专题15 平行线中的动点问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学复习讲义通过“基础铺垫-核心思想-解题技巧”的递进框架构建平行线动点问题知识体系，以知识框架图梳理平行线性质与判定、动中求静与分类讨论等核心内容，清晰呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于四大题型（动点定值、存在性、数量关系探究、角度计算）的分层设计，每个题型配套典例解析和变式练习，通过辅助线构造、方程思想等方法培养学生推理意识和模型意识，帮助不同层次学生掌握解题技巧，也为教师精准教学提供系统支持。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题15 平行线中的动点问题（4大基本题型） 题型1：动点定值问题 题型2：动点存在性问题 题型3：动点数量关系探究 题型4：动点角度计算问题 一、基础铺垫：平行线的性质与判定 1. 平行线的性质与判定是解决动点问题的底层逻辑，动点运动过程中，需通过平行线的性质推导角度、距离的关系，或通过判定定理验证平行关系。 2. 核心性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。（如：若AB∥CD，则∠PAB＝∠PCD（同位角）、∠APC＝∠PCD（内错角）、∠PAB＋∠PBA＝180°（同旁内角）） 3. 核心判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行。 4. 应用场景：动点在平行线间运动时，通过作辅助线（如过动点作平行线），将大角分解为平行线间的角，利用性质推导角度关系。 二、核心思想：动中求静与分类讨论 1. 动点问题的关键是“动中求静”——在动点的动态变化中，找到不变的量（如角度和、距离差）或规律；同时，需根据动点的位置范围（如线段上、延长线上）进行分类讨论，避免漏解 2. 动中求静：如动点P在AD、BC间运动时，∠CPD与∠α（∠ADP）、∠β（∠BCP）的和始终为定值（如180°），需通过平行线性质证明这一规律。 3. 分类讨论：动点位置不同，角度/距离关系不同。例如： (1) 当P在A、B之间时，∠CPD＝∠α＋∠β； (2) 当P在A左侧时，∠CPD＝∠β－∠α； (3) 当P在B右侧时，∠CPD＝∠α－∠β。 三、解题技巧：辅助线与方程思想 1. 辅助线法：动点问题中，作平行线是最常用的辅助线方法，通过构造“平行线间的角”，将未知角转化为已知角。 2. 方程思想：当问题涉及角度和、距离差时，可通过设未知数，利用平行线性质列方程求解。 【题型1】动点定值问题 题型描述：动点在平行线间或周边运动时，某一线段长度、角度或面积保持恒定（与动点位置无关）。 核心思路：通过平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）或几何定理（三角形内角和、全等/相似），证明该量为定值。 解题步骤： 1. 设变量：设动点运动的时间为t，或运动轨迹上的坐标为(x,y)。 2. 表关系：用变量表示相关线段长度或角度。 3. 用定理：结合平行线性质或几何定理（如三角形外角等于不相邻两内角和），推导该量与变量的关系。 4. 证定值：若推导结果显示该量与变量无关（如系数为0），则为定值。 【题型2】动点存在性问题 题型描述：判断是否存在某一时刻，使得动点满足特定条件（如构成等腰三角形、平行四边形、全等三角形等）。 核心思路：假设存在，通过几何条件（如边相等、角相等、平行四边形对边平行且相等）建立方程，求解方程若有正实数解，则存在；否则不存在。 解题步骤： 1. 假设存在：设动点运动时间为t，假设此时满足条件。 2. 列条件：根据条件列出几何关系。 3. 建方程：用t表示相关线段长度，代入几何关系得方程。 4. 解方程：求解方程，若t＞0且符合运动范围（如t＜3），则存在；否则不存在。 【题型3】动点数量关系探究 题型描述：探究动点在不同位置时，线段长度、角度或面积之间的数量关系。 核心思路：通过平行线性质（如内错角相等）或代数方法（如设变量、列方程），推导数量关系。 解题步骤： 1. 分情况：根据动点位置分类，避免漏解。 2. 表变量：用t表示相关线段长度。 3. 找关系：结合平行线性质或几何定理（如三角形内角和），推导数量关系。 4. 验范围：验证关系是否符合动点的运动范围（如t＞0且t＜）。 【题型4】动点角度计算问题 题型描述：计算动点运动时，某一线段与平行线形成的角度（如∠APB、∠CPD等）。 核心思路：通过平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补）或角的和差关系（如三角形外角等于不相邻两内角和），推导角度。 解题步骤： 1. 画辅助线：过动点作平行线的平行线（如过P作PE∥AB），构造内错角或同位角。 2. 用性质：利用平行线性质（如AB∥PE，则∠APE＝∠PAB）表示角度。 3. 算和差：通过角的和差关系（如∠APB＝∠APE＋∠CPE）计算目标角度。 4. 验范围：验证角度是否符合动点的运动范围（如0°＜θ＜180°）。 【题型1】动点定值问题 【典例1】三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 【练习1】如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 【练习2】如图，点E在延长线上， ， 交于F，且， ，比的余角小， P 为线段上一动点，Q为线段 上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤的度数为定值，其中正确结论的是________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由，可得出，进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论①正确；②由可得出，结合可得出，即平分，结论②正确；③由可得出，结合比的余角小可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论③正确；④由③得：无法证明，结论④错误；⑤根据角平分线的定义可得出以及，将其代入可求出的角度为定值，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，结论①正确； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴平分，结论②正确； ③∵， ∴． ∵比的余角小， ∴． ∵，， ∴，结论③正确； ④由③得：无法证明，结论④错误； ⑤∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【练习3】在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，． (1)如图1，若点，，点是轴上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，点是轴上点左边的一点，连接，和的角平分线交于点，求证：； (3)如图3，点是轴上点左边的一点，点是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点，求的值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，分两种情形分别构建方程求解即可． （2）如图，过点作，设，，根据平行线的性质推出，，即可得证； （3）如图，设交于点，过点作，设，，，，分别用，，的代数式表示，即可解决问题． 【详解】（1）解：设， ∵，即轴，， ∴，， 当点在线段下方时， ， ∴， 解得：； 当点在线段上方时， ， ∴， 解得：； ∴满足条件的点的坐标或； （2）证明：如图，过点作，设，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，设交于点，过点作，设，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 用同样的方法得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的推论等知识，解题的关键是学会利用方程和参数解决问题． 【题型2】动点存在性问题 【典例1】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，． （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， ． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【练习1】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，连接，点是线段上一点，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，点从点出发以每秒2个单位长度匀速向点移动，同时点从点出发以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速移动，设运动时间为秒，当点到达点时，，同时停止运动．在运动过程中，是否存在，使面积是面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若，点是第二象限内一点，轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，在点运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在， (3)，见解析 【分析】（1）根据条件求解即可得出结论； （2）如图，过做于，于，先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论； （3）过作交于点，证明，，可得，证明，可得，可得，进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， ∴； （2）解：如图，过做于，于， 由题意得，，，则， ∵的坐标为， ∴，， ∵面积是面积的2倍， ∴， 即， 解得； （3）解：过作交于点， ∴， ∵，，， ∴， ∵轴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解本题的关键． 【练习2】我们曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；（2）①互余，理由见解析；②；（3）10秒或16秒． 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，   ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【练习3】在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】 （2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】（）；（）；（）当点在左侧时，，当点在右侧时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设的“系数补角”是，则，求出的值即可； （）过点作，由平行线的性质可得，，则有，又是的“系数补角”，故，则有，然后求出即可； （）分当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，然后通过平行线的性质和“系数补角”定义即可求解． 【详解】解：（）设的“系数补角”是， ∴， ∵， ∴， ∴的“系数补角”是（或）， 故答案为：（或）； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴， 即； （）当点在左侧时，如图，过作，则，过作，则， ∴，，，， ∴， ∵和分别是、的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴； 当点在右侧时，如图，过作，则，过作，则， 同理可得， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴． 【题型3】动点数量关系探究 【典例1】【问题背景】如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求的值； ②当点G在运动过程中，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质．利用角平分线的性质可得角度的关系，利用平行线的性质可得内错角相等，由角度相等转化关系是解决本题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，由“内错角相等，两直线平行”证明即可； （2）①根据角平分线的性质可得，，,再结合平行线的性质可转化角度相等，再由即可求解； ②分两种情况讨论，当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据角平分线的性质以及平行线的性质得到角度的关系即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 解得； ②与之间的数量关系或， 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， ∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，与之间的数量关系或． 【练习1】如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，构成，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)当动点落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明； (2)当动点落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； (3)当动点落在第③部分时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 【答案】(1) (2) (3)当动点P落在直线右侧时，；当动点P落在直线左侧时，． 【分析】(1) 过点P作，得到，，由此得到； (2) 过点P作，得到，，由此得到； (3) 过点P作，当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，得到，由此得；当动点P落在第③部分时且在直线左侧时， 得，，由，得． 【详解】（1）解：． 证明：过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． （2）解：． 证明：过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，． 理由：过点P作， ∵， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 当动点P落在第③部分时且在直线左侧时， ． 理由：过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 综上，当动点P落在直线右侧时，；当动点P落在直线左侧时，． 【点睛】此题考查了平行线，熟练掌握平行公理，平行线的判定和性质正确掌握平行线的性质，添加辅助线构建平行线，分类讨论，是解题的关键． 【练习2】如图1，直线与直线分别交于点平分交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点于点，设． ①当点在点的右侧时，若，求的大小； ②点在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据角平分线的定义，利用平角的定义由求出的度数，即可解决问题； ②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）如图1中， 平分交于点， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）． （2）①如图2中， ∵，ABCD， ∴． ∵平分交于点， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②猜想：或； 理由：当点在的右侧时， ， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ， ∴， ，， ， ， ， ． 综上所述，或． 【练习3】已知平分 ，平分 ，且 (1)如图1， 求证∶； (2)如图2， 若且求证： (3)若H是直线上一动点（不与D 重合），平分交所在直线于点I，请在下图中画出图形，并直接写出对应的 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 与的数量关系为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理，角平分线的性质，利用这些性质进行角之间的转化是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； （2）过点F作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； (3)分点H在点D的左侧，点H在点D的右侧，画出图形，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点E作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：①当点H在点D的左侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； ②当点H在点D的右侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； 综上所述， 与的数量关系为或． 【题型4】动点角度计算问题 【典例1】一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 【练习1】如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②猜想：或，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题． ②根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：AB∥CD． 理由：如图中， ∵平分交于点M， ∴， ∵． ∴， ∴． （2）①如图中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴； ②猜想：或 理由： 当点G在F的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当点G在F的左侧时， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 【练习2】如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 【练习3】平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，． (1)①如图1，直接写出______°； ②如图1，若，求的大小； (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小（用的代数式表示）； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和，交直线于点R，交直线于点Q，和交于点H，求的大小．（要求：在备用图中画出图形，写出过程） 【答案】(1)①；② (2)或或 (3)或 【分析】（1）①过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； ②根据①可得：，根据，列出方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：向右移动时，向左移动时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； ②根据①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴； 综上分析可知：或或． （3）解：向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， 根据解析（1）可知： ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， 根据解析（1）可知： ； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类讨论． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题15平行线中的动点问题(4大基本题型) 专题概览 题型1：动点定值问题 题型2：动点存在性问题 题型3：动点数量关系探究 题型4：动点角度计算问题 核心知识点总结 一、基础铺垫：平行线的性质与判定 1.平行线的性质与判定是解决动点问题的底层逻辑，动点运动过程中，需通过平行线的性质推导角 度、距离的关系，或通过判定定理验证平行关系。 2.核心性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。（如：若ABCD,则∠PAB =∠PCD(同位角)、∠APC=∠PCD(内错角)、∠PAB十∠PBA=I80°（同旁内角）) 3.核心判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行。 4.应用场景：动点在平行线间运动时，通过作辅助线（如过动点作平行线），将大角分解为平行线 间的角，利用性质推导角度关系。 二、核心思想：动中求静与分类讨论 1.动点问题的关键是“动中求静”—在动点的动态变化中，找到不变的量（如角度和、距离差） 或规律；同时，需根据动点的位置范围（如线段上、延长线上）进行分类讨论，避免漏解 2.动中求静：如动点P在AD、BC间运动时，∠CPD与∠u(∠ADP)、∠B(∠BCP)的和始终为 定值（如180°），需通过平行线性质证明这一规律。 3.分类讨论：动点位置不同，角度/距离关系不同。例如： (I)当P在A、B之间时，∠CPD=∠a+∠B; (2)当P在A左侧时，∠CPD=∠B-∠a; (3)当P在B右侧时，∠CPD=∠a-∠B。 三、解题技巧：辅助线与方程思想 1.辅助线法：动点问题中，作平行线是最常用的辅助线方法，通过构造“平行线间的角”，将未知 角转化为已知角。 2.方程思想：当问题涉及角度和、距离差时，可通过设未知数，利用平行线性质列方程求解。 题型归纳 【题型1】动点定值问题 题型描述：动点在平行线间或周边运动时，某一线段长度、角度或面积保持恒定（与动点位置无关）。 核心思路：通过平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）或几何定理（三角形内角 和、全等/相似)，证明该量为定值。 解题步骤： 1.设变量：设动点运动的时间为t,或运动轨迹上的坐标为(x,y)。 2. 表关系：用变量表示相关线段长度或角度。 3. 用定理：结合平行线性质或几何定理（如三角形外角等于不相邻两内角和），推导该量与变量的 关系。 4.证定值：若推导结果显示该量与变量无关（如系数为0），则为定值。 【题型2】动点存在性问题 题型描述：判断是否存在某一时刻，使得动点满足特定条件（如构成等腰三角形、平行四边形、全 等三角形等)。 核心思路：假设存在，通过几何条件（如边相等、角相等、平行四边形对边平行且相等)建立方程， 求解方程若有正实数解，则存在；否则不存在。 解题步骤： 1.假设存在：设动点运动时间为t,假设此时满足条件。 2.列条件：根据条件列出几何关系。 3.建方程：用t表示相关线段长度，代入几何关系得方程。 4. 解方程：求解方程，若>0且符合运动范围（如t<3),则存在；否则不存在。 【题型3】动点数量关系探究 题型描述：探究动点在不同位置时，线段长度、角度或面积之间的数量关系。 核心思路：通过平行线性质（如内错角相等）或代数方法（如设变量、列方程），推导数量关系。 解题步骤： 1.分情况：根据动点位置分类，避免漏解。 2. 表变量：用1表示相关线段长度。 3.找关系：结合平行线性质或几何定理（如三角形内角和），推导数量关系。 4. 验范围：验证关系是否符合动点的运动范围（如>0且仁B)。 【题型4】动点角度计算问题 题型描述：计算动点运动时，某一线段与平行线形成的角度（如∠APB、∠CPD等）。 核心思路：通过平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补)或角的和差关系（如三角形外角等于 不相邻两内角和)，推导角度。 解题步骤： 1.画辅助线：过动点作平行线的平行线（如过P作PEAB),构造内错角或同位角。 2. 用性质：利用平行线性质（如ABPE,则∠APE=∠PAB)表示角度。 3. 算和差：通过角的和差关系（如∠APB=∠APE+∠CPE)计算目标角度。 4.验范围：验证角度是否符合动点的运动范围（如0°<0<180°）。 配套练习 【题型1】动点定值问题 【典例1】三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ABC=30°，∠DFE=45°，MN∥PQ, 点A,C在直线MN上，点E,F在直线PQ上.固定三角板ABC,将三角板DEF向右平移. M M M PE 图1 图2 (I)如图2，当点B落在线段DF上时，求∠ABD的度数； (2)在三角板DEF平移过程中，连接BD,记∠ABD为a,∠BDF为B. ①如图1，当点D在直线BC左侧时，α-B的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值， 请说明理由. ②如图3，继续向右平移三角板DEF,当点B在直线DE左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理 由 【练习1】如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC,BD分别平 分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D. B (1)求∠CBD的度数. (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请 找出变化规律。 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数. 【练习2】如图，点E在CA延长线上，DE,AB交于F,且∠BDE=∠AEF,∠B=LC,LEFA比 ∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为线段PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP,FM为 ∠EFP的平分线，则下列结论：①AB∥CD;②FQ平分∠AFP;③∠B+∠E=140°；④∠E=∠B;⑤ ∠QFM的度数为定值，其中正确结论的是 (填序号) PD 【练习3】在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限， OA∥CB. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点A(6,0),B(4,3),点M是y轴上一点，且SBcM=6,求点M的坐标： (2)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，连接PB,∠PBC和∠PAB的角平分线交于点D,求证： ∠ABP+2∠ADB=180°； (3)如图3，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线BC上一点，连接PB、PQ,∠ABP和∠BOP的 平分线相交于点E,求 ∠BAP+∠BP巴的值. ∠BEQ 【题型2】动点存在性问题 【典例1】如图①，在平面直角坐标系中，Aa,0),C(b,2),且满足(a+2)2+√b-2=0,过点C作 CB⊥x轴于点B. B B B D 图① 图② 备用图 (1)求A,B,C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作BD∥AC交y轴于点D,且AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB.求∠AED的度数： (3)在y轴上是否存在点P,使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若 不存在，请说明理由. 【练习1】如图1，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为8,0)，点B在y轴正半轴上，且OB=304 4 ,连接AB,点Q4,3是线段AB上一点，连接O0. G (图1) (图2) (图3) (1)求点B的坐标； (2)如图2，点M从点A出发以每秒2个单位长度匀速向点0移动，同时点N从点O出发以每秒1个单 位长度沿y轴正方向匀速移动，设运动时间为t秒，当点M到达O点时，M,N同时停止运动.在运动 过程中，是否存在t,使△AMQ面积是△BNQ面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明 理由： (3)如图3，若∠QOA=∠QAO,点P是第二象限内一点，y轴平分LP00,点G是线段OB上一动点， 连接AG交OQ于点H,在点G运动过程中，探究∠POB,∠OHA,∠BAG之间的数量关系，并证明你 的结论。 【练习2】我们曾经探索了“三角形的内角和是180°”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了 深入的研究，她的研究过程如下： 图1 图2 图3 【图形再现】(1)请补充下述证明过程. 己知：ABC(图1)， 求证：∠BAC+LB+LC=180°， 证明：如图1，延长BA到点D, 过点A作BC的平行线AE :∠DAE=∠B(）· ·∠CAE= =180°. 【图形探究】(2)如图2，在ABC中，∠BAC的角平分线AD与∠ACB的角平分线CP交于点P,过 点A作AE∥BC,M在射线AE上，且LACM=LAMC,MC的延长线与AP的延长线交于点D. ①∠1与∠2是否互余，请说明理由； ②探究∠ABC与∠D的数量关系. 【图形思考】(3)如图3，在ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，过点A作EF∥BC,直线MN与 EF相交于A点右侧的点P,∠APN=120°，ABC绕着点A以每秒18°的速度沿顺时针方向旋转一周停 止运动，同时，MW绕着点P以每秒12°的速度沿顺时针方向旋转，当与EF重合时MN以原速返回，当 ABC停止运动时，MN也随之停止运动.设ABC运动的时间为t秒，在旋转过程中，是否存在 MN∥BC,若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由 【练习3】在平面内，对于∠M和∠N,给出如下定义：若存在一个常数t>0),使得 ∠M+tLN=180°，则称∠N是∠M的“t系数补角”.例如，∠M=100°，∠N=40°，有 ∠M+2∠N=180°，则∠N是∠M的“2系数补角”. B D 图1 备用图 【概念理解】 (1)若∠M=60°，在∠1=60°，∠2=40°，∠3=30°中，∠M的“3系数补角”是 【初步认识】 (2)如图1，在平面内，AB∥CD,点H为直线AB上异于A,B的点，点G为平面内一点，过点G的 直线交AB于点E,交CD于点F,连接GH,LDFG=I00°，若∠AHG是LFGH的3系数补角”，求 ∠FGH的大小； 【问题解决】 (3)如图2，在平面内，AB∥CD,点E,F分别为直线AB,CD上的点，连接EF,若G为直线 AB与CD之间的一动点（点G不在直线AB,CD,EF上），LEFG与LFEG两个角的平分线交于点 M,若∠AEG∠AEG=m°，∠CFG=n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，求∠N的大小（用含m和的 代数式表示)· 【题型3】动点数量关系探究 【典例1】【问题背景】如图1，已知直线EF与直线AB交于点E,与直线CD交于点F,EM平分 ∠AEF交直线CD于点M,且∠FEM=∠FME. A B NB E B CM F D CM FHG D CM D 图1 图2 备用图 (I)请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点 H,过点H作HN∥EM交直线AB于点N,设LEHN=a,∠EGF=B. ①如图2，当点G在点F的右侧，且=50°时，求B的值； ②当点G在运动过程中，直接写出α与B之间的数量关系. 【练习I】如图，直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个 部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA,PB,构成∠PAC, ∠APB,∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角） ③A ③A ③A ② P① ① ② ① ② D B④ B ④ B④ D 图1 图2 图3 (I)当动点P落在第①部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足怎样的数量关系？并加以证明： (2)当动点P落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出∠APB、∠PAC、∠PBD之间 又满足怎样的数量关系？并加以证明： (3)当动点P落在第③部分时，∠PAC,∠APB,∠PBD之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论， 【练习2】如图1，直线EF与直线AB,CD分别交于点E、F,EM平分∠AEF交CD于点M,且 ∠FEM=∠FME. B CM F HG 图1 图2 (1)求证：AB∥CD; (2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H,HN⊥EM于 点N,设LEHN=a,LEGF=B. ①当点G在点F的右侧时，若B=70°，求a的大小： ②点G在整个运动过程中，直接写出和B之间的数量关系 【练习3】己知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED=∠ABE+LEDC, 备用图 备用图 备用图 (I)如图1，求证：AB∥CD; (2)如图2，若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°，求证：∠FDE=2LCDF; (3)若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD交ED所在直线于点I,请在下图中画出 图形，并直接写出对应的∠BID与∠BHD的数量关系， 【题型4】动点角度计算问题 【典例1】一副三角尺按如图所示（共顶点A)的方式叠放在一起.若固定三角尺ABC,三角尺ADE绕 点A旋转一周，则当∠BAD的度数为 时，DE∥AB. B D 【练习1】如图1，已知两条直线AB,CD被直线EF所截，分别交于点E,点F,EM平分∠AEF交 CD于点M,且∠FEM=∠FME. A -B CM F H GD 图1 图2 (I)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由： (2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M,F重合），EH平分∠FEG交CD于点H,过点H作 HN⊥EM于点N,设∠EHN=a,∠EGF=B. ①当点G在点F的右侧时，若α=35°，求B的度数； ②当点G在运动过程中，和B之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。 【练习2】如图1，直线MW上点P位于点Q的左侧，点A,B位于MN的上方，点C,D位于MN的下 方，在点A,B,C,D位置变化的过程中始终保持∠CPD=∠AQB=45°. N M- 图1 图2 备用图 (I)∠AQB和LCPD是否可能为对顶角 (填“是”或“否”)； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当PC∥BQ时，请在图2中补全图形，试判断AQ与PD的 位置关系，并说明理由： (3)若点A在点B左侧，当PC∥AQ时，若设∠DPQ=a,∠BQN=B,直接写出a与B之间的数量关系. 【练习3】平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们 理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移 的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，AB∥CD ,张华将一个含45°角的直角三角尺PMW按如图1所示的方式放置，点M,N分别在直线AB,CD上， ∠MPN=90°，∠PMN=∠PNM=45°，∠PNC= d M(G) M(G) 4 -K N() 图1 图2 图3 备用图 (1)①如图1，直接写出∠PMA+∠PNC= ②如图1，若2∠PMA+∠MND=135°，求a的大小： (2)如图2所示，李明将一个含30°，60°角的直角三角形EFG的顶点G与点M重合，点E落在直线CD 上，顶点G固定不动，将点E在直线CD上向左平移，同时始终保持直角三角形EFG形状不变，即30 ,60°，90°保持不变，直角三角尺PMN固定不动，且45°<a<75°，当点E运动到点N重合时停止（如 图3所示)，问在运动过程中，三角形EFG的一边与三角尺PMN的一边平行时，请直接写出∠BGF的 大小（用a的代数式表示）；