专题11 分式的化简求值与分式方程含参问题（知识必备+7大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义聚焦分式化简求值与分式方程含参问题，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，分知识点以“三点概括”呈现化简步骤、求值技巧、易错点和方程解法、核心题型、易错分析，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层设计典例与变式练习，如分式化简从直接代入到整体代入再到限定条件求值，方程含参问题按增根、无解、整数解等题型分类，结合解题关键与易错分析培养运算能力和推理意识。配套基础、重难、拓展练习适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主提升。

专题11 分式的化简求值与分式方程含参问题 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的化简求值 掌握分式化简求值的一般步骤，能结合整体代入、因式分解等技巧对代数式进行变形，准确求出分式的值。 常见题型为解答题，命题特点主要有以下几点：一是基础型化简求值、二是条件型化简求值、三是整体代入型化简求值。 分式方程含参问题 熟练掌握分式方程有解、无解、有整数解、有正数解（或负数解）等含参问题的解题思路，能准确求出参数的取值范围或具体值；明确分式方程增根的产生原因，能利用增根求参数的值。 常见题型为选择题、填空题，部分地区也会以解答题形式考查，命题特点主要体现在分类讨论思想的应用上：一是考查分式方程有解、无解的参数取值，二是考查分式方程有整数解、正数解（或负数解）的参数取值，三是考查利用分式方程的增根求参数的值。 知识点01 分式的化简求值 1.化简步骤（三点概括） （1）因式分解：将分子、分母分别分解为整式乘积形式（提公因式、平方差、完全平方公式）。 （2）约分：约去分子、分母的公因式（注意：公因式是整式，且不为 0）。 （3）通分（若有加减运算）：找到最简公分母，转化为同分母分式，再进行加减运算。 2.求值技巧（三点概括） （1）直接代入：化简后将已知字母的值代入（代入前需验证分母不为 0）。 （2）整体代入：由已知条件变形得到代数式的值，整体代入化简式。 （3）条件转化：已知条件含等式时，先变形（如因式分解、移项），再代入消元。 3.易错分析（三点概括） （1）约分忽略限制条件：约去公因式时未注明 “公因式≠0”，导致取值范围扩大。 （2）整体代入变形错误：对已知条件变形时出错 （3）代入后计算失误：分式加减乘除混合运算顺序混乱，符号处理错误。 知识点02 分式方程含参问题 1.分式方程的定义与解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.解法步骤（三点概括） 去分母：方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程。 解整式方程：求出整式方程的根。 验根：将根代入最简公分母，若不为 0 则是原方程的根；若为 0 则是增根，原方程无解。 3.含参分式方程的核心题型（三点概括） 题型 1： 分式方程有增根，求参数值解题关键：增根是使最简公分母为 0 的根，且增根是整式方程的根。步骤：令最简公分母 = 0，求出增根；去分母，将分式方程化为整式方程；将增根代入整式方程，解出参数值。 题型 2： 分式方程无解，求参数值解题关键：无解分两种情况分式方程产生增根；整式方程本身无解 题型 3： 分式方程有解（或有正 / 负解），求参数取值范围解题关键：解整式方程，用参数表示未知数；结合条件：① 未知数≠增根；② 解满足正 / 负要求；③ 整式方程有意义。 4. 易错分析（三点概括） 混淆 “增根” 与 “无解”：认为有增根就是无解，忽略整式方程本身无解的情况。 遗漏参数限制条件：求参数范围时，未排除使最简公分母为 0 的参数值。 解的正负性判断错误：用参数表示未知数后，解不等式时未考虑参数的符号对不等号方向的影响。 题型一 化简后直接代入未知数的值求值 【典例1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的计算过程进行化简，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 把代入，原式． 【典例1-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 【典例1-3】（25-26八年级上·重庆·月考）分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 【变式1-1】（25-26八年级上·北京海淀·月考）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】；1 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式． 【变式1-3】（24-25八年级·广东茂名·期末）先化简：，再在中选择一个适当的整数代入求值． 【答案】，取，原式，取，则原式；取，则原式；取，则原式． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键，注意取值时要取使得分式有意义的数． 利用分式的运算法则化简分式，再代入除了不满足条件的，在取值范围内的整数即可求解． 【详解】解：原式 ，且， 取，则原式． （注：也可取．取，则原式；取， 则原式；取，则原式．） 【变式1-4】（24-25八年级上·重庆·月考）先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型二 整体代入求值 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式化简求值、分式的求值 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到，再代入待求式进行化简计算． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式化简即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 代入所求式： ． 故选B． 【典例2-2】（24-25八年级上·吉林长春·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴ 原式， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值、运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查分式的加减运算及化简求值，涉及分式的通分、约分以及代数式的整体代入思想．利用平方差公式分解，再通分、约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式= = = = ， 当时，原式． 题型三 化简后利用限定条件求值 【典例3-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整体的方法是解答本题的关键． 根据分式的四则混合运算法则化简可得，然后将整体代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ； ∵ ∴， ∴． 【典例3-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式的求值、分式化简求值 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】加减消元法、分式化简求值、通分、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【知识点】分式化简求值、归纳与类比 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 题型四 分式方程有增根 【典例4-1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握最简公分母为0是分式方程有增根的条件，先解方程得到，再根据分式方程有增根得到，得，即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 【典例4-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 【变式4-2】已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】若关于的方程的解是增根，求的值． 【答案】 【详解】解：在方程两边同乘以得：， ∵分式方程的解是增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴的值为． 【变式4-4】已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 题型五 分式方程无解 【例5-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解的含义，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法得到，再根据原分式方程无解得到，即，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数互为1得，， ∵关于的分式方程无解， ∴， 代入得，， 解得，， 故选：B ． 【例5-2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解的条件得出的范围；再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零的条件进一步确定的范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 【典例5-3】（23-24八年级上·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，先将分式方程化成整式方程，再分两种情况： 方程无解，原分式方程有增根，据此求解即可，正确分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，即，整式方程无解； 当，即时，分式方程无解， 把代入，得， 解得， ∴， 故选：． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题关键．将分式方程去分母转化为整式方程，解得，根据原方程无解得，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-3】（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 【变式5-4】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 题型六 分式方程有（非）正数解 【典例6-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，不等式的解法，解题的关键是掌握分式方程的求解方法． 先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：，且， 解得：且． 故选C． 【典例6-2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵方程的解为负数， ∴， ∴． ∵且， ∴且， ∴且． 故选B． 【典例6-3】（24-25八年级上·湖北荆门·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， 且 故选：C 【变式6-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·云南保山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非负数得，由，得，计算可得答案．此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， 即， 得， ∵， ∴，得， ∴且， 故选：C． 【变式6-3】（22-23八年级上·江苏南通·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键．解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时的值，即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得，， 分式方程的解为非负数， ， ， 又， ，， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式6-4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围． 根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有且只有4个整数解， ． 解得． ， 解得． 关于的分式方程的解为非负数， ，解得． 是分式方程的增根， 此时，无意义，舍去． 且． 符合题意的整数m的值，，0． 当m的值为时， ． 解得∶，是非负数，符合题意． 当m的值为时， ． 解得∶，是非负数，符合题意．． 当m的值为0时， ． 解得∶，是非负数，符合题意．． 符合题意的整数m的值为，，0． 符合条件的所有整数m的积是． 故答案为∶ 0 题型七 分式方程有整数解 【典例7-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 【典例7-2】（24-25八年级上·重庆江津·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【分析】根据点关于轴的对称点在第三象限，建立不等式组，求得解集确定a的取值范围，再根据分式方程的非负整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，后计算绝对值的和即可得结论． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第三象限， ∴对称点的坐标为， ∴， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合的解是非负整数解的有， ∴符合条件的所有整数a的绝对值和是， 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级上·江苏南通·月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 【变式7-2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为整数， ∴是2的倍数，即a是偶数． 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题考查分式化简求值．由已知条件可得，即．将所求表达式的分子和分母分别用表示，并代入化简． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 所求表达式为 ， 分子：， 分母：， ∴， 故选：A． 2．关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：分式方程去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值． 将通分后，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·吉林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，则原分式方程有增根或整式方程无解，然后分别求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， 关于的分式方程无解， 分式方程有增根或方程无解， 当分式方程有增根时，， 解得：， 把代入方程得：， 解得：； ∵当取任何值时，方程都有解， ∴不存在m的值，使方程无解； 综上分析可知：的值为3． 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，解得，再由原分式方程无解，可得，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵原分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： 去分母，得：， 移项，合并得：， 化系数为1得： ∵原方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·广西贵港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 9．（24-25八年级上·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算单项式乘以多项式，再把小括号内的式子通分，接着把除法变成乘法后约分化简，进一步合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 11．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ；4 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法并因式分解约分，最后代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 答：化简结果为,原式的值为． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值． 需先对分子和分母因式分解，再通分和约分，最后代入求值． 【详解】解：原式= = = = = =， 当时，原式=． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 本题将变形为，再代入运算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选：B． 2．如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 4.已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 5.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 6．（24-25八年级下·重庆·期末）先化简，再求值，其中是满足不等式的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内以及运算除法，再运算乘法以及化简，得，再分别算出的整数解，结合分式有意义的条件，把代入，得，即可作答． 【详解】解： ． ∵ ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为， ∵其中是满足不等式的整数解 ∴ ∵ ∴， 则， 把代入，得． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得出两种情况：当时，方程无解；当时，方程的解为，根据分式方程的分母为得出，此时分式方程无解；分别求出的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 整理，得， 当时，方程无解，此时； 当时，方程的解为， 关于的分式方程无解， ，即， ， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解为整式方程无解或分式方程出现增根两种情况是解决问题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程出现增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得：， 当时，即，整式方程无解； 当，则， 若此时分式方程无解，则分式方程有增根， 即， 解得：； ∴关于的方程无解，则取值为1或． 故选：A． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若关于的分式方程无解，则 【答案】1或3 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴ ∴当，即时，方程无解； 当时，由分式方程无解，可得，即， 把代入， 解得：， 综上，m的值为1或3． 故答案为：1或3． 4.若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法、分式方程无解问题 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 7．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 (2)，5 (3)11或3 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 8．（22-23八年级上·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即． (1)①点的“2之称心点”的坐标为________； ②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或． 【分析】（1）①根据点为点的“之称心点”的定义计算； ②根据点为点的“之称心点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可； （2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之称心点”的定义计算； （3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算． 【详解】（1）解：①当，，时，，， 点的“2之称心点”的坐标为， 故答案为：； ②点的“之称心点”的坐标为， ，， 解得，，， 当时，， 符合条件的点的坐标可以是， 故答案为：； （2）解：点在轴的正半轴上， ，． 点的坐标为， 点的“之称心点”为点， 点的坐标为，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：； （3）解：当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①，即， ②，即，则； 当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①， ②，则； 综上所述，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 分式的化简求值与分式方程含参问题 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的化简求值 掌握分式化简求值的一般步骤，能结合整体代入、因式分解等技巧对代数式进行变形，准确求出分式的值。 常见题型为解答题，命题特点主要有以下几点：一是基础型化简求值、二是条件型化简求值、三是整体代入型化简求值。 分式方程含参问题 熟练掌握分式方程有解、无解、有整数解、有正数解（或负数解）等含参问题的解题思路，能准确求出参数的取值范围或具体值；明确分式方程增根的产生原因，能利用增根求参数的值。 常见题型为选择题、填空题，部分地区也会以解答题形式考查，命题特点主要体现在分类讨论思想的应用上：一是考查分式方程有解、无解的参数取值，二是考查分式方程有整数解、正数解（或负数解）的参数取值，三是考查利用分式方程的增根求参数的值。 知识点01 分式的化简求值 1.化简步骤（三点概括） （1）因式分解：将分子、分母分别分解为整式乘积形式（提公因式、平方差、完全平方公式）。 （2）约分：约去分子、分母的公因式（注意：公因式是整式，且不为 0）。 （3）通分（若有加减运算）：找到最简公分母，转化为同分母分式，再进行加减运算。 2.求值技巧（三点概括） （1）直接代入：化简后将已知字母的值代入（代入前需验证分母不为 0）。 （2）整体代入：由已知条件变形得到代数式的值，整体代入化简式。 （3）条件转化：已知条件含等式时，先变形（如因式分解、移项），再代入消元。 3.易错分析（三点概括） （1）约分忽略限制条件：约去公因式时未注明 “公因式≠0”，导致取值范围扩大。 （2）整体代入变形错误：对已知条件变形时出错 （3）代入后计算失误：分式加减乘除混合运算顺序混乱，符号处理错误。 知识点02 分式方程含参问题 1.分式方程的定义与解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.解法步骤（三点概括） 去分母：方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程。 解整式方程：求出整式方程的根。 验根：将根代入最简公分母，若不为 0 则是原方程的根；若为 0 则是增根，原方程无解。 3.含参分式方程的核心题型（三点概括） 题型 1： 分式方程有增根，求参数值解题关键：增根是使最简公分母为 0 的根，且增根是整式方程的根。步骤：令最简公分母 = 0，求出增根；去分母，将分式方程化为整式方程；将增根代入整式方程，解出参数值。 题型 2： 分式方程无解，求参数值解题关键：无解分两种情况分式方程产生增根；整式方程本身无解 题型 3： 分式方程有解（或有正 / 负解），求参数取值范围解题关键：解整式方程，用参数表示未知数；结合条件：① 未知数≠增根；② 解满足正 / 负要求；③ 整式方程有意义。 4. 易错分析（三点概括） 混淆 “增根” 与 “无解”：认为有增根就是无解，忽略整式方程本身无解的情况。 遗漏参数限制条件：求参数范围时，未排除使最简公分母为 0 的参数值。 解的正负性判断错误：用参数表示未知数后，解不等式时未考虑参数的符号对不等号方向的影响。 题型一 化简后直接代入未知数的值求值 【典例1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【典例1-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值． 【典例1-3】（25-26八年级上·重庆·月考）分式化简求值：，其中x为满足的整数 【变式1-1】（25-26八年级上·北京海淀·月考）先化简，再求值：，其中 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【变式1-3】（24-25八年级·广东茂名·期末）先化简：，再在中选择一个适当的整数代入求值． 【变式1-4】（24-25八年级上·重庆·月考）先化简，再求值 ，其中， ． 题型二 整体代入求值 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25八年级上·吉林长春·月考）若，则的值为 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 题型三 化简后利用限定条件求值 【典例3-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，其中a满足． 【典例3-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【变式3-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 题型四 分式方程有增根 【典例4-1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 【典例4-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【变式4-3】若关于的方程的解是增根，求的值． 【变式4-4】已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 题型五 分式方程无解 【例5-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【例5-2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【典例5-3】（23-24八年级上·河南商丘·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【变式5-4】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 题型六 分式方程有（非）正数解 【典例6-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【典例6-2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【典例6-3】（24-25八年级上·湖北荆门·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 【变式6-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式6-2】（24-25八年级上·云南保山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式6-3】（22-23八年级上·江苏南通·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【变式6-4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为 ． 题型七 分式方程有整数解 【典例7-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【典例7-2】（24-25八年级上·重庆江津·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【变式7-1】（23-24八年级上·江苏南通·月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【变式7-2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则 ． 4.（24-25八年级上·吉林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 8．（23-24八年级上·广西贵港·期中）先化简，再求值：，其中． 9． （24-25八年级上·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值：，其中． 12． （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 2．如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 4.已知：，求代数式的值． 5.先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级下·重庆·期末）先化简，再求值，其中是满足不等式的整数解． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若关于的分式方程无解，则 4.若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 7．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 8．（22-23八年级上·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即． (1)①点的“2之称心点”的坐标为________； ②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $