2026年中考数学复习专题训练 二次函数图象与字母系数之间的关系

专题01 二次函数图象与字母系数之间的关系 一、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2025·广东省·同步练习)二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过  (    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 2.(2025·安徽省·同步练习)如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是(    ) A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 3.(2025·云南省·期中考试)如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是       A.   B. C. D. 图象的对称轴是直线 4.(2025·山东省·单元测试)如图为二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，根据函数图象信息有下列结论：若对于的任意值都有，则当为定值时，若变大，则线段变长其中，正确的结论有(    ) A. B. C. D. 5.(2025·广东省·月考试卷)如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，正确的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 6.(2025·广西壮族自治区·同步练习)二次函数的部分图象如图所示，则          ． 7.(2025·广东省·单元测试)二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：；；； 其中正确的是          ． 8.(2025·广东省·同步练习)如图是二次函数的图象，对于下列说法：；；；；当时，随的增大而减小．其中正确的是          填序号 9.(2024·安徽省·单元测试)如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数的取值范围是          ． 10.(2025·山东省淄博市·模拟题)“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)本小题分 已知的图像如图，则：______；______；______；______；______；______；______；______ 12.(2025·浙江省金华市·模拟题)本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． 请用含的代数式表示． 若该抛物线向上平移个单位后顶点恰好落在轴上，求该抛物线的函数表达式． 已知和是该抛物线上的两点若对于，，都有，求的取值范围． 13.(2025·浙江省金华市·模拟题)本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线过点，． 请用含的代数式表示． 若该抛物线关于轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． 当时，对于每一个的值，始终成立，试求的取值范围． 14.(2025·江苏省无锡市·其他类型)本小题分 已知二次函数是实数的自变量的部分取值和对应函数值如下表： 若，求二次函数的表达式． 写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． 若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 15.(2025·云南省昆明市·模拟题)本小题分 已知抛物线． 若抛物线经过点时，求的值； 若点，在此抛物线上，求的值． 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的增减性即可判断、． 【解答】 解：二次函数的图象开口向上， ，故A选项错误； 二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ，故B选项错误； 抛物线的对称轴为直线， 由图象可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故C选项正确，选项错误． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二次函数 常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 抛物线与轴交点个数． 时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 【解答】 解：由题图可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，所以，故A错误 因为抛物线与轴交于，两点，所以，故B错误 当时，抛物线的图像在轴上方，即，故C错误 因为，两点关于对称轴对称，所以对称轴是直线，故D正确． 故答案为． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象及性质；根据图象确定函数的对称轴，利用时，增大，函数的开口变小的性质解题是关键．由图象分别求出，，，则函数解析式为，则对称轴，由开口向上的函数的图象开口与的关系可得：当变大，函数的开口变小根据二次函数的性质对各结论进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，，，抛物线经过点和点， 抛物线的对称轴为， ， ； 正确； 、两点关于对称轴直线对称， ， 正确； 抛物线的解析式为， 当时，抛物线与轴的左侧交点坐标为， 对于的任意值都有， 当时，函数开口变小，抛物线与轴的左侧交点在点的右侧，则存在的情况， 不正确； 若对于的任意值都有， 当时，， ， 不正确； ，当变大时，函数的开口变小， 则的距离变小， 不正确； 综上，正确的结论有． 故选 D 5.【答案】  【解析】解：根据抛物线开口向下可知： ， 因为对称轴在轴右侧， 所以， 因为抛物线与轴正半轴相交， 所以， 所以， 所以错误； 因为抛物线对称轴是直线， 即， 所以， 所以， 所以正确； 因为抛物线顶点在直线的上方， 所以， 所以， 所以， 所以错误； 当时，， 即， 因为， 所以， 所以正确． 所以正确的是，共个． 故选：． 根据抛物线开口向下可得，对称轴在轴右侧，得，抛物线与轴正半轴相交，得，进而即可判断； 根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断； 根据抛物线顶点坐标公式纵坐标大于，进而可以判断； 当时，，即，根据，可得，即可判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数有决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到的符合，则可对进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有个交点可对进行判断；利用时，和可对进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，则可对进行判断． 【解答】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以正确； 抛物线与轴有个交点， ，所以正确； 时，， ， 而， ，所以正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 而时，，即， ，即，所以错误． 故答案为：． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 由条件可知二次函数的图象经过第一，二，三象限， ，， ． 故答案为：． 首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 11.【答案】解：根据函数的图像得：图像开口向下，对称轴为，函数图像与轴的交点在轴的正半轴，与轴有两个交点， ，，，， ，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，，，，，，．   【解析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点情况及特殊值的情况即可解答． 12.【答案】；   ；   或．  【解析】抛物线经过点， ， ； ， ， 该抛物线向上平移个单位后得到， 顶点恰好落在轴上， ， 解得或舍去， 该抛物线的函数表达式为； ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，对于，，都有， 和都在对称轴右侧， 在对称轴的右侧，随增大而增大， ， ； 当时，， 在对称轴右侧， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， 对于，，都有， ， ； 综上，或． 代入的坐标即可求解； 求得平移的抛物线的解析式，根据题意，得到关于的方程，解方程即可求得的值，就可以得到抛物线的解析式； 分两种情况讨论，根据二次函数的增减性得到关于的不等式，解不等式即可． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 13.【答案】；   ；   ．  【解析】解：抛物线过点，， ， 得，即， ； 该抛物线关于轴对称后的图象经过点， 抛物线过点， 抛物线过点，， ， 代入，得， 解得， ，即该抛物线的函数表达式为； 抛物线过点，， ， 解得，， ， 在直线上，时，；时，， 时，， ， 解得， ． 将点，代入抛物线整理即可得出结论； 利用待定系数法即可求解； 在直线上，时，；时，，故时，，即，解不等式即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 14.【答案】解：由题意得， 解得， 二次函数的表达式是； ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 和时的函数值都是， 抛物线的对称轴为直线， 是顶点，和关于对称轴对称， 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且， ， ， 二次函数为， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】；   ．  【解析】解：抛物线经过点， ， 解得； 抛物线， 对称轴为直线， 点，在此抛物线上， 点，关于对称轴对称， ， 解得， 把代入， 得， ， 去分母得， 整理得， ，， ． 把点代入抛物线的解析式即可求得的值； 由题意可知点，关于对称轴对称，据此求得，把代入即可得到，从而得出，，代入即可求解． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $