专题 18.8 分式全章复习专项训练（10大考点20类题型）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 18.8 分式全章复习专项训练（8大考点21类题型） 目录 基础篇 2 考点一 分式的概念与性质 2 【题型1】分式的定义 2 【题型2】分式有意义、无意义、值为 0 的条件 3 【题型3】分式的基本性质应用 4 【题型4】最简分式与约分 5 考点二 分式的基本运算 6 【题型5】科学记数法 6 【题型6】零指数与负指数 7 【题型7】分式的乘除运算 8 【题型8】分式的加减运算 10 【题型9】分式的基础混合运算 12 考点三 分式方程的基础解法与简单应用 14 【题型10】解可化为一元一次方程的分式方程 14 【题型11】分式方程的简单应用 16 培优篇 18 考点四 分式的复杂运算与化简求值 18 【题型12】分式的加减乘除混合运算 18 【题型13】分式化简求值 20 考点五 分式方程的含参问题 22 【题型14】分式方程的增根求参数 22 【题型15】分式方程的无解求参数题 24 【题型16】分式方程的解的范围求参数题 26 考点六 分式方程的综合应用题 27 【题型17】分式方程的多场景应用题 28 【题型18】分式方程与不等式（组）的综合题 31 压轴篇 34 考点七 分式的代数综合创新题 34 【题型19】分式与因式分解、整式变形的综合题 34 【题型20】分式的新定义运算题 39 考点八 分式方程的应用中的压轴题 43 【题型21】分式方程的方案优化应用设计题 43 基础篇 考点一 分式的概念与性质 【题型1】分式的定义 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【答案】 ①④⑤ ②③⑥ 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义解答即可． 解：分式为，，；整式为，，． 故答案为：①④⑤；②③⑥ 【题型2】分式有意义、无意义、值为 0 的条件 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 解：要使分式有意义，则， 解得且， 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 【答案】 1 【分析】本题考查分式有无意义，分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0，分别求解即可． 解：若分式的值为0，则， 解得； 若分式有意义，则分母，解得； 若分式无意义，则分母，解得； 故答案为：1，， 【题型3】分式的基本性质应用 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 【题型4】最简分式与约分 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除运算与因式分解的应用，通过因式分解实现分式约分是解题关键． 简化表达式，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到结果，再根据x为正整数判断其类型． 解：∵ ==， ∵ 为正整数， ∴ ≥ 0，且为非负整数， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 考点二 分式的基本运算 【题型5】科学记数法 1．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较小的数、有理数的除法，已知头发丝直径为毫米，超薄金属厚度为其二十万分之一，首先通过有理数的除法计算出超薄金属的厚度，再用科学记数法表示． 解：头发丝直径为毫米， 超薄金属厚度为：． 超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米． 故选：A． 2．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 解： ； 故选：C． 3．（19-20六年级下·山东淄博·期末）安哥拉长毛兔最细的兔毛直径约为米，将这个数写成小数的形式为 ． 【答案】0.000005 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原为原数的运用，科学记数法的表示形式为，值的取值方法是：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 解：米，将这个数写成小数的形式为0.000005 故答案为：0.000005． 【题型6】零指数与负指数 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂运算的运算法则．熟练掌握幂运算的运算法则是解题的关键． 根据幂运算的运算法则计算出每个选项进行判断即可． 解：A选项：，该选项错误； B选项：，该选项正确； C选项：，该选项错误； D选项：，该选项错误； 故选B． 2．（25-26七年级上·上海·月考）计算： （结果不含负指数幂）． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：． 【题型7】分式的乘除运算 1．（23-24八年级上·山东日照·月考）分式计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 解：（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的基本性质约分即可得到答案． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点拨】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型8】分式的加减运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加法和减法运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （3）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （4）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查分式的加减法；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，先通分，分子相加减，注意结果要化简； （1）两个分式分母相同，直接合并分子； （2）分母不同，需先因式分解和通分，再化简. 解：（1） 解：原式 （2） 解：原式        . 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同分母分式相加，异分母分式相减，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母分式相加法则进行计算化简，即可作答． （2）先化为同分母，再根据同分母分式相减法则进行计算化简，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型9】分式的基础混合运算 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把分式的分子分解因式，再把除法变成乘法，最后约分即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法，最后约分即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的乘法运算计算即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算即可． 解：（1）解：； （2） ． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）计算： （1）． （2） 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，包括因式分解、分式的乘除转化以及加减运算时通分等步骤． （1）先对分子分母因式分解，将除法转乘法，约分后进行分式加法运算； （2）先因式分解分母，通分计算括号内减法，再将除法转乘法，最后约分． 解：（1）解： 原式 ． ； （2）（2） 原式 ． 考点三 分式方程的基础解法与简单应用 【题型10】解可化为一元一次方程的分式方程 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握解分式方程并能熟练运用求解． （1）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根； （2）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根． 解：（1）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验：是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验：是原分式方程的解． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 解：（1）解：， 去分母得， 去括号得， ∴， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得， 去括号得， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， 此方程无解． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 解：（1）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【题型11】分式方程的简单应用 1．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 2．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． （1）求原计划每小时播种多少万平方米？ （2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】（1）原计划每小时播种8万平方米；（2）甲播种机至少要播种20小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 解：（1）解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． （2）解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 3．（24-25九年级下·吉林长春·月考）某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【答案】第一批每只背包的单价为60元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元，根据商店购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，列出分式方程，解方程即可． 解：设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：第一批每只背包的单价为60元． 培优篇 考点四 分式的复杂运算与化简求值 【题型12】分式的加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可； （2）先把中括号内的式子变形为，进一步约分和通分得到，把除法变成乘法后约分即可得到答案． 解：（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算： （1）先通分，然后根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简． 解：（1）解： ． （2）解： ． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的化简计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算，化简计算即可； （2）根据分式的混合运算，化简计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型13】分式化简求值 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为，运算结果为 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先进行小括号里的运算，同时将除号后的分式分子、分母分解因式，再将除法转化为乘法，然后化为最简，再根据分式有意义、运算过程有意义，确定未知数的值代入求值． 解：原式 ， 要使原来的分式和运算过程有意义， 必须有，且，且， 所以，，， 所以从1，0，中，只能选， 所以， 原式． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，根据多项式乘以多项式、单项式乘以单项式的运算法则去括号，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后计算出的值，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ， ∵， ∴当时，原式． 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 解： ， ， ， 原式 考点五 分式方程的含参问题 【题型14】分式方程的增根求参数 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 【答案】（1）；（2）a的值为3 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 解：（1）解：分式方程的根是， ， 解得； （2）去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或， 当时，，此时不存在a的值； 当时，，解得， 综上，a的值为3． 【题型15】分式方程的无解求参数题 2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，关于的方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握分式方程无解包括分整式方程无解或解为增根两种情况成为解题的关键 先将分式方程转化为整式方程求解，然后分整式方程无解或解为增根两种情况求解即可． 解：， ， ， 因，方程有解． 若原方程无解，则此解必为增根，代入得：，解得：． 所以此时使原方程分母为零，故原方程无解．因此． 故选C． 5．（2023九年级上·安徽·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，求出分式方程的解，根据解是非负数结合分式有意义的条件，进行求解即可． 解：去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是非负数， ∴． 解得． 又∵， ∴ ∴m的取值范围是且． 【题型16】分式方程的解的范围求参数题 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程得到x关于m的表达式，根据解为负数且分母不为零，列出不等式求解． 解：方程， 两边乘以得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：C． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 解：（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 考点六 分式方程的综合应用题 【题型17】分式方程的多场景应用题 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元；（2）该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 解：（1）解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． （2）解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： （1）欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； （2）从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】（1）八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10；（2）八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】此题考查了分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出；结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （2）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 解：（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 12．（25-26八年级上·河北邢台·月考）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 解：（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 【题型18】分式方程与不等式（组）的综合题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 解：解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 3．（25-26八年级上·山东威海·月考）若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 压轴篇 考点七 分式的代数综合创新题 【题型19】分式与因式分解、整式变形的综合题 （25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 解：（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． （1）填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】（1）是；（2）分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 解：（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 3．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 解：（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 【题型20】分式的新定义运算题 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）将分式用“分离常数法”可化成______； （2）将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）利用加减法可得，即可得或或，据此解答即可求解； 本题考查了分式的变形运算，解二元一次方程组，掌握“分离常数法”是解题的关键． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：， ①②，得， ∴， ∵是正整数， ∴大于的整数， 又∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，不合题意，舍去； 综上，整数的值为或． 5．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，．              ②，； （2）计算： （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】（1）②；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算的理解和应用， 以及有理数的运算、分式的运算等知识点． （1）根据“隔一数对”的定义，需要分别计算和，然后比较这两个结果是否相等，如果相等，那么这组数就是“隔一数对”，如果不相等，就不是； （2）先根据新定义的运算分别计算和，然后再进行减法运算； （3）先根据“隔一数对”的定义，将转化为，因为连续的非零整数n，是“隔一数对”，所以，然后利用裂项相消法进行求和． 解：（1）解：根据题中的新运算定义， 对于①：，， ∵， ∴该组数不是“隔一数对”； 对于②：，， ∵， ∴该组数是“隔一数对”． 故选：②． （2）解：， ， ∴． （3）解：因为两个连续的非零整数都是“隔一数对”， 所以 ． 原式 ． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1）C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2；；（2），5；（3）7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 解：（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 考点八 分式方程的应用中的压轴题 【题型21】分式方程的方案优化应用设计题 1．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 【答案】（1）每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元；（2）有3种方案如下：①购进 A 种凉席个，B种凉席个；②购进 A 种凉席个，B种凉席个；③购进 A 种凉席个，B种凉席个；（3）赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. （1）设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元，由题意得：，即可求解； （2）设购进A种凉席个，则购进B种凉席个，由题意得：，即可求解； （3）设获利元，则，可推出当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大；设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得：即可求解； 解：（1）解：设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； ∴每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元； （2）解：设购进A种凉席个，则购进B种凉席个， 由题意得：， 解得：； ∴有3种方案如下：①购进A种凉席个，B种凉席个；②购进A种凉席个，B种凉席个；③购进A种凉席个，B种凉席个； （3）解：设获利元，则， ∵， ∴当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大； 设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得：整理得：； ∵两种凉席均有样品， ∴且； ∴， ∴， 即：赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个； 2．（2025·贵州铜仁·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 【答案】任务1：小红家茶行红茶采购30千克，红茶采购45千克；任务2：每千克绿茶的售价至少为225元 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． 任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据素材1，素材2，列出方程，即可求解； 设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据素材3列出不等式，即可求解． 解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克； 任务2：由任务1得：每千克红茶的进价为（元），每千克绿茶的进价为（元）， 设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每千克绿茶的售价至少为225元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 18.8 分式全章复习专项训练（8大考点21类题型） 目录 基础篇 1 考点一 分式的概念与性质 1 【题型1】分式的定义 1 【题型2】分式有意义、无意义、值为 0 的条件 2 【题型3】分式的基本性质应用 2 【题型4】最简分式与约分 2 考点二 分式的基本运算 3 【题型5】科学记数法 3 【题型6】零指数与负指数 3 【题型7】分式的乘除运算 3 【题型8】分式的加减运算 4 【题型9】分式的基础混合运算 4 考点三 分式方程的基础解法与简单应用 4 【题型10】解可化为一元一次方程的分式方程 4 【题型11】分式方程的简单应用 5 培优篇 5 考点四 分式的复杂运算与化简求值 5 【题型12】分式的加减乘除混合运算 5 【题型13】分式化简求值 6 考点五 分式方程的含参问题 6 【题型14】分式方程的增根求参数 6 【题型15】分式方程的无解求参数题 6 【题型16】分式方程的解的范围求参数题 7 考点六 分式方程的综合应用题 7 【题型17】分式方程的多场景应用题 7 【题型18】分式方程与不等式（组）的综合题 8 压轴篇 8 考点七 分式的代数综合创新题 9 【题型19】分式与因式分解、整式变形的综合题 9 【题型20】分式的新定义运算题 10 考点八 分式方程的应用中的压轴题 11 【题型21】分式方程的方案优化应用设计题 11 基础篇 考点一 分式的概念与性质 【题型1】分式的定义 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【题型2】分式有意义、无意义、值为 0 的条件 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 【题型3】分式的基本性质应用 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【题型4】最简分式与约分 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 考点二 分式的基本运算 【题型5】科学记数法 1．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（19-20六年级下·山东淄博·期末）安哥拉长毛兔最细的兔毛直径约为米，将这个数写成小数的形式为 ． 【题型6】零指数与负指数 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·月考）计算： （结果不含负指数幂）． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 【题型7】分式的乘除运算 1．（23-24八年级上·山东日照·月考）分式计算： （1）； （2）． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型8】分式的加减运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： （1） （2）． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： （1）； （2）． 【题型9】分式的基础混合运算 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）计算： （1）； （2）． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·月考）计算： （1）； （2）． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）计算： （1）． （2） 考点三 分式方程的基础解法与简单应用 【题型10】解可化为一元一次方程的分式方程 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程： （1） （2）． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）解下列方程： （1） （2） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【题型11】分式方程的简单应用 1．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 2．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． （1）求原计划每小时播种多少万平方米？ （2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 3．（24-25九年级下·吉林长春·月考）某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 培优篇 考点四 分式的复杂运算与化简求值 【题型12】分式的加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： （1） （2） 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）计算： （1） （2） 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 （1） （2） 【题型13】分式化简求值 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中． 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 考点五 分式方程的含参问题 【题型14】分式方程的增根求参数 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 【题型15】分式方程的无解求参数题 2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，关于的方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．（2023九年级上·安徽·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【题型16】分式方程的解的范围求参数题 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 考点六 分式方程的综合应用题 【题型17】分式方程的多场景应用题 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： （1）欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； （2）从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 12．（25-26八年级上·河北邢台·月考）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【题型18】分式方程与不等式（组）的综合题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 3．（25-26八年级上·山东威海·月考）若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 压轴篇 考点七 分式的代数综合创新题 【题型19】分式与因式分解、整式变形的综合题 （25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． （1）填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 3．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【题型20】分式的新定义运算题 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）将分式用“分离常数法”可化成______； （2）将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解，求整数的值． 5．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，．              ②，； （2）计算： （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 考点八 分式方程的应用中的压轴题 【题型21】分式方程的方案优化应用设计题 1．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 2．（2025·贵州铜仁·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $