专题13 一次函数与二元一次方程组综合（5大基本题型） 期末专项复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架系统梳理二元一次方程与一次函数的相互转化性、解与点的对应性等核心关系，用对比表格呈现两直线位置与方程组解的关系（相交、平行、重合），构建“概念-关系-应用”的递进知识脉络。 亮点在于“题型-思路-步骤”的分层设计，如题型3“求直线围成图形的面积”通过“求交点坐标-割补法转化”培养几何直观与运算能力，题型4结合行程问题、方案选择案例发展模型意识。典例与梯度练习帮助不同学生掌握方法，支持教师实施精准复习教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题13 一次函数与二元一次方程组综合（5大基本题型） 题型1：两直线交点与方程组解的关系 题型2：图象法解二元一次方程组 题型3：求直线围成图形的面积 题型4：实际应用问题 题型5：利用方程组确定函数表达式 一、二元一次方程与一次函数的基本关系 1. 相互转化性：任意一个二元一次方程都可以通过变量分离转化为一次函数的形式y＝kx＋b（k≠0）；反之，任意一个一次函数都可以通过移项转化为二元一次方程。 2. 解与点的对应性 (1) 二元一次方程的所有解对应一次函数图象上的所有点（以方程解为坐标的点均在函数图象上）； (2) 一次函数图象上的任意一点的坐标均满足对应的二元一次方程（是方程的一组解）。 3. 图象的一致性：以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图形，与对应的一次函数图象完全重合（均为一条直线）。 二、二元一次方程组与一次函数图象的关系 1. 解与交点的对应性：二元一次方程组的解对应其两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标是对应二元一次方程组的解。 2. 图象位置与解的关系 (1) 若两直线相交（有唯一交点），则对应方程组有唯一解； (2) 若两直线平行（无交点，k1＝k2且b1≠b2），则对应方程组无解； (3) 若两直线重合（无数交点，k1＝k2且b1＝b2），则对应方程组有无数解。 3. 图象法解方程组的步骤 (1) 将方程组中的两个二元一次方程转化为一次函数形式（y＝kx＋b）； (2) 在同一坐标系中画出两个函数的图象； (3) 两图象的交点坐标即为方程组的解。 三、实际问题中的应用（数形结合思想） 解决实际问题的核心逻辑：通过建立一次函数模型，将实际问题中的“数量关系”转化为“函数图象”，利用图象的交点或位置关系解决实际问题（如方案选择、费用比较等）。 应用步骤 1. 建模：根据实际问题中的数量关系，设变量并建立一次函数； 2. 画图：在同一坐标系中画出函数图象； 3. 分析：通过图象的交点、截距、斜率等信息，解决实际问题（如最优方案、费用最小值等）。 【题型1】两直线交点与方程组解的关系 核心题型描述：通过两直线的交点坐标求解对应的二元一次方程组，或根据二元一次方程组的解确定两直线的交点坐标。 核心解题思路：两直线的交点坐标唯一对应其对应的二元一次方程组的解（交点的横坐标为x的值，纵坐标为y的值）；反之，二元一次方程组的解唯一对应两直线的交点坐标。 基本解题步骤： 1. 识别对应关系：将二元一次方程组中的每个方程转化为一次函数形式。 2. 求交点坐标： (1) 图象法：画出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解（需注意作图准确性，避免误差）； (2) 代数法：解方程组（如用代入消元或加减消元），得到的解即为交点坐标（更精准，期末复习重点）。 【题型2】图象法解二元一次方程组 核心题型描述：通过绘制二元一次方程组对应的一次函数图象，从图象交点中读取方程组的解（期末常考“数形结合”的实际应用）。 核心解题思路：将二元一次方程转化为一次函数图象，利用“图象交点即方程组解”的关系，通过图象直观求解。 基本解题步骤： 1. 方程变形：将方程组中的每个二元一次方程化为斜截式（y＝kx＋b（k≠0）），明确斜率k和截距b。 2. 绘制图象：在同一坐标系中绘制两直线的图象（需标注坐标轴、截距、关键点）。 3. 读取解：两直线交点的坐标(x,y)即为方程组的解（若图象交点不清晰，需用代数法验证）。 【题型3】求直线围成图形的面积 核心题型描述：已知两直线（或三直线）的解析式，求它们围成的三角形、四边形等图形的面积。 核心解题思路： 1. 确定交点坐标：求出围成图形的顶点坐标（即两直线的交点）； 2. 选择面积方法：通过割补法将不规则图形转化为规则图形（如三角形、矩形），利用坐标计算面积（常用“底×高÷2”“坐标公式”等）。 基本解题步骤： 1. 求交点坐标：解两直线方程组，得到围成图形的顶点坐标。 2. 确定图形形状：根据交点数量判断图形（如两直线与x轴围成三角形，三直线围成四边形）。 3. 计算面积： (1) 三角形面积 (2) 割补法 【题型4】实际应用问题 核心题型描述：通过一次函数模型解决实际问题（如方案选择、费用计算、行程问题等），本质是用函数图象或方程组分析变量关系。 核心解题思路： 1. 建立变量关系：根据实际问题设变量； 2. 构建函数模型：将实际问题转化为一次函数； 3. 分析图象/方程组：通过函数图象的交点或方程组的解，找到最优方案。 基本解题步骤： 1. 设变量：明确自变量x和因变量y； 2. 列函数表达式：根据题目条件写出一次函数； 3. 求解交点：解两函数的方程组，得到交点坐标； 4. 分析结果：根据交点判断最优方案 【题型5】利用方程组确定函数表达式 核心题型描述：通过已知条件（如两直线交点、直线过某点）求一次函数的解析式。 核心解题思路： 1. 设函数表达式：设一次函数为y＝kx＋b（k≠0）； 2. 列方程组：根据已知条件（如过点）列出方程组 3. 解方程组：求出k和b的值，得到函数表达式。 基本解题步骤： 1. 设表达式：设一次函数为y＝kx＋b（k≠0）； 2. 找条件：根据题目中的“过点”“交点”等条件，获取坐标 3. 列方程组：将坐标代入y＝kx＋b，得到 4. 解方程组：求出k和b的值； 5. 写表达式：将k和b代入y＝kx＋b，得到函数表达式。 【题型1】两直线交点与方程组解的关系 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：B ． 【练习1】若一次函数与的图像交点坐标为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将交点坐标代入两个函数解析式，得到两个方程，相加后消去，即可求出的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图像交点坐标为， ∴，， ①②，得， 故答案为：． 【练习2】已知一次函数和的图象相交于点P，则点P的横坐标与纵坐标的积为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 联立方程和，求出交点P的坐标，然后计算横坐标与纵坐标的乘积即可． 【详解】联立方程和，得， 解得． 代入， 得， 点的坐标为． 横坐标与纵坐标的积为． 故答案为：． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空：_，_； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 【题型2】图象法解二元一次方程组 【典例1】如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：关于x，y的方程组可变形为． 由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 【练习1】如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 【练习2】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【练习3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数的交点解二元一次方程组．将点代入可求得，进而可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为， 二元一次方程组即的解为：， 故答案为：． 【题型3】求直线围成图形的面积 【典例1】如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是_． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图像的平移问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线l的解析式为； （2）解：∵直线与直线l平行， ∴可设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积是． 【练习1】如图，直线与x轴交于点、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质等知识． （1）先求出直线解析式为，得到点B坐标为，根据三角形面积公式即可求解； （2）设点M坐标为，当点M位于射线上时，根据得到，即可得到，求出，得到点M坐标为；当点M位于射线上时，根据得到即可得到，求出，得到点M坐标为． 【详解】（1）解：设直线解析式为， ∵点，都在直线上， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴当时，， ∴点B坐标为． ∴； （2）解：∵点M在直线上， ∴设点M坐标为， 如图1，当点M位于射线上时， ∵ ∴ ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为； 如图2，当点M位于射线上时， ∵ ∴ ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为． 综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或． 【练习2】如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式； (2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； (3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求直线的解析式：先将交点的纵坐标代入的表达式，求出的横坐标，得到的完整坐标；再结合上的点，用待定系数法设出的表达式，代入两个点的坐标列方程组，求解得到的函数式． （2）求的值：先根据“垂直于轴”可知的纵坐标与的纵坐标相等，分别将代入、的表达式，求出的横坐标；再用横坐标的差的绝对值表示的长度，结合的长度（由、与轴的交点坐标差得到），根据“”列方程，求解得到的值． （3）求点的坐标：先求出的面积（以为底，的纵坐标为高），再根据“的面积是其倍”得到的面积；设出的坐标（利用的表达式用横坐标表示纵坐标），以为底，的纵坐标与的纵坐标的差的绝对值为高，列面积方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得 ． ∴点的坐标为 设直线函数表达式为 将点、代入中，得 解得 ∴直线函数表达式为． （2）解：如图所示： 中，当时， ∴点的坐标为 在直线中，当时， ∴点A的坐标为 ∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为 ∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∴ ∵ ∴ 解得，或． （3）解：令的得， ∴， ， 故面积为． 设，， ，得， 即，对应或． 【点睛】本题考查一次函数解析式、线段长度与面积的坐标运算，涉及知识点：待定系数法求函数、坐标表示线段长、三角形面积公式．解题方法是代入点求解析式，用坐标差表示线段长列方程，通过面积关系确定点坐标；解题关键是准确转化几何量为坐标运算，易错点是坐标与线段的对应关系． 【练习3】如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的解析式及的面积； (2)点是轴上一点，且满足，求点的坐标； (3)若是轴一动点，且满足，则点的坐标是___________； (4)将直线沿对称后的直线解析式是___________． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)或 (3) (4) 【分析】（）利用待定系数法可求出直线的解析式，再根据求出的面积即可； （）设，则，根据题意列出方程解答即可求解； （）过点作，交轴于点，则有，    求出直线的解析式，进而求出直线的解析式即可求解； （）作直线关于的对称线，直线交轴于点，过点作轴交直线于点，先证明，得到，再证明，得到，即得，进而利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，一次函数的平移等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入 ，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作，交轴于点，则有， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （4）解：如图，作直线关于的对称线，直线交轴于点，过点作轴交直线于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴， 把代入直线的解析式为，得， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【题型4】实际应用问题 【典例1】甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．甲、乙两人之间的路程与甲行走的时间的函数图象，如图所示． (1)甲步行的速度为______，之间的路程为______m； (2)分别求出线段、所表示的与之间的函数表达式； (3)甲出发______，甲乙两人之间的路程为． 【答案】(1)60；3960 (2)线段的解析式为：；线段的解析式为： (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）待定系数法求出、段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得： ， 解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； （2）解：设线段的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的解析式为：； 由图象可知：点的纵坐标为， ∴， 设线段的解析式为：，把，代入，得： ， 解得：， ∴线段的解析式为：； （3）解：当时，令， 解得：； 当时，， 解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 【练习1】“低碳出行，绿色环保”已深入人心．周六，小明和爷爷分别从一条笔直的公路上的A，B两地同时出发，相向而行，小明骑自行车从A地匀速前往B地；爷爷骑电动车从B地匀速前往A地，行驶了一段时间后停留了，接着继续以原速度前往A地，到达A 地停留了后按原路匀速返回B地，结果比小明晚到．小明和爷爷与A地的距离）与小明出发后经过的时间x（min）之间的函数图象如图所示． (1)A，B两地之间的距离为_，小明的速度为_； (2)求爷爷返回时 与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)请直接写出小明出发后多长时间和爷爷相距． 【答案】(1)9600；300 (2) (3)或 或 【分析】本题考查一次函数的实际应用行程问题，解题的关键是结合函数图象提取关键点坐标，利用路程、速度、时间的关系和待定系数法求解函数解析式与未知量． （1）从图象提取爷爷行程的关键点，用“路程速度时间”计算爷爷的速度，进而得A、B距离；再用“速度路程时间”求小明的速度． （2）确定爷爷返回时的函数图象线段，取两点坐标，用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （3）分“相遇前、相遇后小明未到A地、小明到B地后”三种情况，根据“路程和（差）总距离”列方程求解时间． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴爷爷的速度为， ∴A，B两地的距离为， 小明的速度为． 故答案为：9600；300； （2）解：由题意可得爷爷返回时，关于x的函数图象为线段 ，，． 设爷爷返回时与x之间的函数解析式为， 则 解得， ∴． （3）解：①在爷爷、小明相遇前相距，则 ， ∴． ②在爷爷、小明相遇后且乙未到达A地时，二者相距，则， ∴． ③小明到达B地后，爷爷、小明相距， 则，解得． 综上所述：小明出发后和爷爷相距的时间为或或． 【练习2】小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（   ） A．是的一次函数 B．当拉力时，物体的重力 C．拉力随着物体重力的增加而增大 D．当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图象等知识点，由函数图象直接可以判断选项，设拉力与重力的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式，把时，代入函数解析式求值即可判断选项，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，是的一次函数，原选项正确，不符合题意； 、设拉力与重力的函数解析式为， ∴，解得， ∴拉力与重力的函数解析式为， 当拉力时，，物体的重力，原选项不正确，符合题意； 、拉力随着物体重力的增加而增大，原选项正确，不符合题意； 、当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【练习3】如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则函数过点 【答案】B 【分析】由E到F时间未知，所以无法表示，所以不能确定与的大小关系，即可判断A错误； 先确定点的纵坐标，再根据，求出点的横坐标，由此得出到需要的时间，从而可求得与比较，即可判断B； 由于不知道到需要的时间，所以不能确定到需要的时间，也就不能确定的位置，所以不一定成立，可判断C错误； 根据，可求得点的坐标，再根据面积关系求得点的坐标，就可判断D． 【详解】解：设动点P沿图1的边线运动速度为， 因为段面积增大，段面积不变，段又增大，到P时最大，段面积又不变，段面积减小， 所以J对应点G，K对应点C，M对应点D，P对应点E，Q对应点F，N对应点H， 由函数图象可知：经历了，经历了，经历了，经历时间未知，经历时间未知，但经历了， 所以函数图象可知，G到C需要，C到D要，D到E要，E到H要， 所以（），（），（），（）， 因为点G是的中点， 所以（）， 因为时间为时，相应的的面积y（）为， 所以，解得：， 所以（）， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以， 设直线的表达式为， 所以， 解得：， 所以直线的表达式为， 因为速度不变， 所以可用平移得到， 设的解析式为， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 当时，， 所以， 作点关于轴的对称点， 则， 连接， 设的解析式为， 由于，， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 因为速度不变， 所以直线可以由直线平移得到， 设直线的解析式为， 当时， ， 此时， 所以， 解得：， 所以直线的解析式为， 当时，， 解得：， 所以此时， 所以到需（）， 所以， 又， 所以此时， 故B正确； 由于不知道到需要的时间， 所以不能确定到需要的时间， 也就不能确定的位置， 所以不一定成立， 故C错误； 若，则， 所以经历了（）， 所以， 所以， 所以H处，， 所以， 故D错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，动点问题的函数图象，一次函数图象平移问题，求一次函数解析式，其他问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型5】利用方程组确定函数表达式 【典例1】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 先根据点，，求出一次函数的解析式为，再逐一验证各选项的正误即可． 【详解】解：∵图象经过点，， ∴分别代入得：， 解得：， ∴一次函数为． 对于A：当时，， ∴图象经过点(0，1)，正确． 对于B：∵， ∴y随x增大而减小，正确． 对于C：与的k值相同，且可由向下平移2个单位得到，正确． 对于D：当时，， ∴图象不经过第三象限，错误． 故选D． 【练习1】已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 【详解】解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 【练习2】已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）设一次函数的表达式为，根据“当时，；当时”计算即可； （2）把代入一次函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 因为当时，；当时， 代入得， 解得，， 所以； （2）解：把代入得： ． 【练习3】如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，见解析 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． ∴存在，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题13 一次函数与二元一次方程组综合（5大基本题型） 题型1：两直线交点与方程组解的关系 题型2：图象法解二元一次方程组 题型3：求直线围成图形的面积 题型4：实际应用问题 题型5：利用方程组确定函数表达式 一、二元一次方程与一次函数的基本关系 1. 相互转化性：任意一个二元一次方程都可以通过变量分离转化为一次函数的形式y＝kx＋b（k≠0）；反之，任意一个一次函数都可以通过移项转化为二元一次方程。 2. 解与点的对应性 (1) 二元一次方程的所有解对应一次函数图象上的所有点（以方程解为坐标的点均在函数图象上）； (2) 一次函数图象上的任意一点的坐标均满足对应的二元一次方程（是方程的一组解）。 3. 图象的一致性：以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图形，与对应的一次函数图象完全重合（均为一条直线）。 二、二元一次方程组与一次函数图象的关系 1. 解与交点的对应性：二元一次方程组的解对应其两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标是对应二元一次方程组的解。 2. 图象位置与解的关系 (1) 若两直线相交（有唯一交点），则对应方程组有唯一解； (2) 若两直线平行（无交点，k1＝k2且b1≠b2），则对应方程组无解； (3) 若两直线重合（无数交点，k1＝k2且b1＝b2），则对应方程组有无数解。 3. 图象法解方程组的步骤 (1) 将方程组中的两个二元一次方程转化为一次函数形式（y＝kx＋b）； (2) 在同一坐标系中画出两个函数的图象； (3) 两图象的交点坐标即为方程组的解。 三、实际问题中的应用（数形结合思想） 解决实际问题的核心逻辑：通过建立一次函数模型，将实际问题中的“数量关系”转化为“函数图象”，利用图象的交点或位置关系解决实际问题（如方案选择、费用比较等）。 应用步骤 1. 建模：根据实际问题中的数量关系，设变量并建立一次函数； 2. 画图：在同一坐标系中画出函数图象； 3. 分析：通过图象的交点、截距、斜率等信息，解决实际问题（如最优方案、费用最小值等）。 【题型1】两直线交点与方程组解的关系 核心题型描述：通过两直线的交点坐标求解对应的二元一次方程组，或根据二元一次方程组的解确定两直线的交点坐标。 核心解题思路：两直线的交点坐标唯一对应其对应的二元一次方程组的解（交点的横坐标为x的值，纵坐标为y的值）；反之，二元一次方程组的解唯一对应两直线的交点坐标。 基本解题步骤： 1. 识别对应关系：将二元一次方程组中的每个方程转化为一次函数形式。 2. 求交点坐标： (1) 图象法：画出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解（需注意作图准确性，避免误差）； (2) 代数法：解方程组（如用代入消元或加减消元），得到的解即为交点坐标（更精准，期末复习重点）。 【题型2】图象法解二元一次方程组 核心题型描述：通过绘制二元一次方程组对应的一次函数图象，从图象交点中读取方程组的解（期末常考“数形结合”的实际应用）。 核心解题思路：将二元一次方程转化为一次函数图象，利用“图象交点即方程组解”的关系，通过图象直观求解。 基本解题步骤： 1. 方程变形：将方程组中的每个二元一次方程化为斜截式（y＝kx＋b（k≠0）），明确斜率k和截距b。 2. 绘制图象：在同一坐标系中绘制两直线的图象（需标注坐标轴、截距、关键点）。 3. 读取解：两直线交点的坐标(x,y)即为方程组的解（若图象交点不清晰，需用代数法验证）。 【题型3】求直线围成图形的面积 核心题型描述：已知两直线（或三直线）的解析式，求它们围成的三角形、四边形等图形的面积。 核心解题思路： 1. 确定交点坐标：求出围成图形的顶点坐标（即两直线的交点）； 2. 选择面积方法：通过割补法将不规则图形转化为规则图形（如三角形、矩形），利用坐标计算面积（常用“底×高÷2”“坐标公式”等）。 基本解题步骤： 1. 求交点坐标：解两直线方程组，得到围成图形的顶点坐标。 2. 确定图形形状：根据交点数量判断图形（如两直线与x轴围成三角形，三直线围成四边形）。 3. 计算面积： (1) 三角形面积 (2) 割补法 【题型4】实际应用问题 核心题型描述：通过一次函数模型解决实际问题（如方案选择、费用计算、行程问题等），本质是用函数图象或方程组分析变量关系。 核心解题思路： 1. 建立变量关系：根据实际问题设变量； 2. 构建函数模型：将实际问题转化为一次函数； 3. 分析图象/方程组：通过函数图象的交点或方程组的解，找到最优方案。 基本解题步骤： 1. 设变量：明确自变量x和因变量y； 2. 列函数表达式：根据题目条件写出一次函数； 3. 求解交点：解两函数的方程组，得到交点坐标； 4. 分析结果：根据交点判断最优方案 【题型5】利用方程组确定函数表达式 核心题型描述：通过已知条件（如两直线交点、直线过某点）求一次函数的解析式。 核心解题思路： 1. 设函数表达式：设一次函数为y＝kx＋b（k≠0）； 2. 列方程组：根据已知条件（如过点）列出方程组 3. 解方程组：求出k和b的值，得到函数表达式。 基本解题步骤： 1. 设表达式：设一次函数为y＝kx＋b（k≠0）； 2. 找条件：根据题目中的“过点”“交点”等条件，获取坐标 3. 列方程组：将坐标代入y＝kx＋b，得到 4. 解方程组：求出k和b的值； 5. 写表达式：将k和b代入y＝kx＋b，得到函数表达式。 【题型1】两直线交点与方程组解的关系 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【练习1】若一次函数与的图像交点坐标为，则______． 【练习2】已知一次函数和的图象相交于点P，则点P的横坐标与纵坐标的积为 ______． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空：_，_； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2】图象法解二元一次方程组 【典例1】如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【练习1】如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【练习2】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【练习3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是________． 【题型3】求直线围成图形的面积 【典例1】如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是_． 【练习1】如图，直线与x轴交于点、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【练习2】如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式； (2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； (3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【练习3】如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的解析式及的面积； (2)点是轴上一点，且满足，求点的坐标； (3)若是轴一动点，且满足，则点的坐标是___________； (4)将直线沿对称后的直线解析式是___________． 【题型4】实际应用问题 【典例1】甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．甲、乙两人之间的路程与甲行走的时间的函数图象，如图所示． (1)甲步行的速度为______，之间的路程为______m； (2)分别求出线段、所表示的与之间的函数表达式； (3)甲出发______，甲乙两人之间的路程为． 【练习1】“低碳出行，绿色环保”已深入人心．周六，小明和爷爷分别从一条笔直的公路上的A，B两地同时出发，相向而行，小明骑自行车从A地匀速前往B地；爷爷骑电动车从B地匀速前往A地，行驶了一段时间后停留了，接着继续以原速度前往A地，到达A 地停留了后按原路匀速返回B地，结果比小明晚到．小明和爷爷与A地的距离）与小明出发后经过的时间x（min）之间的函数图象如图所示． (1)A，B两地之间的距离为_，小明的速度为_； (2)求爷爷返回时 与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)请直接写出小明出发后多长时间和爷爷相距． 【练习2】小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（   ） A．是的一次函数 B．当拉力时，物体的重力 C．拉力随着物体重力的增加而增大 D．当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 【练习3】如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则函数过点 【题型5】利用方程组确定函数表达式 【典例1】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【练习1】已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【练习2】已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【练习3】如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $