浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

浙江强基联盟2025年12月高一联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 如 1.sin120°的值为 的 A.- 2 c D. 2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8)，则 A.f(x)=4 B.f(x)=2x C.f(x)=x D.f(x)=√x 3.已知a=cos2,b=log2√2，c=2.5,则a,b,c的大小关系为 A.a>bc B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 4.函数f(x)= 的图象大致为 /x2+2 B 5.已知tana=3,则 2cos a cos a-sin a A.-1 B.1 C.3 D.-3 6.函数f(x)=log(x2-4x-5)的单调递减区间为 A.(2,十∞) B.(5,十∞) C.(-∞，2) D.(-c∞，-1) 7.若“彐x∈R,ax2一4ax十16≤0”是假命题，则实数a的取值范围为 A.(0,4) B.[0,4) C.[0,4] D.(-o∞，0)U[4,+∞) 8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足∫(x)在（一∞，0]上单调递增，且∫(3）=0，则 不等式(x2-2x-3)f(x)≤0的解集为 A.(-o∞，-3] B.[-1,+o∞) C.(-c∞，-3]U[3,+∞) D.(-c∞，-3]U[-1,+∞) 【高一数学第1页（共4页）】 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin(2x-5)(x∈R),则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x受对称 C.f(x)的图象关于点（一是0）中心对称 D.f(x)在(0，)上单调递增 10.函数f(x)=sinx十e的零点所在区间可以是 A.(-元，0) B.(-2π，一x) C.(-3π，-2π) D.(-4元，-3π) 11.已知函数f(x)=1og2(x一1)，且正实数a,b(a≠b)满足f(a)=f(b),则下列结论正确 的是 A.(a-1)(b-1)=1 B.号-b的最大值为3 C.a十2b的最小值为6 D√任+√牙的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知sina=号，则cos(受十a+sin(r+a)=▲ 13.已知函数f(x)=a<0. 是R上的减函数，则实数a的取值范围是 1(a-3)x+2a,x≥0 14.若关于x的方程4一4一x2=x十a恰有4个根，则实数a的取值范围是▲ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) 已知函数f(x)=ln2+x, 2一x (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由. 【高一数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知函数f(x)=2sin(wa十9)十1(o>0,<乏)的最小正周期为元，且当x=-5时， 3 f(x)取得最小值一1. (1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间； (2)当x∈[0，受]时，求函数f(x)的值域。 17.(15分) 某药物研究所发现，病人在服用某种药物100mg后，血液中药物 0.8 的含量y(单位：100mg)在0~6小时内随时间x(单位：h)的变化 曲线如图所示.当0<<1时，可述择用函数y=号子c0sm 0 6 (。>0)来近似地刻画y随x变化的规律；当1<x<6时，可选择用函数y=(导5 2x- (a为常数)来近似地刻画y随x变化的规律. (1)当0≤x≤6时，求这段曲线的函数解析式； (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在40g以上时才有疗效，问病人一次性服用该药 物100mg,持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：lg2≈0.30） 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分)》 已知定义域为R的函数f(x)=gab是实数)是奇函数，且指数函数)=a'的图象与 函数y=log2x的图象关于直线y=x对称， (1)求实数a,b的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)若方程f(9十4)十f(t·3+2)=0在(0,1)上恰有两个不相等的实数根，求实数t的取 值范围、 19.(17分) 教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y=∫(x)的图象关于坐标原点成中心 对称图形的充要条件是函数y=∫(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y= f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x十a)一b为奇函数. (1)已知函数f(x)的定义域为R,且图象关于点(1,1)中心对称，求f(0)+f(1)+f(2)》 的值。 (2)已知函数g(x)=x3+mx2+n.x的图象关于点(1,1)中心对称 (1)求实数m,n的值，并判断函数g(x)的单调性（不用证明）； (iⅱ)若对任意的实数s,都存在实数x∈[1,3]，使得不等式g(x2+sx十t)+g(2一x) ≥2成立，求实数t的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】浙江强基联盟2025年12月高一联考 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1 2 3 6 P D C D B B D 1.Dsin120=气故选D 2.C因为f(x)为幂函数，∴.f(x)=x°，又因为图象过(2,8)，所以f(2)=8,即2=8，得a=3,∴.f(x)=x3.故 选C. 3.D“a=cos2<c0s号=0b=log:E=1og2时=号，e=2>2-1,c>b>a.故选D. 4.C,f(x)的定义域为R,且f(一x)=一f(x),.函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，A,B排除；又当 x>0时，f(x)<0,所以C正确.故选C. 2cos a 2 5.A cos a-sin a 1tan =-1.故选A 6.B,函数f(x)的定义域为{x|x2-4x-5>0}→(-o∞，-1)U(5,十∞)，又.f(t)=log4t的函数在定义 域上单调递减，二次函数t=x2-4x一5在(2，十o∞)上递增，结合函数f(x)的定义域，得到函数f(x)的单调 递减区间为(5，十∞).故选B. 7.B,x∈R,ax2-4a.x十16≤0是假命题，.Vx∈R,ax2-4ax十16>0是真命题，首先当a=0时，显然成 a>0,a>0, 立；当a≠0时，需要满足 a>0, 综上所述得到0≤a<4.故选B. △<016a2-64a<00<a<4, 8.D由题意得当x∈(-∞，-3]，f(x)≤0；x∈(-3,3)，f(x)>0;x∈[3，+∞)，f(x)<0;且当x∈(-∞， -1],x2-2x-3>0;且当x∈(-1,3)，x2-2x-3<0:且当x∈(3，十∞)，x2-2x-3>0;∴x(-o∞，-3]U [-1,十o∞)时，(x2-2x-3)f(x)≤0成立.故选D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AC AB 9.ABD对于A,f(x)的最小正周期T-罗=，故A正确；对于B,当x-时，2x-号=受，所以f(x)的图 象关于直线x-晋对称，故B正确：对于C,当x=一时，2x-号=一受，所以f(x)的图象不关于点 （-器0）中心对称，故C错误：对于D,当x∈(o,受)时，2x-号∈(-号，号)，所以f(x)在(0，号)上单 调递增，故D正确.故选ABD. 【高一数学卷参考答案第1页（共6页）】 l0.AC由f(x)=sinx十e=0得sinx=一e,作出函数y=sinx与函数y=一e的图象如图，由图可知在 区间（一π，0）和（一3π，-2π）上存在零点.故选AC 11.AB由f(a)=f(b)可知log2(a-1)=-log2(b-1),所以(a-1)(b-1)=1,故A正确；由A可知ab =a+6,所以日+名=1，所以是-b=9-号-b=9-（(号+6)≤9-6=3，当且仅当=b即6=3时，等号 成立，放B正确a+2h=(a+2b)(日+)=3+0+号≥3+2厄，当且仅当2=号即a=,6=1+厄 Bg2ac后王答g-s-4: -b=2时，等号成立，因为a≠6，所以√任+√石<厄，故D错误，故选AB 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.-号13.(0,2]14.(-，2U(22,6) 12,-号因为sina=专，所以os(受+a）十sn(x+a)=-sima一sina=-g 13.(0,]由题意得，当0<a<1时，函数y=a单调递减，且当x=0时，y=1:当a一3<0时，函数y=(a一3)x十 0<a<1, 2a单调递减，且当x=0时y=2a得a一3<0，解得0<a≤号.即实数a的取值范围为(0，号] 1≥2a, 14.(-子，2)U(2E,6)方程14-14-r1=x十a恰有4个根等价于函数y=|4-4-x1川与y=x十a 的图象有4个公共点，画出函数y=|4一|4一x2||与y=x十a的图象，分别求出4个临界位置，分别为与 1 y=x2相切、经过(2,4)、(-22,0)和(-2,4)，求得直线方程为y=x-4y=x+2,y=x十2W2,y=x +6,所以a∈(-，2)U(2E,6). 6 -2 -4 【高一数学卷参考答案第2页（共6页）】 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤， 15.解：（①）由2>0，……四 …2分 得一2江<2，………… ………4分 所以函数f(x)的定义域为（一2,2）.… 6分 (2)定义域关于原点对称， f(-)=In---f(r). 2十x 2-x 2十x 2一工得2分) (写出f(-x)=ln2+x 所以函数f(x)为奇函数。…… 13分 16.解：(1)由T=2红=π得u=2, 2分 由2X(-号)十9=-受+2kπ(k∈Z),解得9=晋+2kx(k∈Z), 因为g<7,所以9=否，4分 所以f(x)=2sin(2红十晋)+l,… 5分 由-受十2km≤2x+否≤受+2k,… 6分 解得一号十kπ≤≤吾十k, 所以f(x)单调递增区间为[-号十km,晋+k](k∈Z). …8分 (20当x[0,受]时，2x+晋∈[吾，2g1,… 10分 sin(2x+吾)[-1，… 12分 所以f(江)的值域为[0,3].………………………………………………………………… 15分 17.解：1)油题意知，当0≤≤1时，函数y一号一子c0sr的最大值为号，最小值为0， 22 所以函数y=号一后c0sx的周期为2，所以w=元，…3分 当1<x≤6时，函数y=（号5)过点(1,0.8)，代人得a=0.…6分 【高一数学卷参考答案第3页（共6页）】 2 2 5一5c0s元x,0≤x≤1， 所求曲线的函数解析式为y 7分 ,1<x≤6. (2当0长x1时，令号- 2 2 cos元x= ，解得x= 2 10分 当1<<6时，令（告）广=号，两边同时取常用对数得：g青-g合 2 x=g2g5=2g2-1 2×0.30-1 g4-1g号-3g2号，解得x≈3x0:30-号 =4,… 13分 .x2-x1≈4-0.5=3.50， 故病人一次性服用药物100mg,持续有疗效时长约为3.50小时.…15分 18.解：(1)由指数函数y=a的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称， 得=2，……………1分 又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,得b=一1，………………2分 所以f(x)= 2-1 2+1’ 经检验，符合f(-x)=一f(x), 所以a=2,b=-1.……3分 2 4分 (2)f(x=1十fx)在定义域内单调递增，………4 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 2 2 2(21-22) 则f(x1)f(x)=2+十2行21十102十1…… 7分 其中x1<x2,所以2<22， 所以f(x1)-f(x2)<0→f(x1)<f(x2), 所以∫(x)在定义域内单调递增.………………………………………9分 (3)由(1)(2)知f(9+4)+f(t·3+2)=0 台f(9+4)=-f(t·3+2) 台f(9x+4)=f(-t·3+2) 曰9十4=-t·3+2,即9*十4十t。3+2=0,… 11分 令3=m(x∈(0,1))，则m∈(1,3)， 【高一数学卷参考答案第4页（共6页）】 上述方程可化为：m2十9t十4=0在（1,3)上有两个不等实数根，………… 13分 令g(m)=m2十9m十4，则 9 g(1)=9t+5>0, g(3)=27t+13>0, 13 t> 27 解得 15分 告<3 3XI<- 2 9 △=81t2-16>0, 4 综上所述（一号，-吉）片 17分 19.解：(1)因为函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称， 所以y=f(x十1)-1为奇函数，所以f(-x十1)-1=-[f(x十1)-1]， 令x=0,则有2f(1)=2,故f(1)=1:令x=1,则有f(2)十f(0)=2, 所以(0)十f(1)十f(2)=3。…………3分 (2)(1)由(1)可知g(1)=1,g(2)+g(0)=2, 1+m+n=1, n=-3, 因为g(0)=0,所以g(2)=2,则 解得 (8+4m十2n=2, n=3, 此时g(x)=x3-3x2+3x=(x-1)3+1, 所以g(-x十1)-1=(-x十1-1)3=-x3,g(x+1)-1=(x+1-1)3=x3, 所以g(一x十1)-1=一[g(x十1)-1]，即y=g(x十1)一1为奇函数，符合题意，…7分 所以m=一3，n=3. 因为函数g(x)的图象可由y=x3先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 故函数g(x)在（一00，十0∞）上也是增函数。……9分 (ⅱ)因为函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且该函数的定义域为R, 对任意的x∈R,g(x)十g(2-x)=2, 由g(|x+sx+t)十g(2-x)≥2可得g(|x2+sx十t|)+g(2-x)≥g(x)+g(2-x), 即g(|x2十s江十t)≥g(x),……11分 因为函数g(x)在（一∞，十6∞）上是增函数，则x2十sx十t≥x,………12分 【高一数学卷参考答案第5页（共6页）】 因为x∈[1,3]，所以x+s+≥1， 令h(x)=x+名，得h(x)十≥1， 设(：+)=M,(+安)=N,只有M-N≥2才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1. 否则当M-N<2,s任意变化到使M,N+s=0时，对任意的x∈[1,3]， 2 x++ =M-N<1. 2 故原命题等价于M-N≥2.………………………14分 ①当≤0时，h(x)=x+在x∈[1,3]上单调递增， 即M-N=h(3)-h(1)=2-号≥2.所以0， ②当>0时，h(x)=x+在(0，]上单调递减，在(F,十∞)上单调递增， 所以当0<<1时，h(x)在[1,3]上单调递增，M-N=h(3)-h(1)=2-子≥，∈⑦： 当1<t<9时，h(x)在[1WE]上单调递减，在(WE,3]上单调递增， h(1)=1+i,h(3)=3+号，h()=2E, 若1<1<3，则h(1)<h(3),所以M-N=h(3)-h(F)=3+号-2f≥2，i∈☑， 若3≤t<9,则h(1)>h(3),所以M-N=h(1)-h(E)=1+t-2F≥2， 所以3十2/2≤t<9, 当≥9时，h(x)在[1,3]上单调递减，此时M-N=h(1)-h(3)=号一2≥2，得≥9. 综上得t∈（一0∞，0]U[3十2√2，十0∞）.… 17分 【高一数学卷参考答案第6页（共6页）】