精品解析：黑龙江省哈尔滨德强高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

德强高中2025-2026学年度上学期12月月考 一、单选题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 6. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为 B. 椭圆C的长轴长为6 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C上存在点P，使得为直角 11. 已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若均为等差数列，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 12. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 三、填空题 13. 函数的导数为__________ 14. 已知等比数列的公比为3，且，则__________. 15. 已知数列满足，，则数列的通项公式______. 16. 已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为_____ . 四、解答题 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 18. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 19. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 20. 已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 21. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 22. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强高中2025-2026学年度上学期12月月考 一、单选题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 3. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 6. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性解不等式. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故． 故选：C． 8. 定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9. 已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，所以是公差为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，，所以是公差为5的等差数列，故B正确； 对于C，当时，，， 所以是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，当时，，所以不是等差数列，故D不正确. 故选：ABC. 10. 椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为 B. 椭圆C的长轴长为6 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C上存在点P，使得为直角 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆方程，计算，由焦距、长轴、离心率的定义可判断选项A，B，C，当点P为左顶点或者右顶点时，最大，分析可判断选项D 【详解】由题意， 椭圆的焦距为，A正确； 椭圆的长轴长为，B错误； 椭圆的离心率，C正确； 由已知，可求得，，，当点为左顶点或者右顶点时，最大，此时，又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误 故选：AC 11. 已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若均为等差数列，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由递推关系可知，根据数列周期性可求得A错误；利用等差数列性质可知，由此可求得B正确；利用倒数法和构造法可证得数列为等比数列，利用等比数列通项与求和公式可求得，知C正确；采用裂项相消法可求得，知D正确. 【详解】对于A，，， 数列是以为周期的周期数列，，A错误； 对于B，均为等差数列，，B正确； 对于C，，， 即，，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，，C正确； 对于D，，， ，D正确. 故选：BCD. 12. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据加成函数的定义，判断出为增函数，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，得， 若为加成函数，则函数为上的增函数. 设，，则， 所以不是增函数，A错误. 若是加成函数，则是增函数，则也是增函数， 所以是加成函数，B正确. 设，，则， 因为，，所以， 又，所以，则，则为增函数， 所以是加成函数，C正确. 取，则，所以不是加成函数， 但，则是加成函数，D错误. 故选：BC 三、填空题 13. 函数的导数为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则运算即可. 【详解】令，则变形为，所以， 故答案为： 14. 已知等比数列的公比为3，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求解． 【详解】解：因为的公比为3，所以. 故答案为：2 15. 已知数列满足，，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题化简得出，则用累加法可求出. 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 故答案为： 16. 已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】利用函数特征确定范围，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出并由其范围求出的范围. 【详解】函数， 依题意，点在曲线上，点在曲线上， 由，求导得，由，求导得， 由两条切线互相垂直，得，解得， 因此两条切线方程分别为， 联立解得，则， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案； （2）根据等比数列的前n项和公式即可求得答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 由，得，整理得，得， 因此，； 【小问2详解】 ∵ 且， 所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，. 18. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1）； （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义及切点坐标列方程求解即可； （2）求导得函数的单调区间，即可确定极大值和极小值. 【小问1详解】 由题意知，所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的极小值为，无极大值. 19. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 20. 已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 21. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 22. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $