重庆市九校（好教育联盟）2025-2026学年高三12月一诊前模拟演练数学试卷

重庆市2026届高三一诊前模拟演练 数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上｡ 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑｡如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号｡回答非选择题时,将答案写在答题卡上｡写在本试卷上无效｡ 3.试卷由整理排版｡考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回｡ 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 ，且 ，则 A. B. C. D. 2. 若向量 ，且 ，则 A. B. C. D. 3. 已知 ,则 A. B. C. D. 4. 某校期中考试的数学成绩 (满分: 150 分) 服从正态分布 ,若 115) ,则 A. 75 B. 80 C. 90 D. 95 5. 一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为 9 厘米，该容器的底面圆的直径为 4 厘米. 现往该容器中放入一个半径为 厘米的小球,该小球放入水中后直接沉入容器底部,此时容器内的水没有溢出，忽略容器壁的厚度，则该小球的半径 的最大值是 A. 3 B. 2 C. D. 6. 在各项均为正数的等比数列 中, ,则 的最大值是 A. B. 4 C. D. 2 7. 函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ,则 A. B. 的虚部为 -1 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内,在上述路段中，同一路段上驶人与驶出的车辆数相等), 则 A. B. C. D. 11. 在棱长为 6 的正方体 中, 分别是棱 的中点, 是棱 上的动点,则 A. B. 异面直线 与 所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体 被平面 截得的五边形的周长为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若函数 是 上的奇函数,则 _____▲_____. 13. 如图，圆 ，圆 ，圆 两两外切，若圆 ，圆 ，圆 的半径分别为3,2,1，且圆 的圆心 为坐标原点，圆 的圆心 在 轴正半轴上,圆 的圆心 在第一象限上,则 的坐标为_____▲_____. 14. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图,若马位于 处,其移动规则为循着日字的对角线走两格,即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理, 若马位于 处,下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的, 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走_____▲_____步；已知马第一步没有到达 处,则 3 步后马到达 处的概率是_____▲_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出,同时,小明以 的速度去接飞盘. 已知 米, . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变,小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米 秒， 秒，求 . 16. (15 分) 某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程(单位:百千米)与充电频率(单位:次/月)的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格: 表 1 单位:人 电池类型 用户满意情况 合计 满意 不满意 A 类型电池 85 15 100 B类型电池 65 35 100 合计 150 50 200 表 2 续航里程 3 4 5 6 7 充电频率 17 13 10 8 7 (1)根据小概率值 的独立性检验,分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关; (2)根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程. 参考公式: ,其中 ; 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. (15 分) 如图，在三棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形， . (1)证明:平面 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)求二面角 的正弦值. 18.(17 分) 已知函数 . (1)若曲线 在 处的切线与在 处的切线的倾斜角互补，求 的值. (2)已知 有三个不同的零点. ( i )求 的取值范围; (ii) 若 为较大的两个零点,证明: . 19.(17 分) 在数列 中, . (1)求 的通项公式. (2)已知集合 ，记 的非空子集为 ， 中的所有元素的和为 ,记 . ( i ) 求数列 的前 100 项和 ; (ii) 记 中最小的元素为 ,求 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $重庆高三数学考试 参考答案 1.C因为A∩B={1,4},所以2B,3在B,4∈B,5氏B,故选C. 2.B由题意可得ka+b=(3-2k,2+k),则(ka+b)·a=一2(3-2k)+2十k=0,解得k 4 5 3.D因为0<0.911<1,1.19>1，logo.1.1<0,所以b>a>c 4.C因为P(X≤65)+P(X<115)=1,所以P(X≤65)=1-P(X<115)=P(X≥115)，则 265+15=90. 2 r≤2， 5.B 由题意可得4红，≤X2×9, 解得r≤2，即该小球的半径r的最大值是2. 3 6.D因为4a1a5+4a3a5十a2a8=32,所以4a3+4a3a5十a号=(2a3十a5)2=32.因为an>0,所 以2a3十a5>0,所以2a3十a5=4√2，所以2√/2a3a5≤4W2,即√a3a5≤2，则a4=√a3a5≤2， 当且仅当2a3=a5=2√2时，等号成立. 7.B 因为品≤等所以吾2x<货所以经5m2x≤1，所以了x)= 1sin2x,≤受 因为∫(x)的图象与直线y=有且仅有两个不同的交点，所以2≤ 2sin2x,< 2π m<4. &.A由题意可得)=ae(x十1)-1中-(x+1D(ae-）.令了(x)=0:得x+1=0或 0,即x=-1或ax0.设函数g()=xe(x<0),则g'(x)=( 当x<一1时，g'(x)<0,则g(x)在(-∞，一1)上单调递减；当一1<x<0时，g'(x)>0,则 gx)在(-1,0)上单调递增.放g(x)m一g(-1)=-。因为x<0,所以g(x)<0,则 g云≤-e,即a≤-e因为fx)有3个不同的极值点，所以x=一1不是关于r的方程u (x<0)的解，所以a<-e. 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 9.ABD由题意可得之=1一2i十i一22=3一i,则|之|=√/10，A正确.之的虚部为一1，B正确. x=3十i,C错误.x在复平面内对应的点为(3，一1)，位于第四象限，D正确. x1=x4-50+55, x2=x1-5, x2=x1-40+35, 10.AC由题意可得 则x3=x1一15，所以x1>x2=x4>x3,故选AC. x3=x2-50+40, x4=x1一5， x4=x3-30+40, 11.ABD如图，连接C1D,易证C1D⊥EF,B,C1⊥EF,则EF⊥平面 B1C1D.因为B1DC平面BC1D,所以B1D⊥EF,A正确.取棱DD1A 的中点G,连接AG,GF,易证AG∥BE,则∠GAF是异面直线AF与 BE所成的角或补角.由题中数据可得AG=3√5，GF=3√2，AF=9, 厕cOs∠GAF-AG+AF二GF=25B正确.将平面5CCB面 2AG·AF 折到平面ABB1A1,设AE交BB1于点P(图略).当H与P重合时，AH十HE=AE= 3/17;当H与P不重合时，AH+HE>AE=3√17.综上，AH+HE的最小值是3/I7, C错误.分别在棱BC,AD1上取点M,N,使得BM=2CM,AN=2D1N,易证正方体 ABCD-A,B1C1D1被平面AEF截得的图形为五边形AMEFN,则AM=AN=2√I3, ME=NF=√13，EF=3√2，故五边形AMEFN的周长为6√/13+3√2，D正确 12.一1因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-1)=-f(1),即-1+21+2a=-(1+2+a· 21),解得a=一1，经验证a=一1满足条件 8(华) 设C的坐标为(x,y),由题意可知A(0,0),B(5,0),则 |AC12=x2+y2=42, x=1 解得 1BC12=(x-5)2+y2=32, 12 即C的坐标为(，号)。 y=5' 29 14.4:288 由题意可知马从A处到达P处至少要走4步.马走2步后的所有情况可以用下列 树状图表示， 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 则3步后马到达C处的概率是号××号+××+××+号×× 29 288 15.解：设∠ABC=0(0°<0<180°)，则∠ACB=150°-0.…1分 BC AC AB 由正弦定理可得 sin /BAC sin/ABC sin/ACB 8 sin 30 sin0sin(150°-0) …3分 （1油30m0得号=2sn0≤2，当且仅当0=90时，”的最大值是2.…7分 7。 (2)因为=2米/秒，1=2秒，所以 8 sin 0 sin 150cos 0-cos 150sin 0' …9分 所以sin0=√3c0s0,则tan0=√3.…11分 224√/3 因为0<0<180，所以0=60，则sim30-sim60,解得v=2米/秒. ……13分 16.解：(1)零假设为H。:新能源汽车的电池类型与用户满意情况无关.…1分 X0-20X（85X3565X15》2-号≈10.67>7.879=s.…5分 100×100×150×50 3 根据小概率值α=0.O05的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为新能源汽车的电池类 型与用户满意情况有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.…7分 (2由题意可得-3+4+5+6+7=5，y=17+13+10+8+1=11, 5 5 …9分 则6=-2X6+(-1DX2+0XDt1X（二3)+2X(-=-2.5,…12分 (-2)2+(-1)2+02+12+22 从而a=11-(-2.5)×5=23.5, …13分 故该新能源汽车的充电频率关于续航里程的经验回归方程为y=一2.5.x十23.5.…15分 17.(1)证明：取棱AB的中点O,连接OP,OC. 因为△PAB是边长为2的等边三角形，且O是棱AB的中点，所以OP⊥AB,OP=√3 …1分 因为AC=BC=√7，且O是棱AB的中点，所以OCLAB,则OC=√AC2一OA=√6.… …2分 因为PC=3,所以PC2=OP2十OC2,所以OP⊥OC.…3分 因为OCC平面ABC,ABC平面ABC,且OC∩AB=O,所以OP⊥平面ABC.·4分 因为OPC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.… …5分 (2)解：由(1)可知OB,OC,OP两两垂直，以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴、 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题中数据可得A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√6,0)，P(0,0,√3)， …6分 则AB=(2,0,0),AC=(1,√6,0)，AP=(1,05).…7分 设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,之1)， …AC=x1+61=0令1=5，得n=(5,-1一2)， 则 …8分 n·Ap=x1十3x1=0, 故点B到平面PAC的距离d=n·AB 2√6 _2√6 n /6+1+2 3 …10分 (3)解：由(2)中的空间直角坐标系可得BC=(一1，√6,0)，BP=(一1,0，√3).…11分 设平面PBC的法向量为m=(x2y2,22), m·BC=-x2十6y2=0, 则 令x2=6,得m=(W6,1,W2),…12分 m·Bp=-x2十3之2=0， n·m 6-1-2 故cosn,m)=1nm-√6+1+2X√6+1+2 31 …14分 设二面角A-PC-B为0，则sin0=√1-cos2(n,m〉 一-百-22.即面角APC的 亚弦植为9 15分 a,0x<1, -In x-ax,0<x<1 18.解：(1)f(x)= 所以f(x) …1分 lnx-a.x,x≥l, -a,x≥1， 则f()=-e-a,f'(e)=1 2分 因为曲线y=∫(x)在x=e处的切线与在x=一处的切线的倾斜角互补，所以（一e一a)十 (-a)=0,m ……3分 解得a=2e一2· …4分 (2)(i)令fx)=lnx-ax=0,则a=ln …5分 In x In x-l ,0x<1 0<x<1, 令g)血，则g) 所以g'(x) …6分 nx,x≥1， 1-In x ,x≥1， 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 则g(x)的单调递增区间为(1，e),单调递减区间为(0,1)，(e,十o∞).…7分 又g(1)=0,g(e)=。,f(x)有三个零点，所以a的取值范围为0，。) ……9分 (i)证明：由(i)可知1<x1<e<x2. 要证明x1x>e3,只需证明lnx1十2lnx2>3. 又ln=a1,lnx2=ax2,即证ax1+2ax>3,所以上式等价于证明a>3 x1十2x2‘ …10分 In 由n西=a1ln=ae得ln名=a（x:-,则ag名 T2 In 所以只需证明 x2-x1x1十2x2 …11分 3(-1 即证ln x2、3(x2一x1） x1x1+2x2 1+2 12分 令t=兰，则>1，上式等价于证明1n3t》 …13分 1+2t 令h(t)=lnt- 式则a=}31+2-D-“4 (1+2t)2 t(1+2t)2 …14分 因为t>1,所以h'(t)>0恒成立，所以h(t)在(1，十o∞)上单调递增，…15分 所以当>1时，h()>h(1)=0,即n>3-D 1+2t1 …16分 所以原不等式成立，即x1x>e.…17分 2m+1 19.解：(1)由(2n-1)a+1=(2n十1)am,得an+1一2m-in, …1分 2n+12n+12n-1 圆4之3贤m1m92”十1212-3》 2n-12n-32n-5 ·…·3a1=2n+1, …3分 所以a=2n-1.… …4分 (2)(1)因为集合Am的每个元素在非空子集中出现的次数均为C-1+C-1十C%-1+…十 CW}=2W-1,…5分 所以T+T+T3+…+T-1=(1+3+5+…+2m-1)·21=1+20-1)n.2-1 2 n2.20-,…7分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 bn=(-1)”· T十T+T++T=（-1）n,…8分 2”-1 所以H1=(-12+22)+(-32+44)+(-52+62)+…+(-992+1002)=3+7+11+…+ 199=3+199)X50 =5050.…10分 (i)由题知A,={1,3,5,7,…,2-1}的非空子集有2”-1个. 其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有C,-1个，含 3个元素的子集有C-1个，…，含n个元素的子集有C”个， 所以最小元素为1的子集有C”-1十C-1十C%-1十…十Cw}=2”-1个 …13分 同理可得最小元素为3的子集有C-2十C-2十…十C”二号=2”-2个 ...o 最小元素为2n-1的子集有2°个， 则D1十D2十D3十…+D2-1=1·2”-1+3·2”-2+5·2”-3+…+(2m-1)·2°.…15分 记X=1·2”-1+3·2-2+5·2”-3+…+(2m-1)·2°，① 则2X=1·2”+3·2”-1+5·2"-2+…+(2n-1)·21,② ②-①可得X=2+2X(2-1+2-2+…+2)-2m+1=2*+2×2(2D-2m十1= 2-1 3…2”23.…17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】