精品解析：海南省琼海市嘉积中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

琼海市嘉积中学 2025-2026 学年度第一学期高二年级第三次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 2. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程. 【详解】由椭圆知，其焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为，即， 又，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D 3. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的定义转化即可求值. 【详解】因为抛物线， 所以 因为点在抛物线上， 故 故选：C 4. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 5. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5； 若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法； 所以所求概率为. 故选：A 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D. 若事件A、B相互独立，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、对立事件、方差的计算、相互独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，将数据从小到大排列为3,3,4,5,6,7,7,9,9,9,因为 ，所以这组数据的第30百分位数为故A错误； 对于B，事件"至少两次中靶"与事件"至多一次中靶"不能同时发生且必有一个发生，是对立事件，故B正确； 对于C，若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故C正确； 对于D，因为事件A，B相互独立，所以 B相互独立， ，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到y轴的距离为 C. 线段长度为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答. 【详解】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点， 即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确； 由消去并整理得：，设， 则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误； ，因此线段的长度为，C正确； 显然点，， 则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 二面角的大小为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线与所成角的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】在A中推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中根据正方体性质显然不成立；在C中由B1C∥平面 A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在D中异面直线AP与A1D所成角的取值范围是即可求解. 【详解】如图， 在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1， ∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1， ∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确； 在B中，由正方体可知平面不垂直平面,故B错误； 在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D， ∴B1C∥平面 A1C1D， ∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值， 又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确； 在D中，当点P与线段的端点重合时, 异面直线与所成角取得最小值为,故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据正方体的图形与性质，结合线面垂直的判定，三棱锥的体积公式，二面角、异面直线所成角的概念，是解题的关键，属于中档题. 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式及对立事件的概率公式得解. 【详解】由题意，甲没有通过面试的概率， 乙没有通过面试的概率， 所以甲、乙都没有通过面试的概率为， 所以甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是. 故答案为： 13. 已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】解：∵双曲线的方程为：，∴，得， 由此可得、，焦距， ∵，∴， 即，① 又∵点在双曲线上，∴， 平方得，② ① ②，得， 故答案为：. 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得，，代入上式，即可求解. 【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0.(*) 因为△ABF1的重心为G， 所以故 代入(*)式得， 所以＝＝，即a2＝3b2， 所以椭圆C的离心率e＝. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】（1）．（2）． 【解析】 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500， Y＝450×2＝900元， 当温度在[20，25）℃时，需求量为300， Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元， 当温度低于20℃时，需求量为200， Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y大于零的概率P． 【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； 【小问2详解】 由中线向量可得：， 则， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为线段的中点，为线段上一点. （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【答案】（1）证明见解析； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. （2）利用直角梯形的特征求出，取线段的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，设出点的坐标，再利用线面夹角的向量求法列式求解. 【小问1详解】 由为等边三角形，F为线段的中点，得， 由平面平面ABCD，平面平面，平面， 得平面ABCD，又平面，所以. 【小问2详解】 过作，垂足为，依题意，为矩形， ，由（1）知平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，，由，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由E为线段PF上一点，设， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 依题意，，整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， （1）求椭圆的标准方程 （2）求椭圆被直线截得的弦长； （3）若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的性质求出即得. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算得解. （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求出的值. 小问1详解】 设椭圆的标准方程为，半焦距， 由椭圆上点到左焦点的最大距离为3，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由消去并整理得：， 设弦的两个端点坐标为，则， 所以椭圆被直线截得的弦长. 【小问3详解】 设，， 由消去并整理得：， ，解得， ，，， 由，得， 则，解得，符合题意， 所以的值为. 19. 已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【小问1详解】 设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学 2025-2026 学年度第一学期高二年级第三次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 2. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 5. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C D. 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”对立事件 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D. 若事件A、B相互独立，，，则 10. 已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到y轴的距离为 C. 线段的长度为 D. 11. 如图，正方体中，点在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 二面角的大小为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线与所成角的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是__________. 13. 已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________. 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为线段的中点，为线段上一点. （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， （1）求椭圆的标准方程 （2）求椭圆被直线截得的弦长； （3）若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求值. 19. 已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $