专题12 分式方程及其实际应用（期末真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题12 分式方程及其实际应用 6大高频考点概览 考点01解分式方程（化为一元一次） 考点02 列分式方程 考点03 分式方程的行程和工程问题 考点04 分式方程的其它实际问题 地 城 考点01 解分式方程（化为一元一次） 一、单选题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)分式方程的解为 ． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)分式方程的解为 ． 三、解答题 1．(24-25八上·天津静海区·期末)解方程： (1) (2) 2．(24-25八上·天津第七中学·期末)解分式方程： （1） （2） 3．(23-24八上·天津河东区·期末)解分式方程 (1)； (2)． 4．(24-25八上·天津北辰区·期末)解方程： (1)； (2)． 地 城 考点02 列分式方程 一、单选题 1．(24-25八上·天津河北区·期末)已知A，B两地相距90千米，点C在A，B两地之间，A，C两地相距40千米，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发到C地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·天津部分区·期末)甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．已知甲队单独施工需90天完成．若设乙队单独施工需x天完成，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·天津河西区·期末)某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·天津河西区·期末)某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(18-19八上·山东泰安泰山区·期中)为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 1．(23-24八上·天津部分区·期末)某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了避开雨季的到来，实际工作时的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务． 设原计划的工作效率为万平方米/天． 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 60 实际 60 (1)用含的式子填表： (2)列方程求原计划的工作效率． 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 60 实际 60 地 城 考点03 分式方程的行程和工程问题 一、解答题 1．(24-25八上·天津南开区·期末)两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为． (1)请根据信息填表（用含有x的式子表示）； 山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（） 第一组 480 x                   第一组 480                                     (2)根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度． 2．(24-25八上·天津红桥区·期末)某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； (2)求张老师骑自行车的速度． 3．(23-24八上·天津滨海新区教科院附属滨海泰达中学·期末)小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 4．(24-25八上·天津滨海新区·期末)某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数． 设甲种机器每分钟加工x个零件． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟） 甲种机器 x 95 乙种机器     105 (2)列出方程，求出问题的解并写出答话． 加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟） 甲种机器 x 95       乙种机器        105      5．(24-25八上·天津河西区·期末)某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？ 6．(23-24八上·天津河西区·期末)高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷． 已知某市到天津的路程约为，一列动车组列车的平均速度是普快列车的倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． (1)设普快列车的速度为，则用含的式子把表格补充完整： 路程 速度 时间 动车组列车 普快列车 (2)列出方程，完成本题解答． 7．(23-24八上·天津西青区·期末)某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣8000件快件的时间，比10个工人分拣同样数量的快件节省4小时，假设人工每人每小时分拣的快件量相同，求人工每人每小时分拣的快件量和每台机器每小时分拣的快件量分别是多少件？ (1)设人工每人每小时分拣的快件量是件，根据题意，用含有的式子填空：每台机器每小时分拣的快件量是__________件，由5台机器分拣8000件快件的时间是___________小时，10个工人分拣8000件快件的时间是____________小时． (2)列出方程，完成本题解答． 地 城 考点04 分式方程的其它实际问题 一、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 3．(23-24八上·天津宁河区·期末)元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． (1)求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 4．(24-25八上·天津西青区·期末)注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． (1)设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，根据题意，用含有的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是______元；充电费为元时电动汽车可行驶的总路程是______千米，加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是______千米． (2)列出方程，完成本题解答． 5．(24-25八上·天津和平区·期末)小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． (1)求这种大麻花的单价； (2)12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 分式方程及其实际应用 6大高频考点概览 考点01解分式方程（化为一元一次） 考点02 列分式方程 考点03 分式方程的行程和工程问题 考点04 分式方程的其它实际问题 地 城 考点01 解分式方程（化为一元一次） 一、单选题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：将代入得， 故原方程的解为， 故选：C． 二、填空题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母、移项合并同类项和系数化为1，并检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：将代入得， 故原方程的解为， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25八上·天津静海区·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答关键，解分式方程一定要检验方程的根． （1）先变形，再去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化1，检验方程的根来求解； （2）先利用因式分解变形，再去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化1，检验方程的根来求解． 【详解】（1）解：原方程变形为， 去分母得 去括号得 移项并合并同类项得 解得， 经检验是原分式方程的解， 所以原分式方程的解是． （2）解：原方程变形为， 去分母得 去括号得 移项并合并同类项得 ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 所以原分式方程的解是． 2．(24-25八上·天津第七中学·期末)解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）方程无解 【分析】（1）两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可； （2）两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可． 【详解】（1）                  解：左右同乘， 解得：， 检验时， ∴方程解为； （2） 解：左右同乘， ， 解得：， 检验时，， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方程的步骤，特别是注意验根是解题的关键． 3．(23-24八上·天津河东区·期末)解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】此题考查了解分式方程． （1）方程两边都乘以得，，解得，，检验后即可得到答案； （2）方程两边都乘以得，，解得，检验后即可得到答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘以得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边都乘以得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原分式方程无解． 4．(24-25八上·天津北辰区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 即， 解得：， 当时，， 经检验是增根，分式方程无解． 地 城 考点02 列分式方程 一、单选题 1．(24-25八上·天津河北区·期末)已知A，B两地相距90千米，点C在A，B两地之间，A，C两地相距40千米，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发到C地，若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为千米/小时， 由题意得，， 故选：B． 2．(24-25八上·天津部分区·期末)甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．已知甲队单独施工需90天完成．若设乙队单独施工需x天完成，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．据此列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 3．(24-25八上·天津河西区·期末)某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天，根据工作效率=工作总量工作时间，结合采用新技术后每天生产增加10件，即可得出关于x的分式方程，求解即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天， 依题意得：， 故选：． 4．(24-25八上·天津河西区·期末)某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天，根据工作效率=工作总量工作时间，结合采用新技术后每天增加生产10即可得出关于x的分式方程，即可． 【详解】解：设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天， 依题意得：． 故选：A． 5．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用：列分式方程，关键是正确理解题意、列出分式方程即可．首先根据甲车的速度为千米/时，表示出乙车的速度为千米/小时，再根据关键语句：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，列出方程即可． 【详解】解∶ 设甲车的速度为千米/时，则乙车的速度为千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 6．(18-19八上·山东泰安泰山区·期中)为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程的建模能力．题目已经设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意可得等量关系：甲匀速骑行30千米的时间=乙匀速骑行25千米的时间，再根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意得： ， 故选：A． 二、解答题 1．(23-24八上·天津部分区·期末)某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了避开雨季的到来，实际工作时的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务． 设原计划的工作效率为万平方米/天． 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 60 实际 60 (1)用含的式子填表： (2)列方程求原计划的工作效率． 【答案】(1)填表见解析 (2)0.4万平方米/天 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及列代数式、解分式方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． （1）根据题意，按照表格要求列出代数式即可得到答案； （2）根据题意，由（1）中表格信息，列分式方程，求解即可得到答案，注意解分式方程时检验是解决问题的关键． 【详解】（1）解：如表所示： 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 60 实际 60 （2）解：根据题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划的工作效率为0.4万平方米/天． 地 城 考点03 分式方程的行程和工程问题 一、解答题 1．(24-25八上·天津南开区·期末)两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为． (1)请根据信息填表（用含有x的式子表示）； 山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（） 第一组 480 x                   第一组 480                                     (2)根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度． 【答案】(1)，， (2)，第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． (1)根据一、二组攀登速度间的关系，可得出第二组的攀登速度为，利用时间=路程速度，可用含的代数式表示出一、二组的攀登时间； (2)根据第二组比第一组早到达顶峰，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即第一组的攀登速度)，再将其代入中，即可求出第二组的攀登速度． 【详解】（1）解：两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，第一组的攀登速度为， 第二组的攀登速度为， 第一组的攀登时间为， 第二组的攀登时间为min． 故答案为：，，； （2）解：根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为． 2．(24-25八上·天津红桥区·期末)某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； (2)求张老师骑自行车的速度． 【答案】(1)①；②；③ (2)张老师骑自行车的速度为 【分析】本题主要考查代数式，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）①根据汽车速度是张老师速度的3倍列式即可；②根据行程中时间等于路程除以速度列式即可；③根据时间等于路程除以速度列式即可； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：①设张老师骑自行车的速度为， ∴汽车的速度为， 故答案为：； ②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为， ∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； ③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为， ∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； （2）解：根据题意列式得，， 解得，，， 检验，当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去， 当时，原分式方程有意义，符合题意， ∴张老师骑自行车的速度为． 3．(23-24八上·天津滨海新区教科院附属滨海泰达中学·期末)小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】(1)小刚步行的速度是每分钟80米； (2)小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． （2）解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 4．(24-25八上·天津滨海新区·期末)某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数． 设甲种机器每分钟加工x个零件． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟） 甲种机器 x 95 乙种机器     105 (2)列出方程，求出问题的解并写出答话． 【答案】(1)见解析 (2)过程见解析；甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）由甲、乙两种机器每分钟加工零件的总数及甲机器每分钟加工零件的数量，可得出乙种机器每分钟加工个零件，再利用工作时间工作总量工作效率，即可用含x的代数式表示出加工时间； （2）根据甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种机器每分钟加工零件的数量），再将其代入中，即可求出乙种机器每分钟加工零件的数量． 【详解】（1）解：∵甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器每分钟加工x个零件， ∴乙种机器每分钟加工个零件， ∴甲种机器加工95个零件所需时间为分钟，乙种机器加工105个零件所需时间为分钟． 加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟） 甲种机器 x 95       乙种机器        105      （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（个）． 答：甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件． 5．(24-25八上·天津河西区·期末)某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设这项工程的规定时间是天，根据题意得：根据题意列出方程，解方程并检验，即可求解． （2）根据题意用“1”除以两车队的工作效率的和，列出算式，即可求解． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，根据题意得： . 解得：. 经检验是原分式方程的解. 答：这项工程的规定时间是30天. （2）该工程由甲，乙队合做完成， 所需时间为：（天）， 答：工程施工需要天. 6．(23-24八上·天津河西区·期末)高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷． 已知某市到天津的路程约为，一列动车组列车的平均速度是普快列车的倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． (1)设普快列车的速度为，则用含的式子把表格补充完整： 路程 速度 时间 动车组列车 普快列车 (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；；； (2)该列动车组列车的平均速度 【分析】本题考查分式的方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可． （1）根据动车组列车的平均速度是普快列车的倍，设普快列车的速度为，则动车组列车的速度为：；根据路程等于速度乘以时间，即可； （2）根据动车组运行时间比普快列车少，列出方程，即可． 【详解】（1）设普快列车的速度为 ∵动车组列车的平均速度是普快列车的倍 ∴动车组列车的速度为：； ∴动车组列车运行的时间为：；普快列车运行的时间为：， 故答案为：，；，． （2）∵动车组运行时间比普快列车少， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴列动车组列车的平均速度． 7．(23-24八上·天津西青区·期末)某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣8000件快件的时间，比10个工人分拣同样数量的快件节省4小时，假设人工每人每小时分拣的快件量相同，求人工每人每小时分拣的快件量和每台机器每小时分拣的快件量分别是多少件？ (1)设人工每人每小时分拣的快件量是件，根据题意，用含有的式子填空：每台机器每小时分拣的快件量是__________件，由5台机器分拣8000件快件的时间是___________小时，10个工人分拣8000件快件的时间是____________小时． (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)，， (2)人工每人每小时分拣的快件量是180件，每台机器每小时分拣的快件量是3600件 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设人工每人每小时分拣的快件量是件，根据题意即可表示是相关信息； （2）根据“5台机器分拣8000件快件的时间，比10个工人分拣同样数量的快件节省4小时”列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣的快件量是件，根据题意，用含有的式子填空：每台机器每小时分拣的快件量是件，由5台机器分拣8000件快件的时间是小时，10个工人分拣8000件快件的时间是小时． 故答案为：，，； （2）解：由题意得， 即 方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． ． 答：人工每人每小时分拣的快件量是180件，每台机器每小时分拣的快件量是3600件． 地 城 考点04 分式方程的其它实际问题 一、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 【答案】(1)80元；65元 (2)40 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为40． ∴学校最多可以购买40个足球． 故答案为：40． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， 或15或16， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩； 方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩； 方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买A型充电桩越多总费用越低， ∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少． 3．(23-24八上·天津宁河区·期末)元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． (1)求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 【答案】(1)甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价为10元； (2)50． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据“购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋”列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据“总金额不超过1300元”列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ， 所以，甲种汤圆的单价为12元，乙种汤圆的单价是10元． （2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据题意得： ， 解得，， 当时购进数量最多， 所以最多购进袋甲种50袋汤圆． 4．(24-25八上·天津西青区·期末)注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． (1)设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，根据题意，用含有的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是______元；充电费为元时电动汽车可行驶的总路程是______千米，加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是______千米． (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；； (2)电动汽车平均每千米的充电费为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键； （1）设这款电动汽车平均每千米的充电费用为元，则燃油车平均每千米的加油费为元，进而求解充电费和加油费为元时可行驶的总路程即可； （2）根据若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍列出方程并解答； 【详解】（1）解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用为元， 则燃油车平均每千米的加油费为元， 充电费为元时电动汽车可行驶的总路程千米， 则加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是千米； 故答案为：；； （2）解：根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：这款电动汽车平均每千米的充电费用为元； 5．(24-25八上·天津和平区·期末)小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． (1)求这种大麻花的单价； (2)12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 【答案】(1)这种大麻花的单价为15元盒 (2)小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设这种大麻花的单价为元盒，根据小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒，列出方程，解方程即可； （2）先求出小天的平均单价为：元，小津的平均单价为：元，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：设这种大麻花的单价为元盒，由题意得， ， 方程两边乘，得 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：这种大麻花的单价为15元盒． （2）解：由题意得：小天两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， 小津两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， ∴小天的平均单价为：元， 小津的平均单价为：元． 即． ∴小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $