精品解析：河南省信阳市第九中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 下列手机屏幕手势解锁图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2，3 B. 3，8，4 C. 10，6，6 D. 2，4，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为10，6，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】A．，故此选项计算正确，符合题意； B．，故此选项计算错误，不合题意； C．，故此选项计算错误，不合题意； D．，故此选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 5. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 6. 如图，图形的各个顶点都在正方形网格的格点上，则（ ） A. 60° B. 72° C. 45° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】如解析图，证明得到，则可证明，再由可得，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 7. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A. 不能用平方差进行计算，故不符合题意 B. 不能用平方差进行计算，故不符合题意 C. 能用平方差公式进行计算的是， D. 不能用平方差进行计算，故不符合题意 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 8. 已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ① D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式，检查每个多项式是否符合该形式． 【详解】解：完全平方公式为， 对于①，它的中间项为，不符合完全平方公式中的形式，故不能用完全平方公式因式分解； 对于②，符合公式； 对于③，符合公式； 对于④，平方项和异号，且不是平方项的正形式，故不能用完全平方公式因式分解； ∴能用完全平方公式进行因式分解的有②③． 故选：B． 9. 若 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握． 通过作差法来比较与的大小，即计算，然后判断其结果的正负性． 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 10. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式证明平方差公式；分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边图形中阴影部分的面积，故可得，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式． 故选D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点与关于轴成轴对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的变换，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得出m、n的值，可求的值． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴、， ∴， 故答案为1． 12. 多项式是一个完全平方式，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，正确理解完全平方式的结构是解题的关键．根据完全平方公式，将多项式与的形式比较，通过系数关系求解的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式，可表示为． 比较系数，得，所以；，所以．中间项系数满足，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 因此，的值为． 故答案为． 13. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 如图,△ABC中,AB边的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E两点,AE=3cm,△ADC的周长为10cm,则△ABC的周长是______________. 【答案】16 【解析】 【分析】要求的周长，就是求的值，已知，则，根据垂直平分线的性质可知，则的周长可转化为，则的周长可求. 【详解】垂直平分 的周长为10 的周长为16 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，做题过程中往往需要利用垂直平分线的性质将已知条件转化. 15. 如图，点E 在等边 的边 BC上，，射线 垂足为点C，点P 是射线CD上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当 的值最小时，，则等边 的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点关于射线的对称点，过作于，交射线于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点关于射线的对称点，过作于，交射线于，连接，如图，则， ，此时的值最小，则， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ，， ， ， .， 三．解答题 （共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算和有理数混合运算， （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则以及单项式除以单项式进行计算，然后再合并同类项； （2）根据平方差公式以及多项式的乘法进行计算即可； （3）利用平方差公式运算，然后再按照有理数加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 17. 分解因式 ： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，可根据平方差公式以及提取公因式法来进行因式分解． （1）直接利用平方差公式进行因式分解，后续再整理化简即可． （2）先将变形为，提取公因式后，再对剩余部分整理合并，最终完成因式分解． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，,是的角平分线，于E，点F在边上，且． （1）求证∶； （2）若，，且． ________； ②求出的周长． 【答案】（1）见详解 （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）①且，可求长，因为，则由勾股定理可求，则可求； ②将三角形三边相加即可． 【小问1详解】 证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，且， ∴, , ∵， ∴， ∵ ∴, 故答案为：； ②的周长为. 20. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： （1）解决问题：因式分解： （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【答案】（1） （2） 解：三角形为等边三角形，理由如下： 原式展开得 ，整理得 ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 21. 观察下列各式． （1）根据以上规律，则 _______； （2）你能否由此归纳出一般规律_______； （3）根据以上规律求： 的结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【小问1详解】 解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 22. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 【答案】（1）15，15，15 （2）证明见解析 （3）15 【解析】 【分析】本题考查根据日历规律进行计算，以及整式运算证明规律，和一元二次方程的应用，解题的关键是对概念的掌握． （1）根据题目所给的运算规则，分别计算出和的值，从而得出结果． （2）先根据日历中数的位置关系，用含的代数式表示出、、、位置上的数，再按照题目中的运算规则列出式子，最后利用平方差公式进行化简证明． （3）先根据正方形方框中数的位置关系，用含的代数式表示出最小的数和最大的数，再根据它们的乘积为列出方程，最后求解方程并根据实际情况进行取舍． 【小问1详解】 解：，， ∴结果都等于， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由日历的规律可知，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字多，位置的数字比位置的数字多． 因为位置的数字为， 所以位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为． 根据题目中的运算规则，可列出式子， 可得 ． 【小问3详解】 解：由正方形方框中数的位置关系可知，最小的数比中间位置上的数小，即最小的数为； 最大的数比中间位置上的数大，即最大的数为． 因为最小的数与最大的数的乘积为， 所以可列出方程． 化简方程得：，即． 可得：，解得． 因为表示日历中的数，为正整数， 所以． 23. （1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，换元法，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，，由题意得，，由，代入计算即可； （4）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2），，， ， 故答案为：； （3）设，，则，， ∴ ， （4）设，，由题意得，，，即， ， 所以种草区域的面积和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 下列手机屏幕手势解锁图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2，3 B. 3，8，4 C. 10，6，6 D. 2，4，2 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图形的各个顶点都在正方形网格的格点上，则（ ） A. 60° B. 72° C. 45° D. 90° 7. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ① D. ①②③ 9. 若 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点与关于轴成轴对称，则_____． 12. 多项式是一个完全平方式，那么m的值是________． 13. 把多项式分解因式的结果是___________． 14. 如图,△ABC中,AB边的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E两点,AE=3cm,△ADC的周长为10cm,则△ABC的周长是______________. 15. 如图，点E 在等边 的边 BC上，，射线 垂足为点C，点P 是射线CD上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当 的值最小时，，则等边 的边长为__________． 三．解答题 （共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 分解因式 ： （1） （2） 18. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 19. 如图，在中，,是的角平分线，于E，点F在边上，且． （1）求证∶； （2）若，，且． ________； ②求出的周长． 20. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： （1）解决问题：因式分解： （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 21. 观察下列各式． （1）根据以上规律，则 _______； （2）你能否由此归纳出一般规律_______； （3）根据以上规律求： 的结果． 22. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 23. （1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $