第十八章 分式 章末核心要点分类整合-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学分式单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算、方程及应用，通过分类整合核心要点，从分式定义、基本性质到运算法则、方程解法，再到实际应用，构建完整知识网络，体现知识点间逻辑联系。 其亮点在于专题化复习策略，设分式概念、运算等八大专题，结合中考真题解析，如用整体代入法求分式值、裂项相消法解方程，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。分层练习覆盖基础到综合题，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

章末核心要点分类整合 第十八章 分式 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，当B≠0时，分式才有意义；A= 0，B≠ 0 是分式的值为0 的条件. 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0 的整式，分式的值不变. 根据分式的基本性质可以将分式进行约分或者通分. 3. 分式的运算包括乘除、乘方和加减这几则运算，乘除法运算的关键是约分，加减法运算的关键是通分，运算的最后结果一定要是最简分式或整式. 4. 解分式方程的关键就是利用等式的性质将方程的两边乘最简公分母，将分式方程转化成整式方程，然后解整式方程. 解完整式方程后一定要注意检验. 若整式方程的解使最简公分母的值为0，则该解为原分式方程的增根，应舍去. 5. 列分式方程解应用题时，应先分析题意，准确找出题中的等量关系，然后设出恰当的未知数，列出方程，解方程. 求出解后一定要检验，既要检验是否为分式方程的解，又要检验是否符合题意. 专题一 分式的相关概念 链接中考 >> 在分式的相关概念中，分式有意义的条件及分式的值为0 的条件最为重要，也是中考中的热门考点，一般都是以填空题、选择题的形式出现. [中考·无锡] 分式中x 的取值范围是( ) A. x ≠ 2 B. x ≠ -2 C. x ≤ -2 D. x ≤ 2 例1 类型1：分式有意义的条件 解：根据分式有意义的条件可知2-x ≠ 0，解得x ≠ 2. A [中考·南充] 若分式的值为0，则x=______. 例2 类型2：分式的值为0 的条件 解：因为分式的值为0， 所以x+1=0 且x-2 ≠ 0，解得x=-1． -1 专题二 分式的运算 链接中考 >> 分式的运算是本章的重点，它的关键是运算顺序以及分式的运算法则，中考考查的形式主要是化简求值，属于中等难度的题目. [新视角条件选择题中考·青岛]先化简 ( -2)÷，再从-2，0，3 中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 例3 解题秘方：先利用分式的运算法则进行化简，再选择一个使原式有意义的值代入求值. 解：原式=( - )· =·=·= . 因为a ≠ 0，1，-1，所以可取a=3. 故原式= = ．(a 还可以取-2，计算略) 专题三 负整数指数幂 链接中考 >> 负整数指数幂在中考中主要考查实数的计算和用科学记数法表示小于1 的正数，难度不大，考查实数的计算时以解答题为主，考查科学记数法时以选择题为主. [中考·长沙] 计算：|2 -1|+()-1-()2-(π-2 028)0. 例4 解题秘方：本题考查实数的混合运算，涉及绝对 值、平方、零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性. 解：原式=2 -1+5-3-1=2 . 类型1 实数的计算 [中考·威海] 据央视网2025 年4 月19 日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400 皮秒实现一次擦或者写. 一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400 皮秒用科学记数法表示为(　　) A.4×10-10 秒 B.4×10-11 秒 C.4×10-12 秒 D.40×10-12 秒 例5 类型2 用科学记数法表示小于1 的正数 解题秘方：本题中科学记数法的表示形式为a×10n，其中1 ≤ |a|<10，n 为负整数. 确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 解：因为1 皮秒=10-12 秒，所以400 皮秒=400×10-12=4× 10-10 秒. 答案：A 专题四 解分式方程 链接中考 >> 解分式方程的关键就是将分式方程转化为整式方程，解分式方程一定要注意检验. 解方程是中考的热门考点，一般都是直接考查解分式方程. [中考·陕西] 解方程：- =1. 例6 解题秘方：利用解分式方程的步骤求解，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，最后要验根. 解：方程两边乘2(x-3)，得x-2=2(x-3)， 解得x=4.检验：当x=4 时，2(x-3)≠ 0. 所以，原分式方程的解为x=4. 专题五 分式方程的实际应用 链接中考 >> 分式方程的应用是分式方程作用的关键体现，都是以解决生活问题为目的，所以考查分式方程的应用时，问题的背景都是现实生活中的热点问题，解决问题的关键是寻找等量关系. 在中考中单独考查时一般以解答题的形式出现. [中考•常州] 某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1 t，20 t 水可以使用的天数是原来的2 倍. 问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 例7 解题秘方：设出未知数，根据“20 t 水可以使用的天数是原来的2 倍”列出分式方程求解. 解：设浇水方式改进后平均每天用水x t，则 浇水方式改进前平均每天用水(x+1) t. 根据题意，得= ×2，解得x=1. 经检验，x=1 是分式方程的解，且符合题意. 答：浇水方式改进后平均每天用水1 t. 专题六 利用整体代入法求分式的值 专题解读>> 解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看成一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想. 这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视. [中考·北京] 已知a-b-1=0，求代数式的值. 例8 解题秘方：先利用完全平方公式和整式的加法、乘法对分母、分子进行化简，再对a-b-1=0 变形，得到a-b=1，再整体代入求值即可. 解：原式= = = . 因为a-b-1=0，所以a-b=1.故原式==3． 专题七 利用作差法比较分式的大小 专题解读>> 比较两个分式的大小可以利用作差的方法，即利用分式的减法计算出结果，根据结果与0 的大小关系比较出这两个分式的大小. [中考·南京] 已知a<b<0，试比较与的大小. 例9 解题秘方：通过两个式子的差与0 的大小得到两个式子的大小. 解：- = - ==. 因为a<b<0，所以a2b2>0，b+a<0，b-a>0. 所以.所以< . 专题八 利用裂项相消法解分式方程 专题解读>> 裂项相消法可使出现多个分式的加减或相关的分式方程问题，通过变形将一部分项相互抵消，转化为常见的分式加减或相关的分式方程问题，变复杂为简单，变难为易，不失为一种巧妙的解题方法. 解方程：+ +=. 例10 解题秘方：通过裂项将原方程变形，化简后解分式方程. 解：原方程变形为- + -+ - = . 整理，得- =0. 去分母，得x+3-2x=0，解得x=3. 经检验，x=3 是原分式方程的解. 方法点拨：当涉及的分式方程有多个分式且分母与分子有某种规律时，常常通过裂项相消的方法把方程化为熟悉的分式方程求解，体现了转化思想. 类型一 利用分式的基本性质求值 1.[新考法 整体代入法]若+=2，求分式的值. 解：因为 +=2，所以mn≠0.所以====-4. 类型二 分式的化简求值 2. 已知实数x，y满足|x-3|+y2-4y+4=0，求代数式·÷的值． 解：原式= · · =. 因为|x－3|+y2-4y+4=0，即|x－3|+(y-2)2=0， 所以|x-3|=0,(y-2)2=0,解得x=3，y=2.故原式==. 3. [中考· 菏泽] 先化简，再求值：1+ ÷，其中m，n满足=-. 解：原式=1+· =1-==.因为=-，所以m=-n. 易知m≠0,n≠0，故原式===-6. 34 类型三 分式方程的解法 4.[中考·广东]在解分式方程=-2时，小李的解法如下： 第一步：·(x-2)=- ·(x-2)-2， 第二步：1-x=-1-2， 第三步：-x=-1-2-1， 第四步：x=4. 第五步：检验：当x=4时，x-2≠ 0. 第六步：所以，原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确. 若不正确，请写出你的解答过程. 解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立. 小李的解答过程不正确，正确解答如下：=-2， 去分母，得1-x=-1-2(x-2)，去括号，得1-x=-1-2x+4， 移项，得-x+2x=-1+4-1，解得x=2. 经检验，x=2是增根.所以原分式方程无解. 类型四 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围 5.已知关于x的方程= -3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； 解：方程两边乘x-2，得x+1=mx-3(x-2)，解得x=. (1)因为方程的解为正整数，x≠2,且m为整数，所以4-m=5或4-m=1，解得m=-1或m=3,所以整数m的值为-1或3. (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 解：因为方程的解为正数，且x≠2， 所以 ＞0且≠2，解得m＜4且m≠. 所以m的取值范围为m＜4且m≠. 6.[期中·扬州江都区]已知关于x的分式方程- =1． (1)若分式方程的根是x=5，求a 的值； 解：把x=5代入-=1，得-=1，解得a=-1. (2)若分式方程有增根，求a 的值； 解：-5x=1，方程两边乘x(x-2)， 得x(x-a)-5(x-2)=x(x-2).整理，得(a+3)x=10. 因为分式方程有增根，所以x(x-2)=0.所以x=0或x=2. 把x=0代入(a+3)x=10，则a的值不存在； 把x=2代入(a+3)x=10，解得a=2.综上可知，a的值为2. (3)若分式方程无解，求a 的值． 解：由(2)可知，(a+3)x=10， 当a+3=0，即a=-3时，方程无解； 当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由(2)知a=2.综上可知，a的值为-3或2. 类型五 分式方程的实际应用 7. [中考•淄博]某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生. 已知共有200 名师生参加了最近一次活动. (1)一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门. 已知中巴车速度是大巴车的1.25 倍，求大巴车的速度. 解：设大巴车的速度为x km/h， 则中巴车的速度为1.25x km/h. 36 min=0.6 h. 根据题意，得-=0.6，解得x=80. 经检验，x=80是分式方程的解，且符合题意. 答：大巴车的速度是80 km/h. (2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30 元.如果购买门票的费用共计2 200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 解：设参加本次活动的学生人数是y，则成人人数是(200-y).根据题意，得10y+30(200-y)=2 200，解得y=190. 答：参加本次活动的学生人数是190. 8.[中考•潍坊]某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60 万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3 万元. (1)求A型、B型两种机器人的单价. 解：设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为(x-3)万元.根据题意，得=，解得x=9. 经检验，x=9是分式方程的解，且符合题意.所以x-3=9-3=6. 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为 6万元. (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1 台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案. 解：设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10-y)台. 根据题意，得9y+6(10-y)≤70，解得y≤. 因为要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数，所以y的取值为1，2，3，对应的10-y的值分别为9,8,7.共有3种方案. 方案一：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案二：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案三：配备A型机器人3台，B型机器人7台. 9. [中考•重庆]为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠． (1)计划修建灌溉水渠600 m，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20 m，再施工2 天完成任 务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米. 解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x m， 则原来每天修建(x-20) m. 根据题意，得5(x-20)+2x＝600，解得x＝100． 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100 m． (2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800m，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工，乙施工队修建360m后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工 时，两施工队修建的长度恰好相同.求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米. 解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m m，则技术更新后每天修建灌溉水渠m(1+20%) m. 根据题意，得+=1800÷2100，解得m＝90． 经检验，m＝90是分式方程的解，且符合题意． 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90 m． $