精品解析：四川省巴中市平昌县同州街道2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

巴中市平昌县同州街道2025年九年级上册数学期中考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列式子中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A. ，是二次根式； B. 中，根指数为3，故不是二次根式； C. 中，-2＜0，故不是二次根式； D. 中，x不一定是非负数，故不是二次根式； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解决问题的关键是理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项，即可求解． 【详解】解：选项A：未知数的次数为，不符合； 选项B：未知数的最高次数为，且只有一个未知数，符合； 选项C：含有两个未知数和，不符合； 选项D：未知数的最高次数为，不符合． 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 先求出，再根据结果可得答案. 【详解】解：一元二次方程中， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：A. 5. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将拆分为． 将目标表达式拆分为，然后代入已知条件计算． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即得答案． 【详解】解：与位似，位似中心为点O， 与的面积比等于位似比的平方， 的面积等于面积的， 与的位似比是， 即． 故选：A． 8. 如图，在中，，，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 根据余弦的定义得出与的关系，再结合长及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在中， ， ∴． 根据勾股定理得， ， 又∵， ∴， 解得（舍负）． 故选：D． 9. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理．由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长． 【详解】解：∵点E、F分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长， 故选：D． 10. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ， 当时，，，符合题意． 故答案为：4． 12. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 13. 若是关于的方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求参数，理解一元二次方程解的定义是解题的关键．将已知解代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以将 代入方程，得：， 整理，得， 解得：， 故答案为 ：. 14. 如图，在中，，，，，则____，____，_____． 【答案】 ①. ##4厘米 ②. ##5厘米 ③. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：，，． 15. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高______． 【答案】5m##米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从年的吨增加到年的吨．则产量从年到年平均每年增长率_____（设增长率为，不计算列出方程）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据年平均增长率的指数增长模型，设产量从年到年平均每年增长率为，从年到年经过两年增长，列出方程． 【详解】解：设产量从年到年平均每年增长率为，根据题意得方程． 故答案为 17. 如图，在中，为上一点，且，连接、相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的性质判定出，再利用相似的性质列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，解一元二次方程，将顺时针旋转度得，进而证明，得出，，设正方形的边长为，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：将顺时针旋转度得， ∴，,， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， 设正方形的边长为，则， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共86分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据化简绝对值，算术平方根，立方根，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 解方程 （1）； （2） （3） (配方法) （4） (公式法) 【答案】（1） （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程； （3）根据配方法解一元二次方程； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问3详解】 解： 解得：，． 【小问4详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴． 21. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则化简原式，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件得到x值，进而代值求解即可． 【详解】解： ， 由方程得， 解得，， ∵分式中，，， ∴， ∴原式． 22. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 23. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 24. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 25. 如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵tanA＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ADC＝∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△CDB 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数的定义可求出AD＝4，由勾股定理可求出BC的长，则可得出答案； （2）由锐角三角函数的定义得出＝＝，根据相似三角形的判定可得出结论． 【小问1详解】 ∵CD⊥AB， ∴△ADC和△CDB是直角三角形， ∵CD＝6，tanA＝， ∴AD＝4 ， ∵AB＝13， ∴BD＝AB－AD＝9， ∴BC＝＝， ∴sinB＝＝； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 26. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． （2）应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ （3）思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】（1）2， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【小问1详解】 解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； 【小问3详解】 解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市平昌县同州街道2025年九年级上册数学期中考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 10. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 12. 已知，则______________． 13. 若是关于的方程的一个解，则的值为_______． 14. 如图，在中，，，，，则____，____，_____． 15. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高______． 16. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从年的吨增加到年的吨．则产量从年到年平均每年增长率_____（设增长率为，不计算列出方程）． 17. 如图，在中，为上一点，且，连接、相交于点，则______． 18. 如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 三、解答题（共8题，共86分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程 （1）； （2） （3） (配方法) （4） (公式法) 21. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 22. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 23. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 24. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 25. 如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，． （1）求的值； （2）求证：． 26. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． （2）应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ （3）思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $