精品解析：重庆市长寿川维中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度九年级上期第三次学情调研 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：有理数的相反数是， 故选：D． 2. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的区别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 估计的值应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即在9到10之间， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 已知点与点关于原点O对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4051 D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握“关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别互为相反数”是解题关键． 根据题意可得， 的值，计算的值即可． 【分析】解： 点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 5. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 6. 在同一坐标系中一次函数和二次函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断出一次函数解析式中a、b的符号，根据二次函数图象的开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数图象开口向下，则 ，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第二、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴右侧，则 ，，即，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴右侧，则，，即 ，二者一致，符合题意； D、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正 边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正 边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选： ． 8. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至 ，连接，则的长度是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接 ，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求 的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接 ，交于H， ∵在正方形中，，E是 的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息：① ；②；③；④，你认为其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象与轴的交点情况，由抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置可判断出、、 的符号，且能确定和的关系，可判断①、②；由对称轴及的函数值，可判断③；根据抛物线与轴的交点情况可判断④．由二次函数图象确定、、 的符号及系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，且与轴的交点位于轴的上方， ∴ ，， ∵对称轴为， ∴， ∴ ，， ∴ ，故①正确，②错误； ∵当时，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ ∴，故③正确； 由图知：抛物线与轴有两个交点， ∴ ， 即，故④正确， ∴正确的个数有个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点确定，抛物线与x轴的交点情况．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数），对n的可能取值进行分类讨论，分别计算不同n值下满足条件的整式M的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】∵， 为自然数，为正整数，为自然数， ∴． 当 时： ， 得， ∵， ∴，，整式为． 当时：， 得， ∵， ∴ 时，，整式； 时，，整式有、、． 当 时：， 得， ∵， ∴ 时，，整式； 时，，整式、； 时，，整式、、． 当时：， 得， ∵， ∴时， ，整式； 时， ，整式； 时，，整式； 时，，整式 ． 当 时：， 得，整式． ∴总整式个数为． 单项式（仅一项）有：、、、、（共5个）． 各 对应整式个数： 有1个，有4个， 有6个，有4个， 有1个，无恰好3个的情况． ①单项式有5个，非4个，错误； ②不存在 使整式恰好有3个，正确； ③总整式有16个，非15个，错误． ∴正确个数为1． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】抛物线方程为， 此为顶点形式 ，其中 ，， 故顶点坐标为． 故答案为． 12. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据简单的概率计算公式计算即可． 【详解】解：随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故填：． 13. 若是方程的根，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据一元二次方程的解的定义，将 a 代入方程得到关系式，再通过代数式变形求值． 【详解】解： a是方程 的根， ，即， ， ． 故答案为： ． 14. 半径为2的扇形 的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知 ，则阴影部分的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且 ， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以 为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 15. 如果关于的不等式组有解，且关于的二次函数的图象与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为______． 【答案】8 【解析】 【分析】分别根据不等式组有解，二次函数与轴有交点确定的取值范围，然后得出所有的整数，求和即可． 【详解】解：由不等式，解得：， 由不等式，解得：， 又∵该不等式组有解， ∴ ∴解得：， ∵关于的二次函数的图象与轴有交点， ∴判别式，且 ， 解得：且 ， 综上所述：且 ， ∴整数， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式组的解集及二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握解不等式组的步骤以及一元二次方程根的判别式的 意义是解题的关键． 16. 对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是____，， 均为“勤思数”，，（，，且，， ， ，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为___． 【答案】 ①. 1936 ②. 5453 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用、解二元一次方程组、分式的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用枚举法是解此题的关键． 对于第一部分，根据“勤思数”的定义和数字和条件，列方程求解得到四位数；对于第二部分，根据“勤思数”的定义和给定条件，推导出参数关系，通过枚举可能值并验证条件，得到唯一的值，求和即可． 【详解】解：第一部分：根据“勤思数”定义，有，即， 数字和，即， 联立，解得：，， 故四位数为1936． 第二部分：， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为4，个位数字为． 根据“勤思数”定义，有，， 数字和， ． ， ． 当时，，舍去； 当 时，，舍去； 当 时，，舍去； 当 时，，舍去； 当时，，舍去； 当 时， ，符合题意； 当 时，，舍去； 当 时，，舍去； 当 时，，舍去； 当时， ， 此时，则，不符合实际； 只有当 ， 时，符合题意． ． ． 为整数，， ，解得 ． ， ． ． 只有这一种情况符合题意， 故答案为：1936，5453． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元二次方程，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解． 18. 在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：所作如图所示： ∴由坐标系可知； 【小问2详解】 解：所作如图所示，． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以 为半径作，与交于两点和； ③作直线 ，直线，则直线 和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证： ，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又 点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线） 在和 中， （ ）（填推理的依据）， ． 【答案】（1）见解析； （2），垂直， 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：（1）如图所示： 、即为所求． 【小问2详解】 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又 点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和 中， ， ． 故答案为：，垂直，． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 _____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩， 出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是 和 ， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 【小问3详解】 解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 21. 下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】（1） （2）可以安全通过此桥 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线型桥洞问题），解题的关键是根据已知条件确定抛物线的顶点与交点坐标，进而求出表达式，再结合实际场景分析船的通行情况． （1）根据桥洞的跨度、拱高确定抛物线的顶点与交点坐标，设出抛物线表达式并代入求解； （2）先确定船对应的水平位置，代入抛物线表达式求出桥洞此处的高度，再结合船的高度判断能否安全通过． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线． 拱顶的坐标为，为抛物线的顶点． 设抛物线解析式为： ． 经过点， 解得． 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 如图，观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点． 根据吃水深度可知在起拱线下方 处． ， 点的横坐标为：． 当时，， 即点到水面的高度为 ． 船顶到船底的距离为，吃水深度为 ， 观赏船在水面上方的高度为 ， ， 观赏船可以安全通过此桥． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 【答案】（1） （2）图象见详解；当 时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出动点运动的总时间为6秒，分 和两种情况，根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象当 时，代入关系式即可求出交点的横坐标t，若使点P，Q两点距离小于5个单位长，结合图象取 下方的图象所对应的t 的范围． 【小问1详解】 解： 四边形为矩形，， ， 根据题意可得，运动的总时间为 秒， 动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度同时出发， ， ， 又， 是等边三角形， 当 时，， ， ； 当时，， ， ， 综上所述：； 【小问2详解】 函数图象如图所示， 根据图象可得，当 时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大； 【小问3详解】 当 时，或， 解得或， 由上图可知，当时， 当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t的范围． 【点睛】本题考查了矩形的性质、一次函数的图象和性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质及一次函数的图像与性质． 23. 某大型品牌书城购买了A，B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A，B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本24元，B书籍的售价为每本36元时平均每天可卖出50本A书籍，20本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低1元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为700元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）A书籍的进价为16元，B书籍的进价为24元 （2）30元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（A书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（B书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【小问1详解】 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． 【小问2详解】 解：设每本书籍的售价为元， 则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， ， 解得 或， 要促进书籍的销量， ， 答：每本书籍的售价为30元． 24. 如图，在 中， ， 为 的外接圆， ， 为 的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为 的切线； （2）求证：； （3）若， ，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∴ 即 ， ∵是 的半径， ∴为 的切线； （2） 证明：延长交于点，连接， ∵ ， ， ∴垂直平分， ∴ ，， ∵为的切线， ∴ ， ∵为的直径， ∴， ∴四边形 为矩形， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到 ，结合 ，推出 ，再根据 为 的直径，得到 ，进而得到 即 ，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形 为矩形，即可得证； （2）由（2）可知 ，勾股定理求出的长，设的半径为 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知四边形 为矩形， ，， ∴ ， ∴， 设 的半径为 ，则： ， 在 中，由勾股定理，得：， 解得：； 即： 的半径为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作 轴交直线于点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，连接 ，，当 取得最大值时，求点的坐标及 周长的最小值； （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为直线，连接 ，点是线段 上一动点（不含端点），连接 ，将 沿 所在直线翻折至抛物线所在的平面内，得，直线 交新抛物线于点，当直线 与直线所成夹角为时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或，求解过程如下： 解：根据题意，得 ， 得，顶点的坐标为， 根据抛物线沿着直线 平移， 设顶点移动的直线解析式为 ， 故 ， 解得 ， ∴顶点移动的直线解析式为， 由新抛物线的对称轴为直线， 故向右平移个单位长度， ∵ ， ∴该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为， 故， 根据题意，新抛物线的顶点坐标为， 当，时， ， ∵ ， ∴， 设直线 的解析式为， 将，代入直线 的解析式得： ， 解得， ∴直线 的解析式为： ． 过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交 于点Q， 根据题意，得， ， 解得， ∴， ∴ ， 在直线 上截取 ， 则， ∴四边形是平行四边形， 又 ， ∴四边形是菱形， ∴，且互相平分， 故是关于直线 的对称点， 故此时即为所求的点M； 如图，过点作 于点T，延长 到点，使得 ， 根据题意，得 ， 根据题意，得， 连接，作，交 于点Q， 根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ， 延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H， ∴ ， 在 和 中， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ∵在 和 中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为： ，设，则，则 ，得到，当， 最大，确定了；，，过点D作y轴的对称点，此时，连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为，此时，故此时 的周长最小，最小为． （3）根据题意，判定该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，故平移后抛物线的解析式为，根据题意，新抛物线的顶点坐标为，确定直线 的解析式为 ．过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交 于点Q，确定， ，在直线 上截取 ，得到四边形是菱形，解答即可．过点作 于点T，延长 到点，使得 ，根据题意，得 ，，连接，作，交 于点Q，根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线，延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H，根据等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解答即可． 【小问1详解】 解： 抛物线 与直线交于，两点，与轴交于点． 解得 抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式为 ， 得， 设直线的解析式为 ， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为： ． 设， 由 轴交于点，则， ∴ ， 设直线与y轴的交点为点G， ∵直线的解析式为 ，则， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故， ∵ ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当， 最大， ∴； ∴，， 过点D作y轴的对称点，此时， 连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为， 此时， 故此时 的周长最小，最小为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上期第三次学情调研 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 4. 已知点与点关于原点O对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4051 D. 5. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中一次函数和二次函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 8. 如图，在正方形中， ， 是的中点，将 沿翻折至 ，连接，则的长度是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息：① ；②；③；④，你认为其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标为_______． 12. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 13. 若是方程的根，则式子的值为______． 14. 半径为2的扇形 的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知 ，则阴影部分的面积为_____． 15. 如果关于的不等式组有解，且关于的二次函数的图象与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为______． 16. 对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是____，， 均为“勤思数”，，（，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为___． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图， 及 外一点．求作： 的过点的两条切线． 作法：①连接 ，作线段 的垂直平分线，交 于点； ②以为圆心，以 为半径作，与 交于两点和 ； ③作直线，直线，则直线和直线是 的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是 的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点， 在 上， ，是 的半径，且， ，是 的切线．（经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线） 在和 中， （ ）（填推理的依据）， ． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在 组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 21. 下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 23. 某大型品牌书城购买了A，B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A，B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本24元，B书籍的售价为每本36元时平均每天可卖出50本A书籍，20本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低1元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为700元，则每本B书籍的售价为多少元？ 24. 如图，在 中， ，为 的外接圆， ，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若， ，求的半径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作 轴交直线于点，过点作交轴于点 ，点为轴上一动点，连接 ，，当 取得最大值时，求点的坐标及 周长的最小值； （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为直线，连接，点是线段上一动点（不含端点），连接 ，将 沿 所在直线翻折至抛物线所在的平面内，得，直线 交新抛物线于点，当直线 与直线所成夹角为时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $