC)= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6， ∴△DBC 的周长比△ABC 的周长要长 6. 归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差. ∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21， 【选自教材第57页 练习 第2题】 课堂练习 3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分 构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的 长度有什么关系？为什么？ 解：AD = BC. 理由： ∵两张纸条的两组对边都互相平行， ∴重合的部分构成的四边形是平行四边形. 由平行四边形的对边相等，得 AD = BC. 【选自教材第57页 练习 第3题】 课堂练习 返回 1．[2025绍兴期中]在▱ABCD中，∠A∶∠B＝2∶1，则∠C的度数为(　　) A．50°　 B．60°　 C．100° D．120° D 中考考法 32 返回 2．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A(－3，2)，点B(－1，－2)，点C(3，－2)，则点D的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，3) D．(2，3) A 中考考法 33 3．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠ADC的平分线交BC于点E，则BE的长为(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 中考考法 34 返回 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, AD＝BC＝7，AB＝DC＝5.∴∠ADE＝∠CED.∵∠ADC的平分线交BC于点E，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠CDE＝∠CED.∴CE＝CD＝5.∴BE＝BC－CE＝7－5＝2.故选B. 【答案】B 中考考法 35 返回 4．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　) A．8 B．10 C．15 D．30 C 中考考法 36 5．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝114°，则∠BAC的度数是________． 22° 中考考法 37 返回 【点拨】设∠BAC＝α.∵AE＝BE，∴∠EBA＝∠BAC＝α，∴∠BEC＝∠EBA＋∠BAC＝2α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD.又∵AD＝BE，∴BE＝BC，∠DAC＝∠BCE.∴∠BCE＝∠BEC＝∠DAC＝2α.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝3α.∵AB∥CD，∴∠D＋∠BAD＝180°，即114°＋3α＝180°.∴α＝22°，即∠BAC＝22°. 中考考法 38 8 中考考法 39 返回 中考考法 40 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF使EF恰好经过点O． 中考考法 41 (1)求证：DE＝BF； 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，AD∥BC. ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO. ∴△DEO≌△BFO(AAS)．∴DE＝BF. 中考考法 42 返回 (2)若AC⊥BD，ED＋CF＝5，AC＝6，求BD的长． 中考考法 43 8．已知▱ABCD的周长为48 cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE∶ED＝3∶2，则边AD的长是(　　) A．9 cm或18 cm B．6 cm或15 cm C．9 cm D．15 cm 中考考法 44 【点拨】如图①，当点E在线段AD上时．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB. ∴AB＝AE.∵AE∶ED＝3∶2， ∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm.∴AB＝3x cm. ∵▱ABCD的周长是48 cm， ∴2(3x＋3x＋2x)＝48，解得x＝3. ∴AD＝AE＋ED＝3x＋2x＝5x＝15 cm； 中考考法 45 返回 如图②，当点E在AD的延长线上时，同理可得AB＝AE. ∵AE∶ED＝3∶2，∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm，∴AB＝3x cm，AD＝AE－ED＝3x－2x＝x cm. ∵▱ABCD的周长为48 cm，∴2(3x＋x)＝48， 解得x＝6，∴AD＝6 cm. 综上所述， 边AD的长是6 cm或15 cm. 【答案】B 中考考法 46 平行四边形的概念是什么？平行四边形的边、角有哪些性质？ 全等三角形 平行四边形 概念：对边平行 边、角、对角线的性质 简单应用 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分. 课堂小结 谢谢观看！ 6．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【点拨】设AE交BF于点O.由作图可知AB＝AF＝5，AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，AE垂直平分BF.∴BO＝BF＝3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.∴BF垂直平分AE.∴AO＝OE＝＝4.∴AE＝8. 【解】由(1)知BF＝DE. ∵ED＋CF＝5，∴BF＋CF＝BC＝5. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CO＝AC＝×6＝3，BD＝2OB. ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°. ∴OB＝＝4.∴BD＝2×4＝8. $