第03讲 分式（3命题点+10题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“分式”中考核心模块，覆盖分式概念、性质及运算三大考点，严格对标新课标要求。通过“知识网络构建-考点解析-命题洞悉-重难突破”四层架构，梳理分式有无意义、化简求值等高频考向，结合近三年广东中考真题训练，实现复习系统性与针对性统一。 亮点在于“命题点分层突破”设计，如通过分式规律探索题培养推理意识，新定义问题发展创新思维。设“基础-能力-新趋势”三级练习，配套5分钟限时测评，助力学生高效掌握分式运算技巧，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生中考实战能力。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 分式的相关概念 题型01分式有无意义的条件 题型02分式值为0的条件 题型03分式求值 命题点二 分式的性质 题型01分式的基本性质 题型02最简分式与最简公分母 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01分式的混合运算 题型02判断分式运算的错误步骤 题型03分式的化简求值 题型04分式运算的应用 05·重难突破·思维进阶难 46 突破一 分式的求整性问题 突破二 分式的规律探索 突破三 分式的运算与新定义问题 突破四 分式化简中求最值问题 06·优题精选·练能提分 74 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的相关概念 广州卷 T13 了解分式的相关概念，掌握分式有无意义的条件，学会计算分式值为0时的x 值； 分式的性质 广州卷T3 掌握分式的基本性质，学会利用分式的基本性质进行约分和通分； 分式的运算 广州卷 T19 深圳卷T11 广东卷T14 广州卷T20 深圳卷T15 广东卷T5 广州卷T20 深圳卷T17 掌握分式的混合运算； 命题预测 本考点主要考查分式的化简和求值，考查形式多样，其中分式的考查以解答题为主，难度一般. 解分式化简、求值问题时，一要注意整体思想的应用，二要注意解题技巧(分母为多项式时，先分解因式，进行约分，再计算)，三要注意代入的值要使分式有意义； 预计2026年广东中考数学对分式这块内容的考查仍以传统计算为主，难度不会很大，考查计算时要注意检验一下； 考点一 分式的相关概念 知识点01 分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【注意】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 2．（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 【答案】(1)选择两个整式为：，，组成的分式为： (2)选择两个整式为：，， 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据题意，选择两个整式组成一个分式即可； （2）根据题意，选择的两个整式乘法运算不含1次项即可． 【详解】（1）解：选择两个整式为：，，组成的分式为：； （2）选择两个整式为：， 其乘法运算： ． 3．（2024·广东·模拟预测）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不为0.有意义即. 【详解】解：∵有意义 ∴ ∴ 故答案为：. 4．（2024·广东·二模）若分式有意义，则取值为 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解不等式，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不为0是分式有意义的条件解题即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故答案为：． 5．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先算分式的加法，再算除法即可； （2）根据分式的值为零，可得分式的分子为零，分母不为零，求得x的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 解得：， ∴． 考点二 分式的性质 知识点01 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点02 分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【注意】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点03 分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1、分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2、分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 6．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 7．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 8．（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答． 【详解】解：，故A正确； 与不一定相等，故B错误； 与不一定相等，故C错误； 当时，，故D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键． 9．（2024·广东阳江·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得： 化简后的结果和原式相同， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 10．（2024·广东中山·二模）阅读理解 材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； 当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)无限接近5 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）由，的变化情况，判断，的变化情况即可； （2）由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】（1）解： 当时，随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时，随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）解：∵， ∵当时，随着的不断增大，的值无限接近0， ∴的值无限接近5． 考点三 分式的运算 知识点01 分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点02 分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点03 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 11．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 12．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 13．（2023·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： 把代入上式，得原式. 14．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式有无意义的条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 【典例1】（2025·广东·模拟预测）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分母不为零和二次根式被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且 故答案为：且． 【典例2】（2024·广东·二模）若代数式有意义，则实数y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，分式的分母不为零，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【变式1】（2025·广东广州·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键． 根据被开方数大于等于0及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是且． 【变式2】（2025·广东广州·三模）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，涉及解不等式，根据题意，结合二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：有意义， ，解得， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东揭阳·一模）记式子． (1)填空：若要使式子有意义，则值不能为_______ (2)化简． 【答案】(1)，0，1 (2)或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件解答即可； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴或0或， 故答案为：，0，1； （2）解： ． ►题型02 分式值为0的条件 分式值为0 A=0且B≠0 【典例1】（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 【典例2】（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据题意得出，且，进行求解即可． 【详解】解：， ，且， ， 故选：C． 【变式1】（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ∴且． 解得：． 故答案为：． 【变式2】（2024·广东广州·三模）把代数式分解因式，结果正确的是 ；若分式的值为零，则x的值为 ；若代数式可化为，则的值是 ． 【答案】 无解 5 【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可； （3）根据求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴的值不可能等于0， ∴没有x的值能使分式的值为零； （3）∵， 又∵代数式可化为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：（1）；（2）无解；（3）5． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式值为零的条件，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，使分式的值为零的条件，是解题的关键． 【变式3】（2025·广东佛山·三模）使式子的值为零的x的值为（　　） A．3或1 B．﹣3或﹣1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件必须同时具备． 【详解】由题意可得， 由，则， 或， 由，则， 综上，． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分母不为0这个条件是解题的关键． ►题型03 分式求值 【典例1】（2024·广东·二模）若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，然后将代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值．先根据设比例常数，将x和y用k表示，即，，再将含k的式子代入到分式中计算，最后化简分式可得到答案． 【详解】解：设， 则，， 将，代入式子中， 可得， 即的值为5． 故选：A． 【变式1】（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 故答案为：1． 【变式2】（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． 【答案】，1，2，4，5，7 【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴或或， 解得：，，，，，， 故答案为，1，2，4，5，7． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式3】（2024·广东广州·一模）已知：． (1)化简； (2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键 （1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可； （2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：或， ， ， ， 命题点二 分式的性质 ►题型01 分式的基本性质 运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 【典例1】（2023·广东中山·二模）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意； 故选：A 【典例2】（2023·广东汕尾·二模）已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 【变式2】（2023·广东云浮·二模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式3】（2023·广东东莞·二模）下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：，故项计算正确，不符合题意； ，故B项计算错误，符合题意； 故项计算正确，不符合题意； ，故项计算正确，不符合题意； 故选：B ►题型02 最简分式与最简公分母 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式； 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母； 【典例1】（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【典例2】（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【变式1】（2024·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【变式2】（2025·广东中山·一模）分式与的最简公分母是 ． 【答案】3a2b 【分析】利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可． 【详解】分式与的最简公分母是3a2b．故答案为3a2b． 【点睛】本题考查最简公分母，解题的关键是掌握求最简公分母的方法. 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． ►题型03 约分与通分 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 【典例1】（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的约分，根据平方差公式和完全平方公式，可得，即可求得答案． 【详解】 故选：A 【典例2】（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 故答案为：1． 【变式1】（2024·广东深圳·一模）已知m，n满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的约分，根据已知得出，代入所求式子即可解答． 【详解】解： ∴ ∴ ∴． 故答案为． 【变式2】（2023·广东东莞·模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 【答案】B 【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 再设是数的平方数， ∴， ∴， ∵是某个整数的平方数，， ∴， ∴且a为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值可以为、、、， ∴所有满足条件的n之和为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． 【答案】 【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分． 【详解】解：， ， ． 故答案为． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的混合运算 相关公式：1、 2、 3、 4、 5、（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【典例1】（2025·广东汕头·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键在于分式运算中的通分与因式分解．首先括号内通分后合并，然后进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 【典例2】（2025·广东佛山·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质；    B．加法交换律；    C．分式的基本性质；    D．乘法分配律 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)C；D (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：C；D； （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【变式1】（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方根的定义，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合混合法则是解题的关键． （1）根据乘法公式，分式的性质，分式的混合运算即可求解； （2）根据平方根的定义求出，结合分式有意义的条件得到，再代入化简后的计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是9的平方根， ∴， ∵且， ∴且， ∴， 此时，． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知：． (1)化简P； (2)若m，n是方程的两个不相等的实数根，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先计算括号内分式加法，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入（1）中化简的结果，即可求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴． 将其代入（1）得：． 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知代数式． (1)化简； (2)原代数式的值能等于1吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简、解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则以及分式有意义的条件是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可； （2）根据题意得出，求出的值，根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 解得， 当时，，原分式无意义， 原代数式的值能不能等于． ►题型02 判断分式运算的错误步骤 1、错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2、错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3、错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】任务一：①B；②四；任务二：过程见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 任务一：①根据分解因式的定义求解；②根据去括号法则进行判断； 任务二：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：任务一： ①第一步将原式这一项变形为，属于分子分母因式分解； 故选：B； ②第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四； 任务二： 原式 = = = = ， 且且， 可以取2， 当时，原式， 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小莹同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）原式                                                                     ． 【变式3】（2025·广东东莞·二模）先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法没有分配律，从第②步开始出错； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2） ， 当或2时，原分式无意义， 或4， 当时，原式； 当时，原式 ►题型03 分式的化简求值 1、化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2、若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3、若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，先根据分式的运算法则把原式化简，再把x的值代入计算得到答案，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形的定义． 先化简原分式，根据等腰三角形的定义求出第三边长，舍去不合要求的长度，再代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度， ∴或， ∵当时原分式无意义， ∴， ∴原式． 【变式2】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式3】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． ►题型04 分式运算的应用 【典例1】（2025·广东潮州·二模）（1）先化简，再求值：其中． （2）某小区物管中心计划采购A、B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元．求采购每株A、B花卉各需多少元钱． 【答案】（1），3；（2）采购每株种花卉需3元，采购每株种花卉需5元． 【分析】本题考查了分式的化简求值和二元一次方程组的应用. （1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． （2）根据购买3株种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元，列出方程组，即可作答． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． 【点睛】（2）解：设采购每株种花卉需元，采购每株种花卉需元，根据题意， 得， 解得， 答：采购每株种花卉需3元，采购每株种花卉需5元． 【典例2】（2024·广东惠州·二模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 【变式1】（2024·广东广州·二模）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)“丰收2号”单位面积产量为高 (2)12 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键． （1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可； （2）用a表示出两块试验田的周长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴“丰收2号”单位面积产量高； （2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为， ∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴a的值为12． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【答案】(1) (2)时，电流表读数的最小值为． 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用、二次函数的性质等知识点，根据题意列出正确的代数式计算并根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）由题意可得，然后求解即可解答；解得：； （2）由题意可得，则，当时，R有最大值4，再求出I的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得：． ∴电路中的总电阻为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，R有最大值， ∴， ∴当时，电流表读数的最小值为． 突破一 分式的求整性问题 【典例1】（2024·广东韶关·二模）我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3)1，2，4或5 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据“真分式”的定义可知分式是真分式， 故答案为：真 （2） （3）， 为整数， 为整数， 当的值为整数时，分式的值为整数， 或， 的值为1，2，4或5． 【变式1】（2024·广东肇庆·二模）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为 ． 【答案】或27 【分析】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键． 化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知： (1)化简； (2)若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求解． （1）先通分，化成同分母，利用同分母分式的加减法求解即可； （2）根据题意得，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得， ∴原式． 【变式4】（2024·广东广州·二模）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)将分式用“分离常数法”可化成______； (2)将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）利用加减法可得，即可得或或，据此解答即可求解； 本题考查了分式的变形运算，解二元一次方程组，掌握“分离常数法”是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：， ①②，得， ∴， ∵是正整数， ∴大于的整数， 又∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，不合题意，舍去； 综上，整数的值为或． 突破二 分式的规律探索 【典例1】（2024·广东清远·二模）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 【变式1】（2024·广东深圳·二模）（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）；④（   ） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 【答案】（1）①√，②√，③√，④√；（2）（n为大于1的自然数）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）分别化简等号的左右两边的二次根式，再判断即可； （2）观察各式即可得出规律； （3）先计算等号左边被开方数中的分式加法，再利用二次根式的性质化简证明即可． 【详解】解：（1）①，， ∴， 故答案为：√； ②，， ∴， 故答案为：√； ③，， ∴， 故答案为：√； ④，， ∴ 故答案为：√； （2）可得规律为：，其中n为大于1的自然数； （3）（n为大于1的自然数）． 【变式2】（2024·广东广州·二模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索． （1）由上述等式得，； （2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）； （3）计算是否等于． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴； （2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）； （3）证明： ， 因此归纳正确． 【变式3】（2024·广东云浮·二模）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 【变式4】（2024·广东珠海·二模）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，，，，…， 若为正整数，， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ； （3）解：，，， ，， ，， ． 突破三 分式的运算与新定义问题 【典例1】（2024·广东汕头·二模）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 【变式1】（2024·广东湛江·二模）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 【变式2】（2024·广东广州·二模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 【变式3】（2024·广东惠州·二模）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴关于的“和约分式值”是， 故选：． 【变式4】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 突破四 分式化简中求最值问题 【典例1】（2024·广东河源·二模）在一次数学活动中，利用“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是6”．其推导方法如下：在面积是9的长方形中设长方形的一边长为，则另一边长是，长方形的周长是；当长方形成为正方形时，就有，解得，这时长方形的周长最小，因此的最小值是6．参考推导，可求得式子的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义题型下求分式的取值范围，正确题意题意是解题关键．，根据定义即可求解． 【详解】解：， 由题意得：在面积是的长方形中设长方形的一边长为，则另一边长是， 长方形的周长是， 当长方形成为正方形时，就有，解得， 这时长方形的周长最小，因此的最小值是， 即：的最小值是 故选：B 【变式1】（2024·广东阳江·二模）阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 【答案】(1)①；②；③24 (2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米； (3)有最小值，有最小值 【分析】（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可； ②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案； ③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案； （2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3 进行计算即可得到答案； （3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案； 【详解】（1）①解：； 故答案为； ②解：， ∵， ∴， ∴当x=-4时，原式的最小值为-1； 故答案为-1； ③解：∵，设， 则：， ∴， ∴，当仅当时，即x=3时取等号， ∴当x=3时，原式的最小值为24； 故答案为24； （2）设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小， ∵x＞0，y＞0， ∴， 当且仅当x=2y时取得等号， 由，解得，x=8，y=4， 即长为8，宽为4时，所用篱笆最短． 最短篱琶为16米． （3）解： ， ∵， ∴，当仅当时取等号， ∴， ∴， 故当时，有最小值； = = =， ∵ ∴，当且仅当时，即x=2时取等号， ∴ ∴ ∴ ∴ 故当x=2时，有最小值． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【变式2】（2024·广东广州·二模）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 【变式3】（2024·广东茂名·二模）阅读材料①：若都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：， ． ．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即时，“”成立． 当时，函数取得最小值，． 阅读材料②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和， 例如：． 问题解决： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)求函数的最小值； (3)已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状． 【答案】(1)2，2 (2)4 (3)，四边形是菱形 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，分式的性质，菱形的判定， 对于（1），当时，根据求出最小值即可； 对于（2），先化简得，可得答案； 对于（3），先设，则，可得，再讨论最小值的点P的坐标；然后结合四个点的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后结合“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即． 当时，即（）时，有最小值2． 故答案为：2，2； （2）解：， ， ， 最小值为4； （3）解：∵，， ∴， ∵为第四象限内一点，且满足， ∴ 设，则，， ． 当且仅当，即时等号成立，此时． ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【变式4】（2024·广东佛山·二模）【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】（1）6，3；（2）最小值是；（3）①见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【分析】本题考查了分式的求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得可得代数式的最小值为取最小值，再计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，结合相似三角形的判定与性质进行计算即可得解；②由，则，再仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为， 此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵，要使最小， ∴最小即可． ∵时， ∴， ∴的最小值是，即的最小值是． （3）①∵正方形， ∴，， 设，，边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，则， ∵， ∴当时，有最小值为，此时， ∴当时，有最小值为， ∴有最大值， ∴有最大值为，即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 1．（2025·广东广州·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·一模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件；根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：A． 3．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 4．（2025·广东韶关·一模）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的减法运算，先加减，再约分即可，解答的关键是熟练计算． 【详解】解：， 故选：C． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法运算，当分母相同时，只需将分子相加，分母保持不变，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的加法运算进行作答，即可求解； 【详解】解：， 故答案为：； 6．（2025·广东茂名·二模）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式减法运算，根据同分母分式减法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（2025·广东东莞·二模）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，平方差公式的应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先把分子相减，然后约分即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（2025·广东广州·二模）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， 故答案为；4． 9．（2025·广东韶关·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解： 10．（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则，进行化简，然后把代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 11．（2025·广东茂名·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解答本题的关键． 根据同分母分式的加减法法则计算即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 12．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是 ． 5 【答案】 【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键： 先化简，，，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以得出每行、列、对角线三数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出的值． 【详解】因为，，， 所以这组数据为，，，，，，，，． 这个数总和为 ． ∵九宫格三行（或三列）和等于这个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等， ∴每行、每列、每条对角线三个数和均为， ∴第三行的第三个数为， ∴第三列中间数a为， 故答案为：． 14．（2025·广东梅州·模拟预测）化简的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后按照同分母分式加减运算法则计算并约分即可． 【详解】解： ． 15．（2025·广东汕头·一模）使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零是常考知识点，需重点掌握． 根据二次根式的性质和分式的性质即可得． 【详解】解：由二次根式的性质和分式的性质得， 解得， 故答案为：且． 16．（2025·广东汕头·一模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是利用整体代入的思想进行求解．由已知求得，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·广东汕尾·一模）已知（且），，，…，，则等于 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，通过求出的值得到规律这一列数是每三个数为一个循环，，，依次出现，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知，这一列数是每三个数为一个循环，，，依次出现， ∵， ∴与表示的数相同， ∴， 故答案为：． 18．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 【答案】①；正确的化简过程见解析 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤①错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①， 正确的化简过程如下： 原式 ， 故答案为：①． 19．（2025·广东深圳·三模）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】；2 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后由得出，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20．（2025·广东广州·二模）已知为整式，，化简后，． (1)求整式； (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分式的化简求值； （1）先计算分式的除法运算，再与结果比较可得的结果； （2）先解一元二次方程得到方程的解，再结合分式有意义的条件把代入化简后的代数式计算即可. 【详解】（1）解： ， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵分式有意义， ∴，，，， 当时， 原式. 21．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 22．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 23．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 24．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 25．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 26．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 27．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 29．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 30．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 31．（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 32．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 33．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 34．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 35．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 36．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 分式的相关概念 题型01分式有无意义的条件 题型02分式值为0的条件 题型03分式求值 命题点二 分式的性质 题型01分式的基本性质 题型02最简分式与最简公分母 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01分式的混合运算 题型02判断分式运算的错误步骤 题型03分式的化简求值 题型04分式运算的应用 05·重难突破·思维进阶难 18 突破一 分式的求整性问题 突破二 分式的规律探索 突破三 分式的运算与新定义问题 突破四 分式化简中求最值问题 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的相关概念 广州卷 T13 了解分式的相关概念，掌握分式有无意义的条件，学会计算分式值为0时的x 值； 分式的性质 广州卷T3 掌握分式的基本性质，学会利用分式的基本性质进行约分和通分； 分式的运算 广州卷 T19 深圳卷T11 广东卷T14 广州卷T20 深圳卷T15 广东卷T5 广州卷T20 深圳卷T17 掌握分式的混合运算； 命题预测 本考点主要考查分式的化简和求值，考查形式多样，其中分式的考查以解答题为主，难度一般. 解分式化简、求值问题时，一要注意整体思想的应用，二要注意解题技巧(分母为多项式时，先分解因式，进行约分，再计算)，三要注意代入的值要使分式有意义； 预计2026年广东中考数学对分式这块内容的考查仍以传统计算为主，难度不会很大，考查计算时要注意检验一下； 考点一 分式的相关概念 知识点01 分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【注意】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 2．（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． (1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； (2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 3．（2024·广东·模拟预测）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 4．（2024·广东·二模）若分式有意义，则取值为 5．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值． 考点二 分式的性质 知识点01 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点02 分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【注意】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点03 分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1、分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2、分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 6．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 7．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 8．（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东阳江·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 10．（2024·广东中山·二模）阅读理解 材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； 当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 考点三 分式的运算 知识点01 分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点02 分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点03 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 11．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 12．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 13．（2023·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式有无意义的条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 【典例1】（2025·广东·模拟预测）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【典例2】（2024·广东·二模）若代数式有意义，则实数y的取值范围是 ． 【变式1】（2025·广东广州·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（2025·广东广州·三模）若有意义，则的取值范围是 ． 【变式3】（2025·广东揭阳·一模）记式子． (1)填空：若要使式子有意义，则值不能为_______ (2)化简． ►题型02 分式值为0的条件 分式值为0 A=0且B≠0 【典例1】（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【典例2】（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1】（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【变式2】（2024·广东广州·三模）把代数式分解因式，结果正确的是 ；若分式的值为零，则x的值为 ；若代数式可化为，则的值是 ． 【变式3】（2025·广东佛山·三模）使式子的值为零的x的值为（　　） A．3或1 B．﹣3或﹣1 C．1 D．3 ►题型03 分式求值 【典例1】（2024·广东·二模）若，则分式 ． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【变式2】（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． 【变式3】（2024·广东广州·一模）已知：． (1)化简； (2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 命题点二 分式的性质 ►题型01 分式的基本性质 运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 【典例1】（2023·广东中山·二模）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·广东汕尾·二模）已知，则分式的值为 ． 【变式1】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【变式2】（2023·广东云浮·二模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（2023·广东东莞·二模）下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 最简分式与最简公分母 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式； 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母； 【典例1】（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【典例2】（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【变式1】（2024·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东中山·一模）分式与的最简公分母是 ． 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． ►题型03 约分与通分 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 【典例1】（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【变式1】（2024·广东深圳·一模）已知m，n满足，则的值为 ． 【变式2】（2023·广东东莞·模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的混合运算 相关公式：1、 2、 3、 4、 5、（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【典例1】（2025·广东汕头·一模）化简：． 【典例2】（2025·广东佛山·三模）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质；    B．加法交换律；    C．分式的基本性质；    D．乘法分配律 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【变式1】（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知：． (1)化简P； (2)若m，n是方程的两个不相等的实数根，求P的值． 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知代数式． (1)化简； (2)原代数式的值能等于1吗？为什么？ ►题型02 判断分式运算的错误步骤 1、错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2、错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3、错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【变式3】（2025·广东东莞·二模）先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． ►题型03 分式的化简求值 1、化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2、若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3、若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【变式1】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度． 【变式2】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． ►题型04 分式运算的应用 【典例1】（2025·广东潮州·二模）（1）先化简，再求值：其中． （2）某小区物管中心计划采购A、B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元．求采购每株A、B花卉各需多少元钱． 【典例2】（2024·广东惠州·二模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【变式1】（2024·广东广州·二模）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 突破一 分式的求整性问题 【典例1】（2024·广东韶关·二模）我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 【变式1】（2024·广东肇庆·二模）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为 ． 【变式3】（2025·广东广州·二模）已知： (1)化简； (2)若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为，求的值． 【变式4】（2024·广东广州·二模）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)将分式用“分离常数法”可化成______； (2)将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)已知方程组有正整数解，求整数的值． 突破二 分式的规律探索 【典例1】（2024·广东清远·二模）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【变式1】（2024·广东深圳·二模）（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）；④（   ） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 【变式2】（2024·广东广州·二模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 【变式3】（2024·广东云浮·二模）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【变式4】（2024·广东珠海·二模）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 突破三 分式的运算与新定义问题 【典例1】（2024·广东汕头·二模）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【变式1】（2024·广东湛江·二模）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【变式2】（2024·广东广州·二模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 【变式3】（2024·广东惠州·二模）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 突破四 分式化简中求最值问题 【典例1】（2024·广东河源·二模）在一次数学活动中，利用“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是6”．其推导方法如下：在面积是9的长方形中设长方形的一边长为，则另一边长是，长方形的周长是；当长方形成为正方形时，就有，解得，这时长方形的周长最小，因此的最小值是6．参考推导，可求得式子的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式1】（2024·广东阳江·二模）阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 【变式2】（2024·广东广州·二模）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【变式3】（2024·广东茂名·二模）阅读材料①：若都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：， ． ．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即时，“”成立． 当时，函数取得最小值，． 阅读材料②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和， 例如：． 问题解决： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)求函数的最小值； (3)已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状． 【变式4】（2024·广东佛山·二模）【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 1．（2025·广东广州·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·广东深圳·一模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 4．（2025·广东韶关·一模）计算的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）计算： ． 6．（2025·广东茂名·二模）化简 ． 7．（2025·广东东莞·二模）化简 ． 8．（2025·广东广州·二模）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数 ． 9．（2025·广东韶关·三模）计算： 10．（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 11．（2025·广东茂名·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则 ． 13．（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是 ． 5 14．（2025·广东梅州·模拟预测）化简的结果为 ． 15．（2025·广东汕头·一模）使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为 ． 16．（2025·广东汕头·一模）已知，则的值是 ． 17．（2025·广东汕尾·一模）已知（且），，，…，，则等于 （用含的代数式表示）． 18．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 19．（2025·广东深圳·三模）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 20．（2025·广东广州·二模）已知为整式，，化简后，． (1)求整式； (2)若是方程的根，求的值． 21．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 23．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 24．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 25．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 26．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 27．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 28．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 29．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 30．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 31．（2025·四川·中考真题）化简：． 32．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 33．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 34．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 35．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 36．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $