精品解析：湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期中质量监测数学试题 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故正确； D、是中心对称图形．故错误． 故选C． 2. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟记平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移规则，“左加右减”针对x，“上加下减”针对常数项，即可解答． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移3个单位可得； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移2个单位可得． 故选：A． 3. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，此小组人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单． 设此小组人数为x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设此小组人数为x人，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：此小组人数为10人． 故选：D 4. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 5. 有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（ ） A. ①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B. ①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C. ①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查灵活选用解一元二次方程的方法，根据所给方程式的结构特征选取适当的方法即可． 【详解】解：①运用直接开平方法求解比较合适； ②运用公式法求解比较合适； ③运用因式分解法求解比较合适． 故选：D． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( ) A. 90° B. 45° C. 180° D. 60° 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AOB=180°， ∵由圆周角定理得：∠1+∠2=∠AOB=90°， 故选A． 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 8. 如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题． 【详解】连接OB，OC． ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°， ∵BC=2， ∴OB=OC=2， ∴的长为=π， 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，且，则，⑤，其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识．根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程即的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④错误． 故正确的有：②③⑤． 故选:B 二、填空题（共15分，每小题3分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知二次函数．当时，函数的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先将二次函数解析式化为顶点式，根据解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴，以及函数的最大值，再根据函数的对称性即可确定对应的函数的取值范围． 【详解】解：二次函数． 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且当时，取最大值， 比离对称轴远， 时对应的函数值较小， 当时，， 当时，函数的取值范围． 故答案为： ． 13. 如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为______．（用含的式子表示） 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，求圆锥的母线长，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长结合弧长公式求出母线长，进而根据扇形面积计算公式求出对应的侧面积即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为l， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是_____ ． 【答案】 cm 【解析】 【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度． 【详解】解：如图，连接OD， 设⊙O的半径为r，则，， ∵， ∴，， ∵AC是⊙O的直径，，， ∴， 在中， ，即， 解得， ∴， ， ， 在和中， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形，相似三角形判定与性质综合，利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径是解题关键． 15. 如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当___________，周长最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，则，当时，最小，则最小，进而周长最小，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小，则周长的值最小， 当时，的值最小， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴的值最小时，， ∴， ∴周长最小值是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共有9小题，75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （）利用配方法将式子凑成完全平方式，即可求解； （）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解： ． ∴． 【小问2详解】 ． ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）画出将绕原点逆时针旋转得到的；直接写出的对应点的坐标是___________，的对应点的坐标是___________； （2）画出与关于原点对称的； （3）连接、、，则面积为___________． 【答案】（1） （2） 如图，为所作； （3）20 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到点、的坐标，然后描点即可； （3）先利用勾股定理计算出的长，然后根据三角形的面积公式计算． 【小问1详解】 如图， 为所作，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） 证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 19. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）； （2）不需要采取紧急措施，理由 由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ， 不需要采取紧急措施． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）设为，通过勾股定理求得，最后算出，即可得到答案； （2）根据（1）知半径，根据勾股定理求得的值，再根据垂径定理求得的长，与对比得出结论． 【小问1详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为． 【小问2详解】 略 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）实验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由； （2）当的值是多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）能， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，一元二次方程的应用， （1）先表示出y，再根据面积相等列出方程，求出解即可； （2）先求出二次函数关系式，再讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， 解得． ∵， ∴， ∴． 所以试验田的面积能达到，此时； 【小问2详解】 解：由（1），得， 即． ∵，， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，． 21. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧与交于点E，且． （1）求证：与相切； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：如图，连接，， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过作于，证明四边形为矩形，可得，证明为等边三角形，可得，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克． （1）求与之间的函数表达式； （2）该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值． 【答案】（1） （2）销售价格定为元/千克 （3） 【解析】 【分析】()直接利用待定系数法求解即可得； ()先根据“日销售利润=(销售价格-进价)日销售量”建立，与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可得； ()先求出与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克， ∴当销售价提高元，即（元）；每天就少卖出千克，即（千克） 由题意，设与的函数表达式为，且函数图象经过点， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 由题意得：日销售利润， 整理得：， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：这批产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； 【小问3详解】 由题意得：， 整理得：， 则其对称轴为， 由二次函数的性质，分以下两种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，有最大值，最大值为， 因此有， 解得(不符题设，舍去)， ②当，即时(因为已知)， 在内，随的增大而增大；在内，随的增大而减小， 则当时，有最大值，最大值为， 因此有， 解得或(不符题设，舍去)， 综上，的值为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题()，依据二次函数的增减性与对称性，正确分两种情况讨论是解题关键． 23. 在，中，，，，连接、，取的中点 （1）【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） 解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）或． 【解析】 【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明． （2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论． （3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积． 【小问1详解】 解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质（角所对直角边是斜边的一半）、三角形面积的计算、解直角三角形及分类讨论思想；掌握通过角的等量代换证明两条线段垂直、通过延长中线构造全等三角形转化线段和角的关系、根据不同位置关系分类讨论并利用角度关系转化线段长度是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）；； （3）；；； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期中质量监测数学试题 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，此小组人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（ ） A. ①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B. ①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C. ①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 6. 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( ) A. 90° B. 45° C. 180° D. 60° 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，且，则，⑤，其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（共15分，每小题3分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 12. 已知二次函数．当时，函数的取值范围___________. 13. 如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为______．（用含的式子表示） 14. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是_____ ． 15. 如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当___________，周长最小值是___________． 三、解答题（共有9小题，75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）画出将绕原点逆时针旋转得到的；直接写出的对应点的坐标是___________，的对应点的坐标是___________； （2）画出与关于原点对称的； （3）连接、、，则面积为___________． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 19. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）实验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由； （2）当的值是多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧与交于点E，且． （1）求证：与相切； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克． （1）求与之间的函数表达式； （2）该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值． 23. 在，中，，，，连接、，取的中点 （1）【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $