精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2025-2026学年上学期九年级质量监测（二）数学试题

沈北新区2025-2026学年度上学期质量监测（二） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A B. C. D. 2. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，则为（ ） A 40 B. 35 C. 25 D. 20 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 7. 下列各组图形不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个含有内角的等腰三角形 C. 两个含有内角的等腰三角形 D. 两个含有内角的直角三角形 8. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数图象上，则 9. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是(　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为_______． 13. 湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________． 14. 如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝_____米（结果保留根号）． 15. 如图，正方形的边长为平分交的延长线于F，交于M．当M为的中点时,的长是__________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）求袋子中白球的个数； （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 18. 桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度.在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为测得这根立柱与水面交汇点的俯角为向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为.已知点在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）． 参考数据：， 19. 如图，已知正比例函数图象与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）反比例函数的解析式为______； （2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接． ①求的面积； ②直接写出点E的坐标． 20. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？ 21. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 22. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 23. 已知二次函数（b，c为常数）图象经过点，对称轴为直线． （1）直接写出二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围； （4）若关于x的（t为实数）在的范围内有解，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈北新区2025-2026学年度上学期质量监测（二） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 得或， 解得：， 故选：D． 2. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 3. 如图，中，，，，则为（ ） A. 40 B. 35 C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，由相似三角形的性质可知，结合，进一步即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 故选C 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 5. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 该几何体的俯视图是： 故选：． 6. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 7. 下列各组图形不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个含有内角的等腰三角形 C. 两个含有内角的等腰三角形 D. 两个含有内角的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据对应角相等判断各组图形是否一定相似． 【详解】解：A、等腰直角三角形角均为、、，对应角相等，一定相似； B、含有内角的等腰三角形中，必为顶角，底角均为，对应角相等，一定相似； C、含有内角的等腰三角形中，可能为顶角或底角，导致角组合可能不同（如、、或、、），对应角不一定相等，不一定相似； D、含有内角的直角三角形，角均为、、，对应角相等，一定相似， 故选：C． 8. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对B、D进行判断；根据反比例函数的性质对A、C进行判断． 【详解】解：， 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 当时，， 点不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大 故C选项正确，符合题意； 若点都在函数图象上， ，， ， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长交于G，由矩形的性质推出，，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，可得． 【详解】解：延长交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是(　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故①错误， 观察图象可知：当时，y随x增大而减小，故②正确， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，故③正确， ∵当时，抛物线与直线没有交点， ∴方程没有实数根，故④正确， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据药品原价和两次降价后的价格，利用平均每次降价的百分率x，根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为元，第二次降价后药价为元， 根据题意，得 ， 故答案为：． 13. 湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 14. 如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝_____米（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作FE⊥AB于点F，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE=AB-AF即可解题． 【详解】解：如图，过点E作FE⊥AB于点F，则四边形BDEF是矩形，则BF=DE，EF=BD=12 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=12米． ∵物高与影长的比是1：， ， 即米， （米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角似三角形的应用，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为平分交的延长线于F，交于M．当M为的中点时,的长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接交于点，连接， 由正方形的性质可得，，，即得，，根据等腰三角形的性质可得，，，即可得，再推出可得，进而由得到，进而利用勾股定理可得，得到，由四边形是矩形得到，，，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接交于点，连接， ∵正方形的边长为，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 则， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， 则，即， ， ，． 17. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）求袋子中白球个数； （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【答案】（1）2个 （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率 （1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：，解此方程即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设袋子中白球有x个， 根据题意得：， 解得：， ∴袋子中白球有2个； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：． 18. 桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度.在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为测得这根立柱与水面交汇点的俯角为向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为.已知点在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）． 参考数据：， 【答案】（1）米；（2）米． 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，从而可得，在中求解即可得高度． （2）在中求解可得BC，从而可得AC，在中，可求CN，进而可得MN． 【详解】解：， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米． 在中，， 在中， （米） 答：大桥立柱在水面以上的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义． 19. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）反比例函数的解析式为______； （2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接． ①求的面积； ②直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）①根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积；②求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：①如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ②由①得：， ∴点， ∵， ∴可设直线得解析式为， 把点代入得：， ∴， ∴直线得解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴． 20. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，利用矩形的性质可得、易得，即，可求得，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：四边形EFHG是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为． 小问2详解】 解：如图：设， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ， ∴，解得：， ， ∴这个矩形的面积是． 21. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【答案】（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内 【解析】 【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据，利用配方法求得二次函数的最值即可解题； ②令①中千元，解析式化为一般式，求得与轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可． 【详解】（1）由题意得，设 ， 根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得， ； （2）①设乙种蔬菜的进货量为吨， 当，利润之和最大 （元） 答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元． ② 当时，即， 令 解得，， 因为抛物线开口向下，所以， 答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与轴的交点，一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 22. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）直接写出二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围； （4）若关于x的（t为实数）在的范围内有解，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）m的值为4 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可； （4）由（1）知二次函数的表达式，求出在时，函数值的取值范围，再结合关于x的（t为实数）在的范围内有解，即可解答． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为； 【小问4详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为，且函数图象开口向上， 则时，有最小值， ∵， ∴或时，， ∴当时，函数值的取值范围为， 则当时，， ∵关于x的（t为实数）在的范围内有解， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $