专题14相交线精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相交线核心知识，系统梳理相交线定义、邻补角（互补）与对顶角（相等）的定义及性质，垂线的概念、基本事实（过一点有且只有一条垂线），垂线段最短性质，点到直线距离（垂线段长度），构建从概念到性质再到综合角度计算的学习支架。 资料亮点在于易错点精准辨析（如区分邻补角与互补角的位置特征），分层题型设计（10类题型含基础到提升，标注难度星级），强调规范推理依据（如垂直定义的标注）。通过实际问题（如河流修桥最短路径）培养几何直观与应用意识，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化推理能力。

专题14相交线精讲学案 核心立意 认识相交线、邻补角、对顶角，掌握邻补角互补、对顶角相等的性质；理解垂线、垂线段、点到直线距离的概念与性质，会过一点作已知直线的垂线，能结合垂直、对顶角、邻补角进行角度计算，规范几何说理，夯实平面几何入门基础。 相交线定义： 同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，则两直线相交，公共点为交点；两直线相交形成4个角。 邻补角定义与性质： 两角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，互为邻补角； 性质：邻补角互补（和为180）；两直线相交共4对邻补角。 对顶角定义与性质： 两角有公共顶点，两边分别互为反向延长线，互为对顶角； 性质：对顶角相等；两直线相交共2对对顶角。 垂线定义： 两直线相交，若夹角为直角（90），称两直线互相垂直，一条是另一条的垂线，交点叫垂足；垂直记作ab。 垂线基本事实： 同一平面内，过一点（点在直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段性质： 直线外一点与直线上各点相连的所有线段中，垂线段最短，简记：垂线段最短。 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做点到直线的距离（距离是数值，垂线段是几何图形）。 综合角度计算： 利用垂直得到直角，结合对顶角相等、邻补角互补求角度，规范书写推理依据。 ① 互补的角不一定是邻补角，必须同时满足位置特征；相等的角不一定是对顶角，相等只是数量关系； ② 混淆垂线段（图形）和点到直线的距离（长度）； ③ 垂线基本事实缺少前提“同一平面内”； ④ 表述错误：说成“垂线最短”，正确是“垂线段最短”； ⑤ 垂直作图忘记标注直角符号，角度说理缺少“垂直的定义”作为依据。 题型 考察方向 难度 题型一 相交线 ★ 题型二 垂线的定义理解 ★ 题型三 画垂线 ★★ 题型四 垂线段最短 ★★ 题型五 点到直线的距离 ★★ 题型六 对顶角的定义 ★ 题型七 对顶角相等 ★★ 题型八 邻补角的定义理解 ★ 题型九 找邻补角 ★★ 题型十 利用邻补角互补求角度 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：相交线 解题思路：①判定依据：同一平面内，两条直线有且仅有一个公共点，则两直线相交；②识图要点：两直线相交形成4个角，据此区分相交与不相交的位置关系。 1．按下列要求画图，并填空． (1)画直线AB和CD相交于点O（要求∠AOD比∠AOC小）； (2)用直尺和圆规作∠EFG，使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2) 作法：1.以点O为圆心，适当长为半径画弧交OA，OC，OD于点H，N，P， 2.以点H为圆心，PH长为半径画弧交前弧于点M， 3.作射线OM， 4.作射线FQ， 5. 以点F为圆心，OH长为半径画弧交FQ于点E， 6. 以点E为圆心，MN长为半径画弧交前弧于点G， 7作射线FG，则∠EFG就是所求作的角． 【分析】（1）作两条相交线段AB，CD交点为O，使∠AOC>∠AOD． （2）在OA异侧作∠AOM，使∠AOM=∠AOD，再作∠EFG，使∠EFG=∠MON． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了基本尺规作图，解决问题的关键是熟练掌握基本尺规作图．（1）任意作相交线段AB，CD交点为O，使∠AOC>∠AOD．（2）分别作∠AOM，∠EFG，使∠AOM=∠AOD，∠EFG=∠MON． 2．直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是，，的平分线． (1)画出这个图形． (2)射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？ (3)OE与OG有什么位置关系？说明理由． 【答案】(1)如图， (2)射线OE，OF在同一条直线上，理由： OE，OF，分别是，的平分线． 射线OE、OF在同一条直线上； (3) OE⊥OG，理由如下： 如图： ∵OE平分∠AOC，OG平分∠AOD， ∴∠AOE= ∠AOC，∠AOG=∠AOD， ∴∠AOE+∠AOG=∠AOC+∠AOD= （∠AOC+ ∠AOD）， ∵∠AOC+∠AOD=180°， ∴∠AOE+∠AOG=90°， ∴OE⊥OG． 【分析】（1）根据已知画出图形即可； （2）证明可得射线OE、OF在同一条直线上； （3）由OE平分∠AOC，OG平分∠AOD，可得∠AOE=∠AOC，∠AOG=∠AOD，即可证明∠AOE+∠AOG=90°，故OE⊥OG． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查平面内的相交直线构成的角的关系，解题的关键是根据题意画出图形，掌握角平分线的定义． 3．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    题型二：垂线的定义理解 解题思路：①双向推理：两直线相交所成角中有一个角为90两条直线互相垂直；②规范书写垂直符号ab，相关说理依据标注垂直的定义。 4．如图，已知直线，，则，，三点在同一条直线上，理由是_____． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【详解】解：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴当直线，时，，，三点在同一条直线上． 5．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由角平分线的定义得到，然后由垂直得到，然后求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，直线与相交于点O，，垂足为O，若平分，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】由垂线的定义和角平分线的定义求出的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 7．如图，直线、相交于点，，且平分．若时，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，结合已知倍数关系求出的度数，利用邻补角性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用平角定义及角的和差关系求解． 【详解】解：， ． ，且， ， 解得． 直线、相交于点， ． 平分， ． 点、、在同一直线上， ． ． 题型三：画垂线 解题思路：①分类作图：分为点在已知直线上、点在已知直线外两种情形；②作图规范：借助三角板直角边完成作图，最终图形必须标注直角符号。 8．过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法一一判断即可． 【详解】解：．过点P作的不是垂线，故该选项不符合题意； ．没有过点P，故该选项不符合题意； ．过点P向直线作垂线，故该选项符合题意； ．过点P向直线作垂线，应该为直线，不是线段，故该选项不符合题意； 9．如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，又点在直线外， ∴过点且与直线垂直的直线只有一条． 10．下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．过一点作已知线段的垂线，需满足两个条件：①直线经过该点；②直线与线段所在直线垂直．据此逐一判断即可． 【详解】解：图（1）：直线经过点，且与线段垂直，垂足在线段上，符合题意，故正确； 图（2）：直线经过点，但与线段不垂直，不符合题意，故错误； 图（3）：直线经过点，且与线段所在直线垂直，垂足在线段的延长线上，符合题意，故正确． 综上所述，做对了个． 题型四：垂线段最短 解题思路：①核心性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②辨析易错表述：垂线为直线，不可表述为“垂线最短”；多用于最短路径类问题。 11．如图，在某河流边缘点处向对面修建一座桥，图中、、、四种修建方案中，使用材料最省的是，理由是________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：由图可知，， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴、、、四种修建方案中，使用材料最省的是，理由是垂线段最短． 12．如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离的长可能为（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到直线l的距离的长可能为4． 13．如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段____，理由是___． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据“垂线段最短”进行解答即可，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键． 【详解】解：如图，直线表示一段河道，现要从河道向村庄引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 14．点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离（     ） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查点到直线距离的定义和垂线段最短的性质，结合已知线段长度比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 、、为直线上三点，，，，可得 ， ∴ 点到直线的垂线段长度不大于的长度，即点到直线的距离小于或等于． 题型五：点到直线的距离 解题思路：①概念辨析：点到直线的距离是垂线段的长度（数量），垂线段是几何图形，二者不能等同；②解题步骤：先确定垂线段，再求解或读取该线段长度。 15．如图，，，，则点到直线的距离是___________． 【答案】6 【分析】由知，垂线段的长度就表示点A到直线的距离． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点A到直线的距离就是线段的长， 故答案为：6． 16．如图是小明在运动会跳远比赛留下的脚印，下面线段的长度能代表他跳远成绩的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据跳远比赛规则，成绩是测量从起跳线到身体在沙坑中留下的最近痕迹的垂直距离，结合图形中垂线段及点的位置进行判断． 【详解】∵跳远成绩是测量落地点到起跳线的垂直距离，且以身体在沙坑中留下的最近痕迹为准， ∴代表成绩的线段应为垂线段，且长度最短， ∵，，、不垂直于起跳线， ∴排除、， 又∵由图可知点B离起跳线更近，即， ∴线段的长度代表他跳远的成绩 ． 17．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】6（答案不唯一，均可） 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到的距离h是6． 18．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是（     ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5 C．点到直线的距离等于5 D．点到直线的距离等于5 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴点A到直线m的距离等于4，点C到直线的距离等于5． ∴选项B的说法正确． 题型六：对顶角的定义 解题思路：①判定双条件（缺一不可）：两角具有公共顶点，且角的两边分别互为反向延长线；②辨析误区：仅度数相等的角，不一定满足对顶角的位置要求。 19．若条直线两两相交于不同的点时，可形成_______对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 20．如图，已知直线及射线●与是对顶角，借助直尺判断被墨迹覆盖的字母是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义解题即可． 【详解】解：如图，延长过点， 可知的对顶角是，即被墨迹覆盖的字母是． 21．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 【答案】B 【分析】每两条直线相交于一点会产生2对对顶角，先计算10条直线中两两组合的数量，再乘以2即可得到对顶角总对数； 【详解】两条直线相交于一点，共产生2对对顶角， 10条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， 对顶角总对数． 题型七：对顶角相等 解题思路：①直接运用性质：互为对顶角的两个角度数相等；②角度计算中，可直接作为推理依据，实现等角转化。 22．若是的对顶角，且，则________． 【答案】50 【详解】解：∵是的对顶角，且， ∴（对顶角相等）． 23．下列图形中，一定能得出与相等的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等的性质及图形特征进行判断． 【详解】解：A．与不一定相等，不合题意； B．与是对顶角，一定相等，符合题意； C．与不一定相等，不合题意； D．与不相等，不合题意． 24．如图，直线、相交于点，射线在的内部，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 25．图1是一把传统工艺品剪刀，把它抽象出平面图形（如图2所示）．如果，那么的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等得到，先求出度数，再利用平角定义，计算出． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ． 已知， ，得． 又与组成平角，平角为， ． 题型八：邻补角的定义理解 解题思路：①判定条件：两角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线；②辨析误区：和为180仅满足数量关系，互补的角不一定是邻补角。 26．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 27．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【详解】解：观察发现：选项D中的∠1与∠2互为邻补角． 28．若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则______． 【答案】145 【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案． 【详解】解：的余角是，， ， 的邻补角是， ， 的对顶角是， ， 故答案为：145． 【点睛】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键． 29．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 题型九：找邻补角 解题思路：①依据定义依次甄别，同时满足共顶点、共一条边、另一边互为反向延长线；②固定结论：两条直线相交时，任意一个角存在2个邻补角，共4对邻补角。 30．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 【答案】和 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 31．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 32．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 33．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 题型十：利用邻补角互补求角度 解题思路：①数量关系：邻补角之和为180，可直接列式或列方程求解；②规范说理，标注依据邻补角互补，常与对顶角、垂直性质综合运算。 34．如图，点O是直线上的任意一点，若，则________度． 【答案】60 【详解】解：∵， ∴． 35．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵直线、相交于点， ∴． 36．如图，直线，相交于点，射线在的内部，，若，则的度数为__________． 【答案】130 【分析】根据，，求出，再结合，求出，即可求解； 【详解】解：∵，， 设，， 则，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，，点在同一条直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直的定义求出，再利用角的和差求出的度数，最后根据邻补角的定义求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 点在同一条直线上， ， ． 解答题 1．如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义，由得出，再结合已知的，通过角的差运算算出，最后利用邻补角互补的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． (1)过点M画，垂足为E； (2)过点M画，垂足为F； (3)M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； (4)点M到直线的距离是线段________的长度； (5)点N到直线的距离是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)，A， (4) (5)0 【分析】（1）根据垂线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据两点之间的距离求解和点到直线的距离求解； （4）根据点到直线的距离求解； （5）根据点到直线的距离求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：M、N两点间的距离是线段的长度，线段的长度表示A到的距离； （4）解：点M到直线的距离是线段的长度； （5）解：点N到直线的距离是0． 3．如图，是河岸外一点．现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才能使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．（不写作法） 【答案】如图所示，从河岸上的点处开口，，才能使所用的水管最短． 设计的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【分析】利用垂线段最短作垂线即可解答． 【详解】略 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 5．如图，直线、相交于点，在内部作射线． (1)的邻补角为_______； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】（1）根据邻补角的定义即可作答； （2）根据邻补角的性质得到，再结合得到，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的邻补角为； （2）解：， ． ， ． ， 的度数为． 6．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间为秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14相交线精讲学案 核心立意 认识相交线、邻补角、对顶角，掌握邻补角互补、对顶角相等的性质；理解垂线、垂线段、点到直线距离的概念与性质，会过一点作已知直线的垂线，能结合垂直、对顶角、邻补角进行角度计算，规范几何说理，夯实平面几何入门基础。 相交线定义： 同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，则两直线相交，公共点为交点；两直线相交形成4个角。 邻补角定义与性质： 两角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，互为邻补角； 性质：邻补角互补（和为180）；两直线相交共4对邻补角。 对顶角定义与性质： 两角有公共顶点，两边分别互为反向延长线，互为对顶角； 性质：对顶角相等；两直线相交共2对对顶角。 垂线定义： 两直线相交，若夹角为直角（90），称两直线互相垂直，一条是另一条的垂线，交点叫垂足；垂直记作ab。 垂线基本事实： 同一平面内，过一点（点在直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段性质： 直线外一点与直线上各点相连的所有线段中，垂线段最短，简记：垂线段最短。 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做点到直线的距离（距离是数值，垂线段是几何图形）。 综合角度计算： 利用垂直得到直角，结合对顶角相等、邻补角互补求角度，规范书写推理依据。 ① 互补的角不一定是邻补角，必须同时满足位置特征；相等的角不一定是对顶角，相等只是数量关系； ② 混淆垂线段（图形）和点到直线的距离（长度）； ③ 垂线基本事实缺少前提“同一平面内”； ④ 表述错误：说成“垂线最短”，正确是“垂线段最短”； ⑤ 垂直作图忘记标注直角符号，角度说理缺少“垂直的定义”作为依据。 题型 考察方向 难度 题型一 相交线 ★ 题型二 垂线的定义理解 ★ 题型三 画垂线 ★★ 题型四 垂线段最短 ★★ 题型五 点到直线的距离 ★★ 题型六 对顶角的定义 ★ 题型七 对顶角相等 ★★ 题型八 邻补角的定义理解 ★ 题型九 找邻补角 ★★ 题型十 利用邻补角互补求角度 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：相交线 解题思路：①判定依据：同一平面内，两条直线有且仅有一个公共点，则两直线相交；②识图要点：两直线相交形成4个角，据此区分相交与不相交的位置关系。 1．按下列要求画图，并填空． (1)画直线AB和CD相交于点O（要求∠AOD比∠AOC小）； (2)用直尺和圆规作∠EFG，使得（保留作图痕迹）． 2．直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是，，的平分线． (1)画出这个图形． (2)射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？ (3)OE与OG有什么位置关系？说明理由． 3．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 题型二：垂线的定义理解 解题思路：①双向推理：两直线相交所成角中有一个角为90两条直线互相垂直；②规范书写垂直符号ab，相关说理依据标注垂直的定义。 4．如图，已知直线，，则，，三点在同一条直线上，理由是_____． 5．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线与相交于点O，，垂足为O，若平分，则的度数为________． 7．如图，直线、相交于点，，且平分．若时，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型三：画垂线 解题思路：①分类作图：分为点在已知直线上、点在已知直线外两种情形；②作图规范：借助三角板直角边完成作图，最终图形必须标注直角符号。 8．过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 10．下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四：垂线段最短 解题思路：①核心性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②辨析易错表述：垂线为直线，不可表述为“垂线最短”；多用于最短路径类问题。 11．如图，在某河流边缘点处向对面修建一座桥，图中、、、四种修建方案中，使用材料最省的是，理由是________． 12．如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离的长可能为（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 13．如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段____，理由是___． 14．点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离（     ） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 题型五：点到直线的距离 解题思路：①概念辨析：点到直线的距离是垂线段的长度（数量），垂线段是几何图形，二者不能等同；②解题步骤：先确定垂线段，再求解或读取该线段长度。 15．如图，，，，则点到直线的距离是___________． 16．如图是小明在运动会跳远比赛留下的脚印，下面线段的长度能代表他跳远成绩的是（     ） A． B． C． D． 17．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 18．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是（     ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5 C．点到直线的距离等于5 D．点到直线的距离等于5 题型六：对顶角的定义 解题思路：①判定双条件（缺一不可）：两角具有公共顶点，且角的两边分别互为反向延长线；②辨析误区：仅度数相等的角，不一定满足对顶角的位置要求。 19．若条直线两两相交于不同的点时，可形成_______对对顶角． 20．如图，已知直线及射线●与是对顶角，借助直尺判断被墨迹覆盖的字母是（     ） A． B． C． D． 21．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 题型七：对顶角相等 解题思路：①直接运用性质：互为对顶角的两个角度数相等；②角度计算中，可直接作为推理依据，实现等角转化。 22．若是的对顶角，且，则________． 23．下列图形中，一定能得出与相等的是（     ） A．B． C． D． 24．如图，直线、相交于点，射线在的内部，若，，则的度数为________°． 25．图1是一把传统工艺品剪刀，把它抽象出平面图形（如图2所示）．如果，那么的度数是（   ）． A． B． C． D． 题型八：邻补角的定义理解 解题思路：①判定条件：两角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线；②辨析误区：和为180仅满足数量关系，互补的角不一定是邻补角。 26．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 27．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 28．若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则______． 29．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 题型九：找邻补角 解题思路：①依据定义依次甄别，同时满足共顶点、共一条边、另一边互为反向延长线；②固定结论：两条直线相交时，任意一个角存在2个邻补角，共4对邻补角。 30．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 31．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 32．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 33．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 题型十：利用邻补角互补求角度 解题思路：①数量关系：邻补角之和为180，可直接列式或列方程求解；②规范说理，标注依据邻补角互补，常与对顶角、垂直性质综合运算。 34．如图，点O是直线上的任意一点，若，则________度． 35．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 36．如图，直线，相交于点，射线在的内部，，若，则的度数为__________． 37．如图，，点在同一条直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 2．如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． (1)过点M画，垂足为E； (2)过点M画，垂足为F； (3)M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； (4)点M到直线的距离是线段________的长度； (5)点N到直线的距离是________． 3．如图，是河岸外一点．现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才能使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．（不写作法） 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 5．如图，直线、相交于点，在内部作射线． (1)的邻补角为_______； (2)已知，，求的度数． 6．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $