专题02 数与式中的B卷专题训练（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题02 数与式中的B卷专题训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：代数式求值（中考地位：B19、B20） 类型1：整体代入求值 解｜题｜技｜巧 整体法求值需根据题目特点选择合适方法，核心是整体思想、合理变形和巧妙代入等。 1．（2025·成都·三模）已知，则 ． 2．（2025·成都·一模）若，则的值为 . 3．（2025·成都·校考一模）已知，则的值是 ． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）已知两个多项式，若，则的值为 ． 类型2：降次或消元求值 解｜题｜技｜巧 降次法的核心是利用已知等式，将高次幂用低次幂表示，从而把高次代数式“降”到一次或常数形式。 代数式求值中的消元法，核心就是通过变形和替换，把复杂问题简化成更易处理的形式。 1．（2025·四川达州·模拟预测）已知为方程的根，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知，则代数式的值为 ． 3．（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 4.（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 类型3：结合乘法公式求值 1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 2．（2025·成都·三模）已知，则的值为 ． 3．（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 4．（2025·成都·模拟预测）若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 5．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型4：结合因式分解求值 1．（2025·成都·模拟预测）已知，则的值为 ． 2．（2025·成都·校考一模）若，，，则的值为 ． 3．（2025·成都·模拟预测）已知是的因式，则 4．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 类型5：结合方程的根或韦达定理求值 解｜题｜技｜巧 代数式的两个字母系数或次数不对称，一般优先考虑将高次形式进行降次处理后，再利用韦达定理求值即可。 1．（2025·成都·模拟预测）若a，b是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 2．（2025·成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 3．（2025·成都·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值是 ． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 类型6：根据点在函数图象上求值 1．（2025·成都·校考一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 2．（2025·江苏·二模）无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于 ． 3．（2025·成都·校考一模）若一次函数（a、b为常数）和（c、d为常数）图像相交于点，则式子的值是 ． 4．（25-26九年级上·成都·期中）若二次函数的图象经过点，则 ． 类型7：根据其他条件求值 1．（2025·山东济宁·二模）对于正数，规定，例如，则的值是 ． 2．（2025·成都·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 3．（2025·成都·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 4．（2025·成都·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 5．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 考点二：无理数的大小比较（中考地位：B19） 类型1：实数大小比较 解｜题｜技｜巧 比较无理数大小，核心就是“化繁为简”，把看似复杂的根式、分式转化为可比较的数值或形式。 1．（2025·成都·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 2．（2025·成都·三模）比较大小： 填“>，<或=” 3．（2025·陕西西安·一模）分数的整数部分是 ． 4．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 类型2：无理数的估算 解｜题｜技｜巧 比较无理数大小，核心就是“化繁为简”，把看似复杂的根式、分式转化为可比较的数值或形式。 主要方法有：平方法、作差法、作商法、倒数法等。 1．（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）若，且a为整数，则 ． 3．（2025·四川成都·校考一模）若是的小数部分，则 ． 4．（2024·湖南·模拟预测）设，则实数m所在的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·模拟预测）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为 ．（精确到0.01） 考点三：分式与根式化简求值（中考地位：B19） 类型1：分式的化简求值 1．（2025·黑龙江绥化·二模）当时， ． 2．（2025·四川成都·校考一模）若，则代数式的值为 ． 3．（2025九年级下·四川成都·专题练习）若，则代数式 的值为 ． 4．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 5．（25-26九年级上·四川成都·月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数．设，得，记（取正整数），的值为 ． 类型2：非负性的综合运用 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 2．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 3．已知实数满足，那么 ． 4．若满足关系式 ，则 ． 5．（25-26九年级上·成都·期中）已知实数x，y满足，则 ． 类型3：二次根式的化简求值 1．（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 2．（25-26九年级上·成都·期中）若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 3．（2025·成都·一模）已知，那么的值等于 4．（2025·成都·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是 ． 考点四：新定义与探究与表达规律（中考地位：B21、B23） 类型1：新定义问题 1．（2025·成都·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ． 2．（2025·成都·校考一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 3．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 4．（2025·重庆·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·校考模拟预测）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”．(1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 类型2：探究与表达规律 1．（2025成都·模拟预测）如图，将一根绳子折成3段，然后按如图所示的方式（沿虚线）剪开．剪1刀绳子的段数为4，剪2刀绳子的段数为7，剪3刀绳子的段数为10⋯⋯，按照此方式剪下去，剪刀绳子的段数为 ． 2．（2025·成都·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 3．（2025·西藏·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 4．（2026·成都·校考模拟预测）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 5．（2025·成都·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 1．（2025·四川成都·二模）若，为实数，且，则 ． 2．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 3．（2025·成都·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______ ． 4．（2025·四川内江·一模）若实数x满足，则 ． 5．（2025·成都·三模）已知，则 ． 6．（2025·成都·一模）当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于的整数： ． 7．（24-25九年级上·成都·期末）把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 8．（2025·成都·一模）已知非零实数，满足，则的值是 ． 9．（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 10.（2025·成都·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 11．（24-25九年级上·成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 12．（25-26九年级上·成都·月考）已知实数a满足，则的值为 ． 13．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 1．（2025·成都·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为 ． 2．（2025·成都·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 3．（2025·安徽·校考一模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：    (1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整： 图1 图2 图3 图4 ○的个数 3 9 21 ______ ▲的个数 1 4 10 ______ (2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题02 数与式中的B卷专题训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：代数式求值（中考地位：B19、B20） 类型1：整体代入求值 解｜题｜技｜巧 整体法求值需根据题目特点选择合适方法，核心是整体思想、合理变形和巧妙代入等。 1．（2025·成都·三模）已知，则 ． 【答案】10 【详解】解：∵，∴=，故答案为：． 2．（2025·成都·一模）若，则的值为 . 【答案】1 【详解】解：， ∵，∴原式．故答案为：1． 3．（2025·成都·校考一模）已知，则的值是 ． 【答案】4 【详解】解：∵，∴， ∴ ，故答案为：4． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）已知两个多项式，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ，，， ．故答案为：． 类型2：降次或消元求值 解｜题｜技｜巧 降次法的核心是利用已知等式，将高次幂用低次幂表示，从而把高次代数式“降”到一次或常数形式。 代数式求值中的消元法，核心就是通过变形和替换，把复杂问题简化成更易处理的形式。 1．（2025·四川达州·模拟预测）已知为方程的根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：为方程的根， ，，即，， ． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵，∴，， ∴ ．故答案为：2． 3．（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】9 【详解】解：∵代数式的值为3，∴，∴， ∴，故答案为：． 4.（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，故选：． 类型3：结合乘法公式求值 1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵，∴，∴①， ∵，∴②， 将①代入②得：，解得，故答案为：6． 2．（2025·成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴．故答案为：． 3．（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 【答案】5 【详解】解：，，即，．故答案为：． 4．（2025·成都·模拟预测）若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 【答案】C 【详解】解：由立方和公式可得 ∵，∴∴ ∵，∴，∴故选：C 5．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知 ；； 化简 由已知条件可知该式值为3故选：C． 类型4：结合因式分解求值 1．（2025·成都·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，故答案为：． 2．（2025·成都·校考一模）若，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ．故答案为：． 3．（2025·成都·模拟预测）已知是的因式，则 【答案】 【详解】解：∵是的因式， ∴时，，时，， ∴，解得，∴．故答案为：． 4．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 整理得，∴，∵，∴，∴， 当时，，故答案为：． 类型5：结合方程的根或韦达定理求值 解｜题｜技｜巧 代数式的两个字母系数或次数不对称，一般优先考虑将高次形式进行降次处理后，再利用韦达定理求值即可。 1．（2025·成都·模拟预测）若a，b是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答案】2024 【详解】解：∵a，b是方程 的两个实数根， ∴，，∴， ∴．故答案为：2024． 2．（2025·成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，即，，∴．故答案为：3． 3．（2025·成都·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，， ∴．故答案为：． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即，所以． 因此，（，由 知）．原式． 代入，得．故答案为：4． 类型6：根据点在函数图象上求值 1．（2025·成都·校考一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点，∴，，即， ∴，故答案为：． 2．（2025·江苏·二模）无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于 ． 【答案】9 【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上， ∴令，则；再令，则．设直线l的解析式为， ∴ ，解得 ．∴直线l的解析式为：． ∵是直线l上的点，∴，即．∴．故答案为：9 3．（2025·成都·校考一模）若一次函数（a、b为常数）和（c、d为常数）图像相交于点，则式子的值是 ． 【答案】 【详解】解：将点代入函数（a、b为常数）和（c、d为常数）可得： ，得：，化简得：， 所以．故答案为：． 4．（25-26九年级上·成都·期中）若二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：，即，整理得：， 两边同时除以2得：，∴．故答案为：． 类型7：根据其他条件求值 1．（2025·山东济宁·二模）对于正数，规定，例如，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，∴，，∴，∴ ，故答案为：． 2．（2025·成都·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得，，，故数组， ，，，故数组， ，，，故数组， ，，，故数组， 故每3次变换一个循环，且，，， ， 由，故的值为．故答案为：． 3．（2025·成都·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【答案】12或21或9 【详解】解：∵，∴，即． ∵，∴，即．此时． ∵，∴．∵，是正整数，． ∴，或，或，或，， ∴或或或，故答案为：12或21或9． 4．（2025·成都·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，，∵，∴①， 当时，，∴②， ，得：，∴．故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【答案】48 【详解】解：如图，根据题意得：，∴， ∵，即∴， ∵，即∴， ∵，即，∴， ∴，∴．故答案为：48 考点二：无理数的大小比较（中考地位：B19） 类型1：实数大小比较 解｜题｜技｜巧 比较无理数大小，核心就是“化繁为简”，把看似复杂的根式、分式转化为可比较的数值或形式。 1．（2025·成都·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵黄金分割数，，∵，∴，故答案为：． 2．（2025·成都·三模）比较大小： 填“>，<或=” 【答案】 【详解】解：， ，，，即，故答案为： 3．（2025·陕西西安·一模）分数的整数部分是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，∴， ∴分数的整数部分是，故答案为：. 4．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴，即．故答案为：． 类型2：无理数的估算 解｜题｜技｜巧 比较无理数大小，核心就是“化繁为简”，把看似复杂的根式、分式转化为可比较的数值或形式。 主要方法有：平方法、作差法、作商法、倒数法等。 1．（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）若，且a为整数，则 ． 【答案】2 【详解】解：，，而，整数的值为2，故答案为：2． 3．（2025·四川成都·校考一模）若是的小数部分，则 ． 【答案】/ 【详解】，，的整数部分是2，小数部分是，， ，故答案为：． 4．（2024·湖南·模拟预测）设，则实数m所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∵，∴，∴，∴．故选：B． 5．（2025·成都·模拟预测）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为 ．（精确到0.01） 【答案】 5.1 35.10 【详解】解：由题意得：； 如图，是等边三角形，过点A作于点D， 设，∴，∴，∴， ∵，∴，∴；故答案为5.1；35.10． 考点三：分式与根式化简求值（中考地位：B19） 类型1：分式的化简求值 1．（2025·黑龙江绥化·二模）当时， ． 【答案】 【详解】解： 当时，原式故答案为：． 2．（2025·四川成都·校考一模）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解： ∵∴原式，故答案为：． 3．（2025九年级下·四川成都·专题练习）若，则代数式 的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴ ，故答案为：． 4．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一，故答案为：1（答案不唯一）． 5．（25-26九年级上·四川成都·月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数．设，得，记（取正整数），的值为 ． 【答案】 【详解】由,，得，则．对于， 通分得：， 代入，分母为，所以， 因此，原式， 利用裂项相消法，， 所以．故答案为． 类型2：非负性的综合运用 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 【答案】 【详解】解：∵， ∴，∴，，∴，， 当三边为，，时，能构成三角形，∴底边长为； 当三边为，，时，不能构成三角形，综上可知：等腰三角形的底边长为，故答案为：． 2．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 【答案】1 【详解】解：二次根式有意义的条件得，且，解得， ∴∴，故答案为：1． 3．已知实数满足，那么 ． 【答案】2026 【详解】解：∵，∴，∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴，即，故．故答案为：2026． 4．若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，，∴， ∴，，∴，，∴， 由，解得，∴，∴，故答案为：． 5．（25-26九年级上·成都·期中）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【详解】解：设 ，，∴，， ∴① ∵② ∴由①②得：，， ∴，，∴，∴，，∴， ∴故答案为：． 类型3：二次根式的化简求值 1．（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，，∴．故答案为：． 2．（25-26九年级上·成都·期中）若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， 又∵，∴， ∴原式 ．故选：D． 3．（2025·成都·一模）已知，那么的值等于 【答案】 【详解】解：由得，整理得：， ．故答案为：． 4．（2025·成都·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 的算术平方根是 ． 考点四：新定义与探究与表达规律（中考地位：B21、B23） 类型1：新定义问题 1．（2025·成都·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ． 【答案】 8 或 【详解】解：，叫做“智惠数”，若，∴， ∴，∵，∴有最大值， ∵，∴当时，，∴满足条件的“智惠数”中最大的数是； 已知，∴，， ∴是完全平方数， 能被整除， 设，（是正整数），∴， ∴或，∴或， ∴或， ∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或；故答案为：①；②或 ． 2．（2025·成都·校考一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③ 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且），，令， 将两式相加可得：，即，解得：， 将代入，解得．为正整数且，、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”．故③正确；综上所述，正确的结论是②③．故答案为：②③． 3．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ，， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ，∵为正奇数，∴为整数，∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数，， ∵∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ，∴当时，的最大值是485，∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 4．（2025·重庆·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知当时，，，， ∴第一次“归位变换”后，得到的数字为，∴，，， ∴第二次“归位变换”后，得到的数字为，故正确； 对于一个正整数，当时，且，∴，，都是一位整数 ∴进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数，故正确； 当为四位正整数时，有以下五种情况 第一种情况：，，，则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第二种情况：，，，则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第三种情况：，，，则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第四种情况：，，，则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第五种情况：，，，则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 所以对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值，且这个定值为，故正确；综上可知：正确，共个，故选：． 5．（2026·广东·校考模拟预测）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”．(1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 【答案】(1)(2)，证明见解析 【详解】（1）解：，， ∴． ，的“吉祥数”是． （2）解： ． ∵．∴． 类型2：探究与表达规律 1．（2025成都·模拟预测）如图，将一根绳子折成3段，然后按如图所示的方式（沿虚线）剪开．剪1刀绳子的段数为4，剪2刀绳子的段数为7，剪3刀绳子的段数为10⋯⋯，按照此方式剪下去，剪刀绳子的段数为 ． 【答案】 【详解】解：由题知，剪1刀绳子的段数为：； 剪2刀绳子的段数为：；剪3刀绳子的段数为：；…… 所以剪n刀绳子的段数为段，故答案为：． 2．（2025·成都·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 【答案】69 【详解】解：设这一列数中有个，个2， ，，，， ，解得：，．故答案为：69． 3．（2025·西藏·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【答案】 【详解】解：∵、、、、、∴按此规律排列的第个数是，故答案为：． 4．（2026·成都·校考模拟预测）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【答案】 【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个， ∴第组最后一个奇数为：， ∴当时，第组最后一个奇数为：， 当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，， 则表示的数是，故答案为：． 5．（2025·成都·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【详解】解：观察图形的变化可得：顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即；前3层共有6颗弹珠，即．…， 故前n层的弹珠数为：，∴，∴， ∴ ，故答案为：． 1．（2025·四川成都·二模）若，为实数，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ，，．故答案为：． 2．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：，故答案为：21． 3．（2025·成都·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______ ． 【答案】22 【详解】解：代数式的值为，，， ．故答案为：． 4．（2025·四川内江·一模）若实数x满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴ ，故答案为：． 5．（2025·成都·三模）已知，则 ． 【答案】1 【详解】∵，， 故答案为1． 6．（2025·成都·一模）当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于的整数： ． 【答案】 【详解】解：， ∴一定能被整除，∴此数可以为；故答案为：． 7．（24-25九年级上·成都·期末）把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为，其中，所以可得：，从而可得：． 【详解】解：， ，，，．故答案为： ． 8．（2025·成都·一模）已知非零实数，满足，则的值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵，∴，，∴， ∴．故答案为：0． 9．（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 【答案】12 【详解】解：，，，即， ，即，，即， ，，故答案为：12． 10.（2025·成都·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或，∴或；故答案为：或． 11．（24-25九年级上·成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】9 【详解】解：∵ ， ∴当时，原式． 12．（25-26九年级上·成都·月考）已知实数a满足，则的值为 ． 【答案】或 【详解】当时，，原方程化为． ∵∴． ∵，∴，∴． 当时，，原方程化为，即∴． 综上，的值为或． 13．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【详解】解：∵第1个图案中有个，第2个图案中有个， 第3个图案中有个，第4个图案中有个，…， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形．故答案为：或243． 1．（2025·成都·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为 ． 【答案】 【详解】解：，，，，，， 以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为， ∴第12个数为，第13个数为∴第12个数和第13个数的和为，答案：． 2．（2025·成都·二模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 设m的十位数字为a，个位数字为b，则，，∴， ∵“积减数”最小，又是正整数，∴，，∴最小的“积减数”是； ∵，∴， ∴，且， 当时，余数为，即，则； 当时，余数为，即，则； 当时，余数为，无解； 当时，余数为，即，则； 满足条件的所有正整数A的和为，故答案为：，． 3．（2025·安徽·校考一模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：    (1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整： 图1 图2 图3 图4 ○的个数 3 9 21 ______ ▲的个数 1 4 10 ______ (2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)45，22(2)图n中，○的个数，▲的个数． 【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数， 图2，○的个数，▲的个数， 图3，○的个数，▲的个数， 图4，○的个数，▲的个数，故答案为：45，22； （2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $