专题14 相似三角形十种模型（期末复习专项训练）九年级数学上学期人教版

专题14 相似三角形十种模型 题型1 A字型 题型2 A字型 题型3 射影定理 题型4 一线三等角 题型5 线束模型 题型6 三角形内接矩形 题型7 三平行模型 题型8 手拉手模型 题型9 特殊平行四边形与相似三角形综合 题型10 作平行线构造模型 题型1 A字型 1．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 2．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 3．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 4．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 5.在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 题型2 8字型 1．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 4．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 题型3 射影定理 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（    ）    A． B． C． D． 2．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB； （2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值； （3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH的值为　 　． 3．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 题型4 一线三等角 1．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 题型5 线束模型 1．[基础巩固] （1） 如图1， 在中， D、E、F分别为上的点，，交于点G， 求证：； [尝试应用] （2）如图2， 在（1）的条件下， 连接．若， 求 的值： [拓展提高] （3）如图3， 在中，，与交于点O， E为上一点，交于点G， 交于点 F．若平分，求 的长． 2．[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 题型6 三角形内接矩形 1．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 2．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 3．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 4．在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 5．如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 题型7 三平行模型 1．如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为 ． 2．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．    4．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 题型8 手拉手模型 1．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 2．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 题型9 特殊平行四边形与相似三角形综合 1．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 2．综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．          (1)基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． (2)构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． (3)如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 3．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)证明：平行四边形是菱形； (2)如图2，若，连接、、， ①求证：； ②若为中点，，、分别与相交于点、，求的值． 4．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 题型10 作平行线构造模型 1．【初步感知】 （1）如图1，是的中线，点在边上，且，连接交于点，过点作交于点，则的值为_____； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，点为边上一点，且，连接，过点作于点，延长交边于点．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某市有一处形状为的物流中心，现计划在边上设立一处装卸点，点为边的中点，并在边上找一点，设立一个仓库，使得，沿、铺设两条水泥路，连接与、分别交于点、，并在点、处设立临时中转站，请你帮助工作人员求出的值．（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计） 2．综合与探究 (1)如图1，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______． (2)如图3，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． (3)如图4，点分别在的边上，，，，是的中点，连接，并延长交于点，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 相似三角形十种模型 题型1 A字型 题型2 A字型 题型3 射影定理 题型4 一线三等角 题型5 线束模型 题型6 三角形内接矩形 题型7 三平行模型 题型8 手拉手模型 题型9 特殊平行四边形与相似三角形综合 题型10 作平行线构造模型 题型1 A字型 1．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 2．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 3．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似 ，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 4．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 5.在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题型2 8字型 1．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 4．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 题型3 射影定理 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解． 【详解】如图，过点F作FH⊥AC于H．    在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB= ， ∵CD⊥AB， ∴CD=AD= ， ∵FH∥EC， ∴， ∵EC=EB=2， ∴， ∴设FH=，则AH=，CH=4-， ∵∠FCH=45° ∴CH=FH ∴ 解得 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形． 2．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB； （2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值； （3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH的值为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出∠B=∠ACD，证明△CBD∽△ACD，得出CD：AD=BD：CD，即可得出结论； （2）设FH=4a，则HE=9a（a＞0），同（1）得CH2=HE•FH=36a2，则CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=＝，过D作DP⊥AC于P，则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD=＝，△ADP是等腰直角三角形，得出AP=DP，求出＝＝，由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点D作DM⊥AH于M，设DH=2x，则CH=6x（x＞0），CD=DH+CH=8x，证明△ADH∽△CDA，得出∠DAH=∠ACH，AD：CD=DH：AD，求出AD=4x，证明△ADM是等腰直角三角形，得出DM=HM=DH=x，由勾股定理得出AM=x，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴△CBD∽△ACD， ∴CD：AD＝BD：CD， ∴CD2＝AD•DB； （2）∵＝， ∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0）， ∵∠ACB＝90°，EF⊥CD， ∴同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×4a＝36a2， ∴CH＝6a， 在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝， 过D作DP⊥AC于P，如图2所示： 则DP∥BC， 在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∴△ADP是等腰直角三角形， ∴AP＝DP， ∴＝＝， ∵DP∥BC， ∴＝＝； （3）过点D作DM⊥AH于M，如图3所示： ∵CH＝3DH， ∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0）， ∴CD＝DH+CH＝8x， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°＝∠AHD， 又∵∠ADH＝∠CDA， ∴△ADH∽△CDA， ∴∠DAH＝∠ACH，AD：CD＝DH：AD， ∴AD2＝DH•CD＝16x2， ∴AD＝4x， ∵DM⊥AH，∠AHD＝45°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴DM＝HM＝DH＝x， ∴AM＝＝＝x， ∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 3．如图，中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到对应边成比例，将式子变形即可得证； （2）先证明，得到对应边成比例，将式子变形得到，进而化简即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， 是斜边上的高， ， ， ． ， ， ， ； （2）证明：，， ， ． ． 题型4 一线三等角 1．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 题型5 线束模型 1．[基础巩固] （1） 如图1， 在中， D、E、F分别为上的点，，交于点G， 求证：； [尝试应用] （2）如图2， 在（1）的条件下， 连接．若， 求 的值： [拓展提高] （3）如图3， 在中，，与交于点O， E为上一点，交于点G， 交于点 F．若平分，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长交于M，连接，过点M作于N， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 2．[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）证明： ， ，， ，， ， ； （2）如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 题型6 三角形内接矩形 1．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】达到这个最大值时矩形零件的两条边长， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：如图1，设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； 如图2，设，矩形的面积为， 由条件可得， ，即， 解得：， ∴， ∴的最大值为，此时，， ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长，． 2．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长为 (2)这个矩形面积的最大值是 (3)平行四边形的面积为 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是矩形，设，则，证明，得到，即，解方程的即可求解； （2）结合（1）设，则，则，根据面积公式，结合二次函数图象的性质求解即可； （3）如图所示，过点作于点，交于点，同理，，则，由等面积法得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当加工零件是正方形时，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴加工成的正方形零件的边长为； （2）解：根据题意，四边形是矩形，四边形是矩形，，， 设，则， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴这个矩形面积的最大值是； （3）解：如图所示，过点作于点，交于点， 同理，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 3．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)① ②当时，取最大值，最大值是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例列方程． (1)根据正方形的性质可证，根据相似三角形的性质可得，设正方形的边长为，可列方程，解方程即可求出正方形的边长； (2)①设，，根据矩形的性质可得，根据相似三角形对应边成比例可得函数关系式； ②根据矩形的面积公式可得：，利用二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值是． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ，，， ， ， 设正方形的边长为， ， ， 答：这个正方形的边长是； （2）①解：在矩形中，，， ， ，， ， ， ， ， ； ②解：由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 4．在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）先求出，再用面积法可得答案； （2）过点C作于点M，交DG于点N，证明，可得，设，则，即可求得的值，从而求出矩形的周长； （3）过点C作于点M，交DG于点N，设，则，同（2）可得，解得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 【提示】如图①，过点C作于点M， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得：． 解：如图①，过点C作于点M，交DG于点N． 由（1）得． 四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ， ． 设，则， 解得， 矩形的周长为． （2）． 【提示】过点C作于点M，交DG于点N，如图②． 矩形的周长是DE长的8倍， 设，则， 由（2）知， ，解得，即， 矩形的周长是． 【点睛】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 5．如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【答案】(1)4.8 (2)， (3)最大面积是24，此时， 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的性质和矩形的性质，利用相似三角形的性质构建方程是解题关键． （1）与交于于E，设，则，再证明，利用相似比可求出正方形边长； （2）设长方形的，则，由，利用相似比列方程即可得到结果； （3）设，矩形的面积为S，利用得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 【详解】（1）解：设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴正方形的边长是； （2）设，则，由（1）得， ∴，即，解得， ∴，； （3）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，矩形的面积为S， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S的最大值为24， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，． 题型7 三平行模型 1．如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质．由，，得，可得，，从而得，，把两式相加得，从而求出的长度． 【详解】解：，，， ∴， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．    【答案】米 【分析】首先可证，得，则（米，再证，根据对应边成比例可得的长，用即可得出答案． 【详解】解：，， ， 又， ， 同理可得， 点是的中点， （米， ， （米， 米， （米， ， （米， 甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：（米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形，还要注意数形结合思想的应用． 4．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得： ． 题型8 手拉手模型 1．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 2．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 题型9 特殊平行四边形与相似三角形综合 1．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．          (1)基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． (2)构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． (3)如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 【答案】(1)①；②； (2)45 (3)①见解析；② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确掌握各判定和性质定理及正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①根据垂直的定义及同角的余角相等推出，由此证明； ②根据证得，由此得到； （2）如图，在边上取点H，使，连接，证明，推出，即可求出的度数； （3）过E作的延长线于M，的延长线于N．证明，推出，得到，，同理，，，得到，即可证得，推出，即K是中点；根据 得出． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为； （2）如图，在边上取点H，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为45； （3）①如图，过E作的延长线于M，的延长线于N． ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即K是中点； ②∵ ∴， 故答案为： 3．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)证明：平行四边形是菱形； (2)如图2，若，连接、、， ①求证：； ②若为中点，，、分别与相交于点、，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案； （2）①先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论； ②利用直角三角形的性质结合勾股定理，求得，，证明，求得，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， 的平分线交于点E，交的延长线于F， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）①证明：由题知，， 在平行四边形中，， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ； ②解：作于点， ∵平行四边形中，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1），， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2），， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 题型10 作平行线构造模型 1．【初步感知】 （1）如图1，是的中线，点在边上，且，连接交于点，过点作交于点，则的值为_____； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，点为边上一点，且，连接，过点作于点，延长交边于点．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某市有一处形状为的物流中心，现计划在边上设立一处装卸点，点为边的中点，并在边上找一点，设立一个仓库，使得，沿、铺设两条水泥路，连接与、分别交于点、，并在点、处设立临时中转站，请你帮助工作人员求出的值．（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计） 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】（1）根据，可得，，可得，，从而得到，即可解答； （2）取的中点，连接，可得为的中位线，可得到，即可求解； （3）过点作交于点，可得为的中位线，再结合四边形是平行四边形，可证明，从而得到．再证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：3 （2）如图2，取的中点，连接， ， ，即点为的中点， 为的中位线， ， ， ． ， ， ， ， ． （3）如图3，过点作交于点， 点为的中点， ， ， ，即， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，根据题意，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．综合与探究 (1)如图1，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______． (2)如图3，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． (3)如图4，点分别在的边上，，，，是的中点，连接，并延长交于点，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加平行线构造相似三角形． （1）过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由相似三角形的性质即可求求解； （2）过点作，交的延长线于点，则，则，设，，再由平行得到，即可求解； （3）过点作，交于点，交于点，则是的中位线，，可得四边形是平行四边形，设，则，由平行得到，则，那么，可得四边形是平行四边形，由平行得，则，再表示，即可的值． 【详解】（1）解：过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ． ， ． 设，． ， ∴， ． ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，交于点． ∴， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 设，则． ∵， ∴， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $