精品解析：贵州省遵义市 务川仡佬族苗族自治县黄都中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

贵州省普通中学2025—2026学年度第一学期期中测评 九年级数学（人教版） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共6页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 二次函数的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 3. 若关于的方程的一个根是，则的值是() A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（　） x 6.17 6.18 6.19 y －0.03 －0.01 0.02 A. －0.03＜x＜－0.01 B. －0.01＜x＜0.02 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.17＜x＜6.18 7. 用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则下列说法正确的是（ ） A. 列方程为 B. 列方程为 C. 列方程为 D. 周瑜去世时25岁 10. 我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ） A. B. C. D. 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 12. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点、在二次函数图象上，则 C. 当时，随增大而减小 D. 若方程有实数根，则 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 二次函数的图象的开口向___________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（）关于滑行的时间（）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________才能停下来． 15. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 19. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20. 2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式：______； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ 21. 抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是　 　和　 　； ②x　 　时，y＞0； （2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 22. 小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 23. 某公司推出一款消毒产品，成本价为8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的且销售量与销售单价的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 10 15 18 20 日销售量（千克） 240 190 160 140 （1）求关于的函数表达式； （2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？ （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 24. 春耕期间，农户老张购买了一套农田喷灌系统为田地浇灌（如图1），喷水从距离地面的位置喷出，经测量，当喷水距离喷杆的位置时，水流达到最高点，水流路径近似为抛物线，老张的儿子小明为研究喷水过程，以喷杆的位置为y轴，以喷杆与地面的交点为原点O，以与水流在同一平面内的水平地面为x轴建立了如图2的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）当启动该装置时，小明恰好站在距离喷杆的田地中，若小明身高，试判断水流能否越过小明的头顶，并说明理由； （3）为保证喷灌效果，老张调整了喷头的设置，此时水流的路线满足表达式．当时，y的值总大于3，请直接写出m的取值范围． 25. 新定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于O，A两点，交点之间的部分（含交点）记为，绕点A旋转得到，与x轴交于A，B两点，将与合称为S形抛物线，对应的函数称为S形函数．如图1，的表达式为（）． （1）求的表达式（不需要写出x的范围）； （2）如图2，过点A的直线与S形抛物线交于M，N（M在N的左边）两点，直线交直线于点C，交x轴于点D，若E是D关于A的对称点，连接，若．求M点的横坐标； （3）若点，，存在过A的直线与S形抛物线交于M，N，使得，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省普通中学2025—2026学年度第一学期期中测评 九年级数学（人教版） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共6页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 二次函数的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2. 夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 3. 若关于的方程的一个根是，则的值是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的概念，直接代入根即可求解参数关系．将根代入方程，得到关于和的方程，通过代数变形求解． 【详解】解：是方程的根， 代入得， 即， ， ， ． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴上方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选A． 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（　） x 6.17 6.18 6.19 y －0.03 －0.01 0.02 A. －0.03＜x＜－0.01 B. －0.01＜x＜0.02 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.17＜x＜6.18 【答案】C 【解析】 【详解】分析：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，即为二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y=0时，自变量x的值； 解：当y=0时，-0.01<y<0.02,由表格可得6.18<x<6.19; 故选C． 7. 用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的问题，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； B、应在方程左右两边同时加上4，故符题意； C、原方程移项得，应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； D、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； 故答案为：B． 8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 9. 嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则下列说法正确的是（ ） A. 列方程为 B. 列方程为 C. 列方程为 D. 周瑜去世时25岁 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出式子，然后求解即可． 【详解】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是，则十位数字为， 由题意可得：，化简可得： 解得， 则周瑜去世时年龄为或岁， 即C选项正确，A、B、D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 10. 我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题探究函数的表达式，正确理解题意是关键； 由题意可知小王从点A到路灯C的正下方前他与路灯的距离越来越小，到路灯正下方时距离最小，从路灯沿直线走到点B的过程中他与路灯的距离越来越大，也就是先减小后增大，有最小值，结合函数的性质和选项即可判断. 【详解】解：由题意可知小王从点A到路灯C的正下方前他与路灯的距离越来越小，到路灯正下方时距离最小，从路灯沿直线走到点B的过程中他与路灯的距离越来越大，也就是先减小后增大，有最小值，观察所给函数，最符合的是D； 故选D． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 12. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点、在二次函数图象上，则 C. 当时，随增大而减小 D. 若方程有实数根，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的对称性求出其与轴的另一个交点在点和之间即可判断A；根据二次函数性质可直接判断B，C；根据二次函数性质得出函数值，即可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 其对称轴为， 其与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 选项A错误， ， ， 选项B错误， 对称轴， 时，随的增大而增大， 选项C错误． 抛物线的顶点为，开口朝上， 函数值， 直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确． 答案：D． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 二次函数的图象的开口向___________． 【答案】下 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（）关于滑行的时间（）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意得出：当无人机停下来时，飞机滑行的距离达到最大值是解题的关键；将二次函数的解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，即无人机滑行才能停下来， 故答案为：． 15. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______． 【答案】10% 【解析】 【分析】设降价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解． 【详解】解：设降价百分率为x， 列方程：40（1﹣x）2＝32.4． 解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）． 故答案为：10%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴，． 18. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2） 解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【小问1详解】 解：， 整理得：, ； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 20. 2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式：______； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ 【答案】（1）； （2）公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，一元二次方程，理解数量关系，正确列式，掌握一次函数的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）定价为元，每卷利润元，结合（1）中的函数解析式，令函数值为1800元，求自变量的值即可； 【小问1详解】 解：根据题意设， 代入已知数据点和得 ， 解得：， 则y与x的函数关系式：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：定价为元，每卷利润元， 由（1）知销售量为， 则， 解得：（舍去），， ∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元； 21. 抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是　 　和　 　； ②x　 　时，y＞0； （2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 【答案】（1）①（﹣2，0），（1，0）；②＜﹣2或x＞1；（2）y＝2x2+2x﹣4 【解析】 【分析】（1）①在表中找出函数值为0对应的自变量的值可确定抛物线与x轴的交点坐标； ②利用表中函数值的变化，再结合抛物线与x轴的交点坐标得到函数值为正数的自变量的范围； （2）设交点式y＝a（x+2）（x﹣1），然后把（0，﹣4）代入求出a即可． 【详解】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）； ②x＜﹣2或x＞1时，y＞0； 故答案为（﹣2，0），（1，0）；＜﹣2或x＞1； （2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1）， 把（0，﹣4）代入得﹣4＝a×2×（﹣1），解得a＝2， 所以抛物线解析式为y＝2（x+2）（x﹣1）， 即y＝2x2+2x﹣4． 【点睛】本题考查的是二次函数的相关知识，能够根据表格信息读取所需信息是解题的关键. 22. 小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判定式，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）两个正方形的周长之和为，则两个正方形的边长之和为，设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．根据面积之和等于建立方程求解； （2）先建立方程，再根据根的判定式判定即可． 【小问1详解】 设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； 【小问2详解】 略 23. 某公司推出一款消毒产品，成本价为8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的且销售量与销售单价的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 10 15 18 20 日销售量（千克） 240 190 160 140 （1）求关于的函数表达式； （2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？ （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为14元 （3）当销售单价为21元时，每天获得的利润最大，最大利润为1590元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并掌握二次函数的性质． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出方程求解； （3）在利润表达式基础上减去捐赠的100元，再通过求二次函数最值来确定销售单价和最大利润． 【小问1详解】 解：设，将和代入可得： ， 用第二个方程减去第一个方程：， 即， ， 解得， 把代入得：， 解得， ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：销售单价为元，则每千克利润为元，日销售量为千克， 根据利润每千克利润销售量，可得：， 展开式子得， 即， ， ， 分解因式得， 解得，， ∵单价不高于22元， ∴舍去， ∴销售单价应为14元． 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为元，则， 展开式子得， 即， 对于二次函数，， ∴图象开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值，， 解得（元）， ∴当销售单价为21元时，每天获得的利润最大，最大利润为1590元． 24. 春耕期间，农户老张购买了一套农田喷灌系统为田地浇灌（如图1），喷水从距离地面的位置喷出，经测量，当喷水距离喷杆的位置时，水流达到最高点，水流路径近似为抛物线，老张的儿子小明为研究喷水过程，以喷杆的位置为y轴，以喷杆与地面的交点为原点O，以与水流在同一平面内的水平地面为x轴建立了如图2的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）当启动该装置时，小明恰好站在距离喷杆的田地中，若小明身高，试判断水流能否越过小明的头顶，并说明理由； （3）为保证喷灌效果，老张调整了喷头的设置，此时水流的路线满足表达式．当时，y的值总大于3，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 水流不能越过小明的头顶，理由如下： 在中，当时，． ， 水流不能越过小明的头顶． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，抛物线顶点坐标为，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论； （3）根据解析式可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越大，要保证当时，y的值总大于3，则要保证当时，函数的最小值要大于3，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线的表达式为． 将点代入，得， ， 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为直线， ∵二次项系数小于0， ∴函数开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ①当，即时， 将代入得， ∴此时函数的最小值为， ∵当时，y的值总大于3， ∴， ，不符合题意； ②当，即时， 将代入得，， ∴此时函数的最小值为， ∵当时，y的值总大于3， ∴， ． 综上所述，m的取值范围为． 25. 新定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于O，A两点，交点之间的部分（含交点）记为，绕点A旋转得到，与x轴交于A，B两点，将与合称为S形抛物线，对应的函数称为S形函数．如图1，的表达式为（）． （1）求的表达式（不需要写出x的范围）； （2）如图2，过点A的直线与S形抛物线交于M，N（M在N的左边）两点，直线交直线于点C，交x轴于点D，若E是D关于A的对称点，连接，若．求M点的横坐标； （3）若点，，存在过A的直线与S形抛物线交于M，N，使得，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）当时，存在过点的直线与S形抛物线交于两点，使得． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象变换、一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是利用旋转的性质确定抛物线顶点，结合对称关系分析线段与坐标的关系． （1）先确定的顶点和交点，利用旋转的对称性质求的顶点，再结合开口方向写表达式； （2）设直线的解析式，结合对称关系表示的坐标，利用列方程求解； （3）类比（2）的方法，结合坐标关系列方程，通过二次函数的最值分析的范围． 【小问1详解】 解：， ∴的顶点为，与轴交点， ∵点关于点的对称点为， 与的形状相同，且的开口向上， ∴的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将代入，得， ， ∴直线， 当时，， ， 当时，解得或． ， ∵关于点对称，关于点对称，， ，， ， ， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为1； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ， （舍去），， 是直线与的交点，而的自变量范围是，又由（2）知的横坐标是， 在上的条件是：， ， ． ∴当时，存在过点的直线与S形抛物线交于两点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $