专题07 相似三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题07 相似三角形 【考点01：比例的性质】 【考点02：比例线段】 【考点03：黄金分割】 【考点04：相似图形】 【考点05：平行线分线段成比例】 【考点06：相似三角形的性质】 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【考点08：相似三角形的应用】 【考点09：作图-相似变换】 【考点10：位似变换】 优网 知识点1：比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2：黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 知识点3：相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点5：平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点6：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点7： 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点8：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 知识点9：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 知识点10：位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11：位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 知识点12：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13：作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 知识点14：利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点15：利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点01：比例的性质】 【典例1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 【变式1-3】已知，那么的值为 ． 【考点02：比例线段】 【典例2】下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【变式2-1】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若x是3和4的比例中项，则 ． 【变式2-3】若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，、则 ． 【考点03：黄金分割】 【典例3】如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【变式3-2】如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为 米． 【变式3-3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 【考点04：相似图形】 【典例4】下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【变式4-2】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【考点05：平行线分线段成比例】 【典例5】如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式5-3】如图，，若，，，则的长度是 ． 【考点06：相似三角形的性质】 【典例6】在中，，，点，分别在，上，连接，与相似，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式6-1】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．3 B．9 C．12 D．6 【变式6-2】若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【典例7】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F． (1)如果，，求半径； (2)求证：． 【变式7-1】如图，在中，，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【变式7-2】已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点(不与B，C点重合)，． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式， (3)当时，求的长是多少？ 【变式7-3】如图，在矩形，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点08：相似三角形的应用】 【典例8】在一次综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择标杆、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，教学楼为，为标杆．如图，当小颖、标杆、教学楼位于同一水平直线时，同学们调节标杆的位置，使得点B、D、F恰好在同一直线上，此时测得，，已知标杆长为3m，求教学楼的高度． 【变式8-1】一块直角三角形木板的一条直角边为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？ 【变式8-2】小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，小希站在处，眼睛到地面的距离米，这时恰好在镜子里看到树的顶端．小组其他同学用皮尺分别量得米，米．已知，，均垂直于地面，且，，在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树的高度． 【变式8-3】如图，墙壁处有一盏灯，小明站在处测得其影长与身高相等，都为．小明向墙壁走到处，发现影子刚好落在点．求灯泡与地面的距离的长．（精确到） 【考点09：作图-相似变换】 【典例9】在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的； (3)画出将绕着点O逆时针旋转后的，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留） 【变式9-2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【变式9-3】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【考点10：位似变换】 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ． 【变式10-1】如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．周长为4，若，财的周长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，已知，，，线段的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果一标杆高米，测得此标杆的影长为米，那么在同一时刻影长为米的旗杆的高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 7．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．如图，在中，点在上，且，则 ． 11．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．    三、解答题 12．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 13．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 15．如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 16．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形 【考点01：比例的性质】 【考点02：比例线段】 【考点03：黄金分割】 【考点04：相似图形】 【考点05：平行线分线段成比例】 【考点06：相似三角形的性质】 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【考点08：相似三角形的应用】 【考点09：作图-相似变换】 【考点10：位似变换】 优网 知识点1：比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2：黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 知识点3：相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点5：平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点6：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点7： 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点8：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 知识点9：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 知识点10：位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11：位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 知识点12：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13：作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 知识点14：利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点15：利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点01：比例的性质】 【典例1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【变式1-1】已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质可得，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式1-2】若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的求值，比例的性质，学会变形已知条件，使变形所得到的式子在所求的式子中能用得上是解题的关键． 我们可以用设参数法，设，然后用k表示出a和b，再代入到中进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 将，代入可得： = =， 故选：A． 【变式1-3】已知，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等比性质，解题关键是掌握等比性质．根据直接求解即可． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【考点02：比例线段】 【典例2】下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 【变式2-1】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 【变式2-2】若x是3和4的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例中项的概念，得，则x可求出来． 【详解】解：∵x是3和4的比例中项， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，、则 ． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义列式计算即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，且，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【考点03：黄金分割】 【典例3】如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查黄金分割，注意黄金分割的比值是，即分得的较长线段等于总线段的．根据黄金比值计算即可． 【详解】∵是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用等知识点，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答 ，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】∵点C是线段上靠近点A的黄金分割点，，米， ∴米， ∴米， ∴主持人与点A的距离为米， 故答案为：米． 【变式3-3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． 【考点04：相似图形】 【典例4】下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似； 故选：B． 【变式4-1】下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 【考点05：平行线分线段成比例】 【典例5】如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，结合，则，可判断A；，结合题意得和，则，可判断B；由，结合已知得和，则，可判定C；由和，则，可判定D． 【详解】解：， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】解：由，，不妨设，，， 故选：C． 【变式5-2】如图，已知，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-3】如图，，若，，，则的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练利用平行线分线段成比例计算求值是解题的关键，由可得，再代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【考点06：相似三角形的性质】 【典例6】在中，，，点，分别在，上，连接，与相似，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值为或， 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．3 B．9 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据点分别是边的中点，可以得到是三角形的中位线，即可得到，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点分别是边的中点， ∴是三角形的中位线， ， ， ， ， ∴四边形的面积， 故选：B． 【变式6-2】若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 根据题意可得相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比得出答案． 【详解】∵， ∴这两个三角形的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 【变式6-3】在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， D是的中点， ∴； ①当时，则：， ∴； ②当时，则：，即：， ∴； 故答案为：或． 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【典例7】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F． (1)如果，，求半径； (2)求证：． 【答案】(1)半径为5； (2)见解析 【分析】（1）设半径为r，用勾股定理解求出圆的半径； （2）利用垂直平分线及等腰三角形三线合一的性质，推出，等量代换得出，进而证明，推出，即可证明． 【详解】（1）解：直径垂直于弦， ， ， ， 设半径为r， ， ， 在中，， ， 解得， 半径为5； （2）证明：直径垂直于弦， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，利用相似三角形求解是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由，，可得，证明即可； （2）由（1）得，即，如图，连接，则为中位线，，，证明，则，即，求出，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ． （2）解：∵， ，而，， ， ， 如图，连接， ，， 为中点， 为中点， 为中位线， ∴，， ， ，即， ， ，即， 解得； 的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点(不与B，C点重合)，． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式， (3)当时，求的长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先证得，，进而利用相似三角形的判定可得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例列比例式求解即可； （3）将代入（2）中函数关系式求解x值即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，， ∴， ∵，，， ∴，即， 整理，得； （3）解：∵， ∴， 整理，得，， 即的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 【变式7-3】如图，在矩形，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) ． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由矩形的性质得，；由已知条件可得，即可得证； （2）由勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ∴． ， ． ． （2）解： 是的中点，， ， ，， ． 四边形是矩形， ． ， ． ． 【考点08：相似三角形的应用】 【典例8】在一次综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择标杆、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，教学楼为，为标杆．如图，当小颖、标杆、教学楼位于同一水平直线时，同学们调节标杆的位置，使得点B、D、F恰好在同一直线上，此时测得，，已知标杆长为3m，求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过B作于H，交于Q，可推出四边形是矩形，同理可得、都是矩形，根据矩形的性质求出和的长，再利用相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过B作于H，交于Q， ， ， 由题意得，， 四边形是矩形， 同理可得，四边形、都是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ． 答：教学楼的高度为． 【变式8-1】一块直角三角形木板的一条直角边为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？ 【答案】小明，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用，图中，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；图中，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求得．首先根据勾股定理求得直角三角形的直角边，再根据找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】解：由得. 设小明加工的桌面边长为. 因为， 所以， 所以， 所以，即， 解得； 设小华加工的桌面边长为，过点作于点，交于点， 因为 所以， 因为 所以， 因为， 所以， 所以， 所以即 ， 解得， 因为，所以 故小明的加工方案符合要求. 【变式8-2】小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，小希站在处，眼睛到地面的距离米，这时恰好在镜子里看到树的顶端．小组其他同学用皮尺分别量得米，米．已知，，均垂直于地面，且，，在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为4.15米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，米，，从而可得，米，再根据题意可得：，从而可得，然后利用相似三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：米，米，米，， ， 米， （米， 由题意得：， ， ， ， 解得：， （米， 这棵树的高度为4.15米． 【变式8-3】如图，墙壁处有一盏灯，小明站在处测得其影长与身高相等，都为．小明向墙壁走到处，发现影子刚好落在点．求灯泡与地面的距离的长．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，​，​，​，设，分别由、可得，，即得，求出的值即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 设， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：灯泡与地面的距离约为． 【考点09：作图-相似变换】 【典例9】在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的； (3)画出将绕着点O逆时针旋转后的，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到、、的坐标，然后描点，顺次连接即可； （3）根据旋转的性质画出图形即可，由勾股定理得出，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，即为所作， ，， ∴点A走过的路径长是． 【点睛】本题考查了作图—平移变换、旋转变换、位似变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式9-2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 【变式9-3】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可． （3）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵点是的中点， 点是的中点， 根据作图可知：，， 点的坐标为； （3）解：如图，即为所求． 【考点10：位似变换】 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式10-1】如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．周长为4，若，财的周长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵，即， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的周长比为， 周长为4， 的周长为12． 故选：A． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．过点A作轴于点E，过点作轴于点F，根据题意可得出，，结合相似三角形的性质即可求出和的长，即得出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，． ∵的位似图形为， ∴， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：B． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似的性质，沿着方向放大时，即；当沿着方向放大时，即，解答即可． 本题考查了坐标系中位似计算，熟练掌握分类计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得沿着方向放大时，即；当沿着方向放大时，即， 故选：C． 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例． 按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； B. ，条线段成比例，故选项符合题意； C. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； D. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； 故选：． 2．如图，已知，，，线段的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 3．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果一标杆高米，测得此标杆的影长为米，那么在同一时刻影长为米的旗杆的高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，结合相似三角形的对应边之比相等，列出方程，解方程即可求出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高为米， 根据题意可得：， 解得：． 即影长为米的旗杆的高为米． 故选：C． 4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意； D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意； 故选：C 5．如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再证明，据此根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 7．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 10．如图，在中，点在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，由平行四边形的性质得，，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图：    设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 三、解答题 12．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 13．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； （2）直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ． （2）解：， ， 由（1）知，， ， 即， 或4，经检验，符合题意； 答：或4． 14．如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， （负值舍去） 15．如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． （1）先证，得，进而得，再由，得，计算可得答案； （2）作的平分线交于点G，得，进而得，，再由平行线的性质得，设，则，再由，得，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴，即， ； （2）解：作的平分线交于点G，连接， ∴， 又∵， ∴， ，， ， 设，则， 又 ， ， 即， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 16．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到，则，即可证明结论； （3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$