专题03 全等三角形热考几何模型（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理全等三角形五大热考几何模型，结合模型归纳与图示构建知识脉络，明确手拉手、倍长中线等模型的结构特征、复习目标及考情规律，突出高频考点与难点的内在联系。 讲义亮点在于“模型-典例-变式”递进式练习设计，如手拉手模型通过旋转构造全等证明线段关系，截长补短法解决线段和差问题，培养几何直观与推理意识。分层练习题兼顾基础与拓展，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题03 全等三角形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 手拉手模型 能识别手拉手模型的结构，能运用该模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解决相关几何问题。 高频考点，多以选择题、填空题的压轴题或解答题的中档题形式出现。通常以等腰三角形为背景，通过两个等腰三角形的公共顶点旋转，形成“手拉手”全等结构，考查线段相等、角相等、线段垂直等结论。 倍长中线模型 能利用该模型构造全等三角形，解决线段和角的等量关系、线段的位置关系等问题。 高频考点，常出现在解答题的几何证明或计算中。题目特征多为“已知三角形中线”，需通过倍长中线构造全等三角形，实现线段的平移和转化，进而解决线段相等、线段和差最值等问题。 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略,构造全等三角形,证明线段的和、差、倍、分关系。 难点，主要考查于解答题的几何证明题，核心是解决“线段和差”问题。通过“截长”或“补短”的方式构造全等三角形，该模型常与角平分线、等腰三角形等知识点结合考查。 一线三等角模型 能识别一线三等角模型结构，并利用该模型证明三角形全等,进而求解线段长度角度大小等。 中频考点，多以选择题、填空题或解答题中档题形式出现。常见背景为直角三角形、等腰三角形或平面直角坐标系，通过“一条直线上三个相等的角”构造全等三角形，考查线段相等、角相等及坐标计算等问题。 半角模型 能识别半角模型的结构，能借助该模型构造全等三角形，处理含有半角的线段和角的关系问题。 难点，多出现在压轴题中。通常以正方形、等腰直角三角形为背景，存在“一个角是另一个角的一半”的条件，通过旋转构造全等三角形，证明线段和差关系。 知识点01 手拉手模型 模型归纳 知识点02 倍长中线模型 方法知指导： 条件：如图，为的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线至 ，使得，连接 结论： 知识点03 截长补短模型 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如></m> 策略:①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 知识点04 一线三等角模型 模型归纳：条件：已知，，三点共线，，且 图示：同侧型 图示：异侧型 结论： 知识点05 半角模型 模型归纳： 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 等边三角形含半角(∠BDC=120°) 等边三角形含半角(∠ACB=60°) 题型一 手拉手模型 【典例1】（23-24八年级上·湖北随州·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林·期末）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【变式1-3】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 题型二 倍长中线模型 【典例2-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知均为等边三角形． （1）如图1，点在线段上，分别连接．求证：． （2）【知识理解】 在通过构造全等三角形解决问题中，有一种方法叫“倍长中线法”．如图2，是的中线，延长到点，使得，连接，则根据“”可判定． 【知识应用】请应用以上方法解决问题： 如图3，点在内，是的中点，连接．若，且． ①求证：； ②判断线段与的数量关系并证明． 【典例2-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【典例2-3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 【变式2-1】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出下面问题：如图，在中，，，点D在边上． （1）当时，过点C作，垂足为E，点F为的中点，连接． ①请找出图中与相等的角并直接写出结论______ ； ②求证：平分． 上面问题②小智同学从结论出发给出如下解题思路：若平分，则，可以通过合理添加辅助线，借助“构全等”来解决问题； 小琪同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据点F为的中点，通过“倍长中线”构全等来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路来解决问题，并说明理由． 【学以致用】 （2）如图2，当时，，连接，且平分，过点D作于点F，若，求的值．    【变式2-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【变式2-3】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． (1)请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 (2)已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 (3)如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 题型三 截长补短模型 【典例3-1】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【典例3-2】（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【变式3-1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【变式3-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【变式3-3】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型四 一线三等角模型 【典例4-1】（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【典例4-2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    【典例4-3】（24-25八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【典例4-4】（23-24八年级上·广东湛江·期末）[理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，    (1)[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ (2)[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 (3)[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）模型呈现 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图①，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图②、图③），即“一线三等角”模型． 问题发现 （1）如图②，中，，，直线过点，过点，分别作于点，于点，求证：； （2）如图③，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出线段之间的数量关系，无需证明； 问题提出 （3）如图④，四边形中，的面积为12且的长为6，求的面积． 【变式4-3】（24-25八年级上·江西宜春·期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【变式4-4】（24-25八年级上·广东湛江·期末）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 半角模型 【典例5-1】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【典例5-2】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【变式5-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 7．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，点E是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，求四边形的面积． 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图①，已知，，是过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若将图①直线绕点A旋转到如图②所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） (3)若将图①直线绕点A旋转到如图③所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3） 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23八年级上·云南昆明·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： ［模型呈现] （1）如图1．，， 过点B作于点C．过点D作于点E． 由．得． 又．可以推理得到． 进而得到___，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； ［模型应用] （2）如图2．且，且． 按照图中所标注的数据．图中实线所围成的图形的面积为（    ） A．50    B．54    C．66    D．68 ［深入研究] （3）如图3．，，．连楼，．于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点．      2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点为中点，连结并延长到点，使，连接，则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】 （1）如图2，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并说明理由； 【猜想探究】 （2）如图3，在中，是的中点，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】 （3）如图4，在中，为中线，且，过点作交于点．请求线段的长．（用含的式子表示） 3．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 4．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 手拉手模型 能识别手拉手模型的结构，能 高频考点，多以选择题、填空题的压轴题或解答题的中档 运用该模型证明三角形全 题形式出现。通常以等腰三角形为背景，通过两个等腰三 等，推导线段和角的关系，解 角形的公共顶点旋转，形成“手拉手”全等结构，考查线 决相关几何问题 段相等、角相等、线段垂直等结论。 倍长中线模型 能利用该模型构造全等三角 高频考点，常出现在解答题的几何证明或计算中。题月特 形，解决线段和角的等量关系、 征多为“己知三角形中线”，需通过倍长中线构造全等三 线段的位置关系等问题。 角形，实现线段的平移和转化，进而解决线段相等、线段 和差最值等问题。 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略，构 难点，主要考查于解答题的几何证明题，核心是解决“线 造全等三角形，证明线段的 段和差”问题。通过“截长”或“补短”的方式构造全等 和、差、倍、分关系。 三角形，该模型常与角平分线、等腰三角形等知识点结合 考查。 一线三等角模 能识别一线三等角模型结 中频考点，多以选择题、填空题或解答题中档题形式出现。 型 构，并利用该模型证明三角形 常见背景为直角三角形、等腰三角形或平面直角坐标系， 全等，进而求解线段长度角度 通过“一条直线上三个相等的角”构造全等三角形，考查 大小等。 线段相等、角相等及坐标计算等问题。 半角模型 能识别半角模型的结构，能借 难点，多出现在压轴题中。通常以正方形、等腰直角三角 助该模型构造全等三角形，处 形为背景，存在“一个角是另一个角的一半”的条件，通 理含有半角的线段和角的关 过旋转构造全等三角形，证明线段和差关系。 系问题。 记·必备知识 局知识点01手拉手模型 模型归纳 1/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分别连接 D底角的顶点 A 顶角相等且顶点重合 的两个等腰三角形 △OAC≌△OBD 同知识点02倍长中线模型 方法指导： 条件：如图，AO为△ABC的中线 关键词：中线、中点 B D 策略：延长中线AO至D,使得DO=AO,连接BD 结论：△A0C兰△D0B 同知识点03截长补短模型 方法指导 适用范围：证明线的和差关系，如a=b十c 策略：①截长：在长边上截取一边等于短边，正剩下的短边等于另短边 ②补短：延长其中一短边使诞长线等于另一短边，延长之后的边等于长边 局知识点04一线三等角模型 模型归纳：条件：已知A,P,B三点共线，PC=PD,且∠1=∠2=∠3 图示：同侧型 3 图示：异侧型 2/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 结论：△AP.C兰△BDP 同知识点05半角模型 模型归纳： B 450 459 D E B D 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 309 309 E B 等边三角形含半角（∠BDC-120°） 等边三角形含半角（∠ACB=60°） 破·重难题型 巴题型一 手拉手模型 【典例1】(23-24八年级上·湖北随州期末)央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学 区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些 基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题 3/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)【模型探究】如图1，ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE连接BE,CD,这 一图形称“手拉手模型”.求证：△ABE≌△ACD. (2)【模型指引】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射 线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求：∠BDC的度数 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在BD上找一点E,使AE=AD,最后使问题得到解决.请你帮他 写出解答过程， (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从端 点B向右下方延伸，仍在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,试判断∠BAC与∠BDC有何数量关系？并证 明. 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE, ·∠BAC-∠1=∠DAE-∠1（等量代换） 即∠2=∠3， AB=AC 在△ABE和△ACD中 ∠2=∠3 AE=AD :△ABE≌△ACD(SAS. (2)解：：ABC中，AB=AC,∠BAC=40°， ÷∠ABC=∠ACB=180°-40°=70， 2 ∠ADB=∠ACB=70°， AE AD, ∠AED=∠ADB=70°， .∠EAD=180°-∠AED-∠ADB=40°， ·LEAD=LBAC, ∠EAD-LEAC=∠BAC-LEAC, 4/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE=∠CAD, 「AB=AC 在△BAE和△CAD中 ∠BAE=∠CAD, AE=AD △BAE≌△CAD, ∠ADC=∠AEB, ∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD, :∠BDC=∠EAD=40°. (3)解：∠BDC+∠BAC=180°；理由如下： 如图，在DB的延长线上找一点E,使AE=AD, E24 B D 设∠BAC=a, :AB=AC, ÷4=∠2=180°-0=90°-0 2 ∠3=∠1=90°- 21 AE=AD, .∠4=∠3=90°- 2 ∠EAD=180°-∠3-∠4=a, .∠EAD=∠BAC, ∠EAD-LBAD=∠BAC-∠BAD, ∠BAE=∠CAD, AB=AC 在△BAE和△CAD中 ∠BAE=∠CAD, AE=AD △BAE≌ACAD, 5/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC=∠4=90°- 2 ∠BC=∠3+∠4Dc=20- =180°-a, ∠BDC+LBAC=180° 【变式1-1】(24-25八年级上，内蒙古通辽·期末)数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理.几何学 习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理， 以解决新的问题。 D 图1 图2 图3 (1)【模型探究】如图1，ABC和ADE中，AB=AC,AE=AD,且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD.这 图形称为“手拉手模型” 求证：△ABE≌△ACD,请你完善下列过程.， 证明：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠1=∠DAE-∠1即∠2=∠3 AB=AC 在AABE和△ACD中 ①， ② .△ABE≌△ACD()③ (2)【模型应用】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在 射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求：∠BDC的度数.小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在BD上 找一点E,使AE=AD,最后使问题得到了解决.请你帮她写出解答过程. (B)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从端 点B向右下方延伸，仍在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE, ∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，即∠2=∠3， 在△ABE和△ACD中， 6/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC ∠2=∠3， AD=AE △ABE≌△4CD(SAS, 故答案为：∠2=∠3，AD=AE;SAS (2)解：如图2，在BD上取一点E,使AE=AD, D:AE=AD,AB=AC, 图2 .ADE=∠AED,∠ABC=LACB, :∠ADB=∠ACB, ∠BAC=∠DAE=42°， :ZBAC-ZEAC ZDAE-ZEAC, .∠BAE=∠CAD, 又AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, △ABE≌△4CD(SAS, :Z ABE ZACD 设AC和BD交于点O, :∠AOB=∠COD, LBDC=∠BAC=42°； (3)解：∠BAC+∠BDC=180°， 理由：如图3，在DB延长线上取一点E,使得AE=AD, E24 B 设∠BAC=a, 7/89 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC, 4=∠2=1809-a=90°_ 2 2 ∴∠3=∠1=90°-0 AE=AD, ∠4=∠3=90°-0 ∠EAD=180°-∠3-∠4=a, ÷∠EAD=∠BAC, ∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD, ∠BAE=LCAD, 在△BAE和△CAD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD △ABE≌△ACD(SAS), 六∠ADC=∠4=90°-0 .∠BDC=∠3+∠ADC=2 90°- 2 = 180°-a ∠BAC+∠BDC=180°； 【变式1-2】(23-24八年级上·吉林期末)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互 相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为 “手拉手模型”，如图①，ABC与ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,则△ABD≌△ACE(SAS). 图① 图② 图③ 图④ 【初步把握】如图②，ABC与ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有 8/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ≌ 【深入研究】如图③，已知ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,并连接 BE、CD,求证：BE=CD; 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角ABC和ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD、CE,交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由. 【详解】[初步把握] 解：：∠BAC=∠DAE, .∠BAC+LDAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△ACE(SAS, 故答案为：△ABD,aACE; [深入研究] 证明：：△ABD和△ACE都是等边三角形， AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=6O°，：∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD, ∠BAE=∠DAC,· AE=AC, △ABE≌△4DC(SAS :BE=CD [拓展延伸 解：BD=CE,BD⊥CE, 理由如下： :∠BAC=∠DAE=90°， 9/89 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBAC+LBAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD, 在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), :BD=CE,∠ABD=∠ACE, :∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE, ∴.∠BPC=∠BAC=90°， BD⊥CE 【变式1-3】(23-24八年级上·湖北恩施期末)探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共 顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地 可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型. 图1 图2 图3 (1)如图1，已知ABC,ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE, 试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知ABC、ADE均为等边三角形，连接CE、BD,若LDEC=60°，试说明点B,点D,点E 在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE,若LBEC=60°，猜 测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：CE∥AB,理由如下： :ABC、ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=60°， ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE, 10/89