21.3.1.1 矩形的性质 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的概念、性质及直角三角形斜边中线性质，从生活中长方形情境导入，通过“平行四边形→一个角为直角→矩形”的演化过程，衔接平行四边形旧知，构建从一般到特殊的学习支架。 其亮点是以活动探究驱动学习，如测量数学书边角对角线（活动1）猜想性质，折纸实验（活动2、3）验证，培养数学眼光中的几何直观。证明矩形角和对角线性质时强化推理能力，规范几何语言表达提升数学语言运用，学生能主动探究，教师可直接用结构化资源提高教学效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十一章 四边形 21.3.1.1 矩形的性质 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 学习目标 1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系， 体会特殊与一般之间的关系． 2. 探究矩形的性质和证明条件，提高学生的推理能力． 3. 利用矩形的性质定理进行证明和计算． 4. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长 或解决线段的倍分关系问题． 学习目标 情境导入 长方形在生活中无处不在. 思考：长方形与我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 长方形是平行四边形吗？ 观察这些图形： 情景导入 新课导入 一个角是直角 平行四边形 矩形 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）. ★矩形是特殊的平行四边形. ★平行四边形不一定是矩形. 探究新知 A B C D O 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的 所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边、角、对角线等方面来考虑。 探究新知 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. A B C D O 观察猜想 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 探究新知 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 探究新知 A B C D 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 探究新知 归纳总结 矩形除了具有平行四边形的所有性质， 特殊性质有： 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的对角线相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB. A B C D O 探究新知 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形 ABCD 的对角线的长. 例 1 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC 与 BD 相等且互相平分. ∴OA = OB. 又∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4， ∴AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 探究新知 活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2条 探究新知 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A. AB // DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OB C 2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则 △DFC′的周长为_______. 12 探究新知 活动3 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半. A B D C O A B C O 思考：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 探究新知 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证：BO= AC. A B C O D 证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵OA = OC，OD = OB， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD，∴BO= BD= AC. 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究新知 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4， 则 AB 的长为 （ ） A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2 A 探究新知 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ， E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 在 Rt△CDE中， ∠ECD = 50°，∠CED = 40°. 50° 40° 在 △CEA中， CE = EA，∠ECA = ∠EAC 20° 20° B 探究新知 3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， AE⊥ BD 于点 E，且 BE ∶ ED =1 ∶ 3，AD = 6 cm. 求 AE 的长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BO=OD = BD = AC = OA，∠BAD = 90°． ∵BE ∶ ED =1 ∶ 3，∴BE=OE． 又 AE ⊥ BD，∴AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = BO．∴△ABO 是等边三角形． ∴∠ABO=60°．∴∠ADE=90°– 60°=30°. ∴AE= AD = ×6 = 3 (cm)． 探究新知 练 习 1. 一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中 有一个为 120°. 求这个矩形相邻两边的长. 解：如图，四边形 ABCD 是矩形，AC = 8，∠AOD = 120°. 根据矩形的性质，AC 与 BD 相等且互相平分，∠ABC = 90°， ∴OA = OB = AC = 4. 又∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB = OA = 4. 在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC = = = 4 . ∴这个矩形相邻两边的长分别为 4 和 4. 【选自教材第70页 练习 第1题】 课堂练习 2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上， DE // AC . △DBE 是等腰三角形吗？试说明理由. 解：△DBE 是等腰三角形. 理由： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD // BC，AC = BD . 又 DE // AC，∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴AC = DE，∴BD = DE . ∴△DBE 是等腰三角形 . 【选自教材第70页 练习 第2题】 课堂练习 返回 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线相互平分 C 中考考法 21 2．[2025陕西]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 中考考法 22 返回 【点拨】题图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个． 【答案】C 中考考法 23 返回 D 中考考法 24 4．[2025无锡期中]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝40°，则∠E的度数是________． 20° 中考考法 25 返回 中考考法 26 返回 5．如图，在矩形ABCD中，点E为BA的延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝________． 3 中考考法 27 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD． 中考考法 28 (1)求证：DF＝CF； 中考考法 29 返回 (2)若∠CDF＝60°，DF＝8，求矩形ABCD的面积． 中考考法 30 矩形的相关概念及性质 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 课堂小结 谢谢观看！ 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为(　　) A．2 B． C． D．3 【点拨】如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD.∴∠E＝∠DAE，OA＝OD.∴∠ADB＝∠CAD＝40°.∵BD＝CE， ∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，∴∠E＋∠E＝40°，即∠E＝20°. 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝BD，OC＝AC，且AC＝BD.∴OD＝OC. ∴∠ODC＝∠OCD. 又∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD， ∴∠FDC＝∠FCD.∴DF＝CF. 【解】∵∠CDF＝60°， ∴∠CDO＝∠CDF＝∠DCO＝∠DCF＝60°. ∴△OCD，△DCF都是等边三角形．∴DF＝CD＝OD＝8. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，BD＝2OD＝16. ∴BC＝＝＝8. ∴S矩形ABCD＝BC·CD＝64. $