专项突破03 轴对称的性质与垂直平分线（期末复习-知识回顾+16个重难点培优题型+真题演练 共47题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义以“知识回顾+题型突破”构建轴对称与垂直平分线的复习体系，通过知识点梳理框架图呈现轴对称性质、垂直平分线定义及性质判定，清晰展现核心概念的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于16种培优题型的分层设计，如台球桌面反弹问题结合光的反射定律培养几何直观，坐标系中对称综合题强化推理意识，每种题型含精讲与变式训练。真题演练助力学生巩固，教师可据此实施分层教学，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

专项突破03 轴对称的性质与垂直平分线 （知识回顾+16种重难点培优题型+真题演练 共47题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 2 知识点梳理02：线段的垂直平分线 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 台球桌面上的轴对称问题 2 题型2 轴对称中的光线反射问题 5 题型3 折叠问题 6 题型4 线段垂直平分线的性质 9 题型5 线段垂直平分线的判定 12 题型6 写出命题的逆命题 13 题型7 互逆定理 14 题型8 作已知线段的垂直平分线 15 题型9 作垂线（尺规作图） 17 题型10 求对称轴条数 20 题型11 钟表的镜面对称 22 题型12 坐标系中的对称 23 题型13 坐标与图形变化——轴对称 27 题型14 线段问题（轴对称综合题) 29 题型15 面积问题（轴对称综合题) 32 题型16 角度问题（轴对称综合题) 36 期末真题 实战演练 40 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理02：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 题型1 台球桌面上的轴对称问题 【精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【思路引导】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 题型2 轴对称中的光线反射问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 设小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 题型3 折叠问题 【精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系（直接写出结论）：___________． 【答案】（1）；（2）见详解；（3） 【思路引导】（1）证明，推导，在中利用三角形三边关系确定的取值范围； （2）延长到H，使得，连接，证明，推导，再借助垂直平分线的性质证明，在中利用三角形三边关系确定求证； （3）结论：．延长至H，使得，连接，依次证明和，推导，由即可证明结论． 【规范解答】解：（1）如图，延长到点使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，延长到H，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴； （3）结论：． 证明：如图，延长至H，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是作出辅助线构造全等三角形解决问题． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，， ∴， 故选：． 题型4 线段垂直平分线的性质 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式】（25-26八年级上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】(1)作图见解析 (2)，垂直平分线的性质， 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； 【规范解答】（1）如图， 点即为所求． （2）证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴ ； 即的周长等于． 题型5 线段垂直平分线的判定 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两个相等实数的绝对值相等 【答案】C 【思路引导】本题考查逆命题的真假判断，了解逆命题与原命题的关系是解题关键． 需要写出每个命题的逆命题，并利用所学知识判断其正确性． 【规范解答】A的逆命题：相等的角是对顶角，假命题（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角）； ∴ A不符合． B的逆命题：对应角相等的三角形全等，假命题（如相似三角形对应角相等但不全等）； ∴ B不符合． C的逆命题：两直线平行，同位角相等，真命题（平行线的性质）； ∴ C符合． D的逆命题：绝对值相等的两个实数相等，假命题（如1和绝对值相等但不相等）； ∴ D不符合． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·山东临沂·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了互逆命题，判定命题的真假，熟练掌握三角形全等的判定，平方的意义，等边三角形的定义，是解题的关键． 根据全等三角形的判定，平方的意义，等边三角形的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．逆命题为：三个角对应相等的两个三角形全等，此命题为假命题，故不符合题意； B．逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，此命题为真命题，故符合题意； C．逆命题为：如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，此命题为假命题，故不符合题意； D．逆命题为：锐角三角形是等边三角形，此命题为假命题，故不符合题意． 故选：B． 题型6 写出命题的逆命题 【精讲】25-26八年级上·云南大理·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【规范解答】解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【规范解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 题型7 互逆定理 【精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列尺规作图方法错误的是（    ） A．如图1，作的平分线交边于点 B．如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等 C．如图3，在内作点，使点到，两点的距离相等，且 D．如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等 【答案】C 【思路引导】本题主要考查基本作图：角平分线和线段垂直平分线，结合作图图形逐项判断作图方法即可. 【规范解答】解：A、如图1，作的平分线交边于点，作法正确，不符合题意； B、如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等，作法正确，不符合题意； C、如图3的作法只能使，不能使，故此作法错误，符合题意； D、如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等，作法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，用直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作的垂直平分线，与交于点E，与交于点D； (2)作的角平分线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据要求作出图形； （2）根据要求作出图形即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求． 题型8 作已知线段的垂直平分线 【精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，详见解析 【思路引导】（1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． 【规范解答】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，由角平分线的性质得点P到两边的距离相等，故点P即为所求； （2）解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式】（25-26八年级上·河南焦作·期中）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，发现了角平分线的另一种作法．请根据她的思路，完成以下作图和证明． (1)构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线与小红所作的垂线交于点，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (2)请证明她的猜想． 【答案】(1)作图见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解决此题的关键． （1）先用圆规截取，然后用作过直线外一点作垂线的尺规作图方作出图形即可得解； （2）利用证明，得出，即可得解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：由作图可知， 在和中， ， ∴， ， 平分． 题型9 作垂线（尺规作图） 【精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段AC的垂直平分线m即可． （2）先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n即可． 【规范解答】（1）解：如图，作线段的垂直平分线m， 则直线m即为所求． （2）如图，先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n， 则直线n即为所求． 【变式】24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义． （1）过点和点作直线即可； （2）连接，，交于点，过点和点作直线即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线为所求， 证明：连接，作直线， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． （2）解：如图，直线为所求， 证明：连接，，交于点，作直线，交于点， ∵、、均为等边三角形， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴点为的中点，，，， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为线段和线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． 题型10 求对称轴条数 【精讲】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【答案】(1)是，4 (2) 【思路引导】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； （2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：    故答案为：是，4； （2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为， 则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为， 空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为， ∴这个地板砖的面积为：， ∴停留在阴影区域的概率是： 答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是． 【考点剖析】本题考查轴对称图形的识别和几何概率，掌握轴对称图形的定义和几何概率计算公式是解题的关键． 【变式】（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【规范解答】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【考点剖析】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 题型11 钟表的镜面对称 【精讲】（23-24七年级下·浙江·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【规范解答】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【规范解答】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 题型12 坐标系中的对称 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，两点之间的距离，解题的关键是掌握新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出坐标，利用两点之间的距离则可得出答案． 【规范解答】（1）解：关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 综上，的长为6． 【变式】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【规范解答】（1）解：为所求作的三角形，如图所示： ； （2）解：如图，为所求作的三角形； ； （3）解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 题型13 坐标与图形变化——轴对称 【精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)． 【思路引导】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． 【规范解答】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到， 即为所求， ，，与点，，关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如下图所示，连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 由网格可知点的坐标是． 【变式】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)画出关于轴对称的图形并写出点、的坐标； (2)将向右平移5个单位，画出平移后的． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析 【思路引导】本题考查作图——轴对称变换，平移变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出点、的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移5个单位，进而可以画出平移后的． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求；，． （2）如图，即为所求． 题型14 线段问题（轴对称综合题) 【精讲】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，即为所求； 连接交轴于点，连接，根据两点之间线段最短可知，此时最短，所以的周长最小． 【规范解答】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （2）解：如下图所示，连接交轴于点，连接， 此时的周长最小， 理由如下： 点、关于轴对称， 轴是的垂直平分线， ， ， 根据两点之间线段最短，可知当点、、在同一条直线上时，最短． 【变式】（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【规范解答】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 题型15 面积问题（轴对称综合题) 【精讲】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1)图见解析 (2)； (3) 【思路引导】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【规范解答】（1）解：由题意作图可得： （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【思路引导】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 题型16 角度问题（轴对称综合题) 【精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【思路引导】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【规范解答】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 【变式】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【思路引导】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【规范解答】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、不是轴对称图形，故选项符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·贵州黔西·期末）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【规范解答】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查坐标与图形变换--轴对称，熟练掌握轴对称性质是解题的关键，根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案. 【规范解答】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知点和关于对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查坐标与对称，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．两点关于x轴对称，则两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程可求出a，b的值，然后代入求值即可． 【规范解答】解：∵点和关于对称， ∴， ， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线上，轴于点A，且点A的坐标为，若点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称，则直线与x轴的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的坐标特征． 根据条件分别求出点、的坐标，再利用中位线性质得到，继而求出直线与x轴的交点坐标即可． 【规范解答】解：在直线中，当时，， ∴， ∵点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的平移与轴对称．先根据向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变得到点B的坐标，再根据关于轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解． 【规范解答】解：将点向右平移4个单位长度得到点， 则点， 则点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： ． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点关于y轴的对称点是点，则的值为 . 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得的值． 【规范解答】解：∵点关于y轴的对称点是点， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，交于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】8 【思路引导】此题考查了垂直平分线的性质，首先得到，然后根据垂直平分线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∵边的垂直平分线分别交于点， ∴． 故答案为：8． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ． 【答案】21 【思路引导】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【规范解答】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为； 故答案为：21． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【思路引导】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【规范解答】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 11．（19-20七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)①；；②当与全等时，秒或 5 秒或秒 【思路引导】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由轴对称的性质可得出答案； ②动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【规范解答】（1）证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：①由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ②由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 12．（25-26八年级上·湖南·期末）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 13．（25-26八年级上·辽宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)是，见解析 【思路引导】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图，再写出坐标即可； （2）先作出，再由轴对称的性质判断即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所画， 由图可得：，，； （2）解：如图所示，为所画， 与成轴对称，直线即为所画． 14．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【规范解答】（1）解：关于x轴对称对应点分别为 ，如图所示： ； （2）解：关于y轴对称点为， 故答案为：； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 15．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 【答案】操作思考：见解析； 猜想验证：；见解析； 应用拓展： 【思路引导】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象． 猜想验证：作，，点P、Q关于函数的图像对称，可证明得到，从而得到，，进而可得到点坐标； 应用拓展：在中，平分，构造全等三角形，可得点在关于的对称线上，又因为点C在射线上，所以点为直线和直线的交点坐标．求出直线和直线的解析式，即可得到答案． 【规范解答】操作思考： 猜想验证： 猜想点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为 证明：作轴，垂足为I，连接． 点P、Q关于函数的图像对称， ，， ， ， ，即． 在和中， ， ，， ． 应用拓展： 如图3，过作交延长线于，交直线于 ∵ ∴直线为的图象 ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴、关于直线对称 ∵， ∴ 设直线为 ∴ ∴， ∴直线为 又∵直线为 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为： ． 【考点剖析】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 轴对称的性质与垂直平分线 （知识回顾+16种重难点培优题型+真题演练 共47题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 2 知识点梳理02：线段的垂直平分线 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 台球桌面上的轴对称问题 2 题型2 轴对称中的光线反射问题 4 题型3 折叠问题 4 题型4 线段垂直平分线的性质 5 题型5 线段垂直平分线的判定 6 题型6 写出命题的逆命题 6 题型7 互逆定理 7 题型8 作已知线段的垂直平分线 8 题型9 作垂线（尺规作图） 9 题型10 求对称轴条数 10 题型11 钟表的镜面对称 10 题型12 坐标系中的对称 11 题型13 坐标与图形变化——轴对称 12 题型14 线段问题（轴对称综合题) 13 题型15 面积问题（轴对称综合题) 14 题型16 角度问题（轴对称综合题) 16 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理02：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 题型1 台球桌面上的轴对称问题 【精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 题型2 轴对称中的光线反射问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型3 折叠问题 【精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系（直接写出结论）：___________． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为．则的长为（    ） A． B． C． D． 题型4 线段垂直平分线的性质 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【变式】（25-26八年级上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 题型5 线段垂直平分线的判定 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两个相等实数的绝对值相等 【变式】（25-26八年级上·山东临沂·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．等边三角形是锐角三角形 题型6 写出命题的逆命题 【精讲】25-26八年级上·云南大理·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型7 互逆定理 【精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列尺规作图方法错误的是（    ） A．如图1，作的平分线交边于点 B．如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等 C．如图3，在内作点，使点到，两点的距离相等，且 D．如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等 【变式】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，用直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作的垂直平分线，与交于点E，与交于点D； (2)作的角平分线交于点． 题型8 作已知线段的垂直平分线 【精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式】（25-26八年级上·河南焦作·期中）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，发现了角平分线的另一种作法．请根据她的思路，完成以下作图和证明． (1)构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线与小红所作的垂线交于点，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (2) 请证明她的猜想． (3) 题型9 作垂线（尺规作图） 【精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【变式】24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 题型10 求对称轴条数 【精讲】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【变式】（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 题型11 钟表的镜面对称 【精讲】（23-24七年级下·浙江·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 题型12 坐标系中的对称 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【变式】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 题型13 坐标与图形变化——轴对称 【精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【变式】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)画出关于轴对称的图形并写出点、的坐标； (2)将向右平移5个单位，画出平移后的． 题型14 线段问题（轴对称综合题) 【精讲】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【变式】（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 题型15 面积问题（轴对称综合题) 【精讲】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 题型16 角度问题（轴对称综合题) 【精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【变式】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24九年级上·贵州黔西·期末）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知点和关于对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线上，轴于点A，且点A的坐标为，若点A与点关于x轴对称，点B与点关于y轴对称，则直线与x轴的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点关于y轴的对称点是点，则的值为 . 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，交于点，如果，，那么的长为 ． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 11．（19-20七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 12．（25-26八年级上·湖南·期末）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 13．（25-26八年级上·辽宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 14．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 15．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $