精品解析：江西省吉安市名校协作2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

白鹭洲中学教育集团2025—2026学年第一学期 九年级第二次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示几何体的左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图为在侧面内得到的由左向右观察物体的视图．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据左视图的定义即可得出答案． 【详解】解：根据几何体的图示可以得到左视图的形状应该是中间为虚线的直角梯形， 即左视图如下： 故选：D． 2. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解决问题的关键． 通过计算判别式的值来判断方程的根的情况即可． 【详解】解：∵方程， ∴，，， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是菱形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用.根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A、根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，故该选项不符合题意； B、根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； C、根据菱形的判定“对角线垂直的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； D、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”，而不是正方形，故该选项符合题意； 故选：D. 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：． 5. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是．   故选： ． 6. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为 ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，则，（其中），再代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， 设，（其中）， 则， 故答案为： 8. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故答案为： 9. 若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，先利用一元二次方程的定义得到，则，然后利用根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：为方程的根， ， ，n是一元二次方程的两根， ， 故答案为： 11. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为________． 【答案】或或1 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，勾股定理，三角形三边关系等．根据题意分三种情况讨论，第一种当时，第二种当时，第三种当时，每种情况画出对应图形，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵为直角三角形时，一共有三种情况 ①当时，如下图： ∵矩形中，，， ∴， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如下图： 当点在左侧时， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∵， ∴， 当点在右侧时， ∵，， ∴； ③当时，如下图： 此时，， 不符合斜边大于直角边关系，即此种情况舍去， 综上所述：线段的长度可能为或或1， 故答案为：或或1． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． 【答案】（1），； （2）证明：∵D、E、F分别是、、上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，中位线的性质，以及一元二次方程的求解，解决本题的关键是先证明四边形是菱形；使用提取公因式的方法求解一元二次方程．（1）先移项，再提取公因式，由此可求解．（2）根据中点可得四边形的四边相等，再由此即可证明正方形． 【详解】（1）解： 解得，． （2） 略 14. 现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及随机事件的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由概率公式即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小辰从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片是呈现的变化是物理变化的结果只有2种， ∴概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种， ∴小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率为． 15. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，在上找点，使得； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 【答案】（1） 如图1，点E即为所求； （2） 如图2，点F即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）取格点P，Q，并连接，交于点E，利用相似三角形的性质即可求解；（2）取格点C，并连接，构造直角三角形，得，再连接，根据网格可得，所以，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， 无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据得到，根据根与系数的关系得到，进而代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又， ， 解得：． 17. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先通过对角线互相平分证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证该平行四边形有一个直角，从而得矩形； （2）由矩形性质得菱形边长，结合菱形内角条件，用直角三角形性质和勾股定理求对角线长，再用菱形面积公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可知：四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的对角线性质及矩形的判定条件是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】（1）每件售价应定为50元； （2）该款小商品的日平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； 【小问2详解】 解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2）背垫旋转的度数为 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． 【小问2详解】 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数解析式为； （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例与几何综合，待定系数法求函数解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出对应的函数解析式． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中可求出的值，把点和点代入一次函数解析式中可求出和的值即可得到一次函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据求出点的纵坐标即可得解． 【小问1详解】 解：把点代入得， 反比例函数解析式为， 把点，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ， ， ， ， ， ， ， 为反比例函数图象上一点， 点的坐标为或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． （1） ； （2）求的长；（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 【答案】（1） （2）当时，，当时， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用参数构建方程是解决此题的关键． 先解求出，再利用勾股定理求解即可； 如图，过点B作交于点D，分两种情形：当时，当时，分别求解即可； 由平行线分线段成比例定理证明，由此构建方程，可得结论． 【小问1详解】 解：在中，， ∵ ∴, ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点B作交于点D， ，，，， ， ， ∵点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动， ∴点从点出发运动到点的时间，到达点用时， ∵， ， 当时，， 当时，； 【小问3详解】 解：如图，此时， 当时,， , , ,解得, 此时． 22. 在长方形纸片中，，． （1）如图①，将长方形纸片折叠，点B落在对角线上的点E处，则CE的长为______； （2）如图②，点M为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．①证明：．②求的长． 【答案】（1）2 （2） ①证明：如图： 由折叠的性质得：， 在和中， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，矩形的性质，等知识；熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由勾股定理求出，求出即可得出答案； （2）①由证明；②由全等三角形的性质得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：矩形纸片中，，， ， 将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处， ， ； 故答案为：2； 【小问2详解】 ① 略 ②设，则， 由折叠的性质得：， ， ， ，即， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 六、解答题（共12分） 23. 四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°． （1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证：． （2）若 ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC， ①如图 2，若∠AFE=60°，求的值； ②如图 3，若 AB=BC，EC=2CF．直接写出 cos∠AFE 值为　　　． 【答案】 （1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC， ∴△ABE∽△ECF， ∴ ∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a， ∴CF＝a，DF＝CD−CF＝a， ∴ ； （2）① ② 【解析】 【分析】（1）如图1中，设正方形的边长为2a．只要证明△ABE∽△ECF，可得，求出CF、DF即可解决问题； （2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF．只要证明△AEF是等边三角形，推出AF＝2EF，再证明△AHF∽△FCE，可得EC：HF＝EF：AF＝1：2; （3）如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，证△FCE∽△ATF，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，DH＝DT＝，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）①如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF， ∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝60°， ∴AF＝2EF， ∵FH＝DF， ∴△DHF是等边三角形， ∴∠FHD＝60°， ∴∠AHF＝120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C＝180°−∠D＝120°， ∴∠AHF＝∠C， ∵∠AFC＝∠D＋∠FAH＝∠EFC＋∠AFE，∠AFE＝∠D， ∴∠HAF＝∠EFC， ∴△AHF∽△FCE， ∴EC：HF＝EF：AF＝1：2， ∴； ②如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H， 则∠FTD＝∠FDT， ∴180°−∠FTD＝180°−∠D， ∴∠ATF＝∠C， 又∵∠TAF＋∠D＝∠AFE＋∠CFE，且∠D＝∠AFE， ∴∠TAF＝∠CFE， ∴△FCE∽△ATF， ∴＝， 设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2， ∴DH＝DT＝，且， 由cos∠AFE＝cos∠D，得， 解得x＝6，（x=0舍去） ∴cos∠AFE＝＝． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白鹭洲中学教育集团2025—2026学年第一学期 九年级第二次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示几何体的左视图是（ ）． A. B. C. D. 2. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是菱形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么______ 8. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______． 9. 若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是________． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则______． 11. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． 14. 现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 15. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，在上找点，使得； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 17. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． （1） ； （2）求的长；（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 22. 在长方形纸片中，，． （1）如图①，将长方形纸片折叠，点B落在对角线上的点E处，则CE的长为______； （2）如图②，点M为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．①证明：．②求的长． 六、解答题（共12分） 23. 四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°． （1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证：． （2）若 ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC， ①如图 2，若∠AFE=60°，求的值； ②如图 3，若 AB=BC，EC=2CF．直接写出 cos∠AFE 值为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $