精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君 审题人：温红娜 考试时间: 120分钟 分数: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“直线与直线平行”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 5 B. 16 C. 32 D. 36 7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ） A. 22 B. 26 C. 35 D. 51 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为___________． 13. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 14. 椭圆光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 16. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. （1）求的方程； （2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 17. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG夹角的余弦值为，求 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君 审题人：温红娜 考试时间: 120分钟 分数: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，建立方程求解即可. 【详解】因为等差数列，所以，则. 故选：C. 2. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线及直线方程，通过直曲联立求出点的横坐标，再根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即. 不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为， 联立，消去整理得：， 解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 故选：B 3. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，然后根据双曲线和渐近线的相关性质确定双曲线的标准方程即可. 【详解】 因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 可设所求双曲线为，化为标准方程：， 则，解得，所求双曲线为． 故选： 4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，或， 验证均不重合，满足. 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 6. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 5 B. 16 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即， 解得：. 故选：C. 7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ） A. 22 B. 26 C. 35 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件和双曲线定义表示出，然后结合余弦定理求解，可得为等腰三角形，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为， 解得， 所以， 所以为等腰三角形， 即， 化简可得，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误. 【详解】⊙M ：，圆心，半径， 圆心到直线l：的距离为：， 所以直线l与⊙M相离，故A正确； 点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心关于直线l对称点为， 则，解得， 则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为， 则，解得或， 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误. 故选：AC. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求平面内点与点连线的方向向量，根据点到面的距离公式求解即可. 【详解】，又平面一个法向量， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 13. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将和改成的等式，联立方程组求出，从而得到等差数列的通项公式； （2）将代入，得到的通项公式，证明是等差数列，利用等差数列的求和公式求出，将代入，解关于的一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，， ，， 联立，解得， 所以， 的通项公式； 【小问2详解】 ，，， ，， 数列是以为首项，8为公差的等差数列， ， ，，， ，为正整数，， 正整数的最小值10. 16. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. （1）求的方程； （2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【小问1详解】 由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上， ，解得：，即圆心为， 圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为， 由已知 所以，所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 由得：，所以 D在圆上运动， 整理可得点T的轨迹方程为： 当直线轴时，轴平分， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式， 设，，， 若轴平分，则，所以， 又，， 所以， 所以， 所以 所以 解得， 当时，能使轴平分. 17. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入方程即可求出焦点坐标为，进而求出椭圆方程； （2）当直线斜率为0时，不合要求，故直线的斜率不为0，设方程为，分别联立方程组，利用根于系数的关系化简条件，即可得解. 【小问1详解】 将代入得，则的方程为， 其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ； 又过点，所以② ，联立① ② 得， 所以，故的方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得，， 设，故， 则， 故， 联立与，可得，， 设，则， 则， 所以，解得，所以直线方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明； （ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上： 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $