精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学文科试题

新蔡一高2025-2026学年上学期12月月考 高二数学文科试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 2. 直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法1：利用点到直线距离公式求得点O到直线的距离，再利用弦长公式求得，进而代入面积公式求解即可. 方法2：易知，然后利用直角三角形求解面积即可. 【详解】方法1：点O到直线的距离， 又，所以. 方法2：根据图象可知，所以. 故选：D. 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 4. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（ ）种不同分配方案． A. 9 B. 36 C. 84 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用“隔板法”进行求解． 【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 故选：C 5. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项公式结合组合数公式计算求解. 【详解】含项的系数为， 故选：A． 6. 小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出除以的余数，再根据整除条件确定的最小正整数即可. 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 13. 从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有__________种．（用数字作答） 【答案】480 【解析】 【分析】利用分步计数原理，先从其它6个字母中取3个字母，有种结果，再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列，即可求出结果. 【详解】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果， 再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有 种. 故答案为：480 14. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义，用，表示出，再根据勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】 设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示. 由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以. 又，所以，所以. 又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． （1）求第四项的二项式系数与系数； （2）求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【答案】（1）第四项的二项式系数为；系数为 （2）二项式系数的最大值为；系数最大值为 【解析】 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得的值，进而确定二项式定理的通式，从而得所求； （2）根据二项式系数的性质确定二项式系数的最大值，再由，得的单调性，从而确定系数最大时的值，进而求解出系数的最大值． 【小问1详解】 已知的展开式中第项，，且第三项和第九项的二项式系数相等． 即，故； 又展开式的通项为，故， 所以第四项的二项式系数为，系数为； 【小问2详解】 因为是偶数，故二项式系数的最大值为， 因为，故， 因为， 令，得：，因为是正整数，故时，； 时，， 所以第8项的系数最大，最大值为． 16. 甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： （1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】（1）答案见解析 （2）分布列见解析；期望为， 【解析】 【分析】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列. （2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差. 【小问1详解】 X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 【小问2详解】Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【小问1详解】 利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； 【小问2详解】 利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在点， 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【小问1详解】 取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. 【小问2详解】 在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 19. 设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点. （1）已知，且点在C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的最大值. （2）若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围. 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ） （2）， 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）根据题意求出，即可得解； （Ⅱ）设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解； （2）取得中点，连接，则，进而可得，根据三角形的面积求出，再利用勾股定理即可求出之间的关系，即可求出，根据，可得的最大值要大于等于，再根据椭圆的性质求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 （Ⅰ）由题意得， 所以， 所以椭圆C的方程为； （Ⅱ）设，则， 则， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为； 【小问2详解】 取得中点，连接，则， 因为为的中点， 所以，所以， 则，所以， 由， 得， 即，所以， 即，所以， 因为P为C上一点，且， 则的最大值要大于等于， 当取得最大值时，点位于椭圆的上下顶点，设椭圆的上顶点为， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年上学期12月月考 高二数学文科试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（ ）种不同分配方案． A. 9 B. 36 C. 84 D. 120 5. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 6. 小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 13. 从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有__________种．（用数字作答） 14. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． （1）求第四项的二项式系数与系数； （2）求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 16. 甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： （1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点. （1）已知，且点在C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的最大值. （2）若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $