精品解析：福建省莆田第十五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期第二次月考 高一数学试题 命题人：备课组 审核人:备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由交集的概念即可求解. 【详解】由题意集合，，则. 故选：C. 2. 已知函数，与互为反函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数互为反函数求解即可. 【详解】因为与互为反函数， 所以， 所以 故选：B. 3. 已知函数则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量所处的范围，代入分段函数解析式即可求得结果. 【详解】因为，所以， 故选：A. 4. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为， ， 所以， 所以的零点所在的一个区间为， 故选：B 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案. 【详解】得到，得到， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的性质，借助“”与“”，即可判断大小关系. 【详解】因为，， 所以 故选:A 7. 已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性和复合函数的性质求解即可. 【详解】对于任意，当时，总有，可得函数在区间上单调递增. 函数是由与复合而成， 因为在上单调递增，由复合函数的单调法则可知，只须在上单调递增即可， 该二次函数的对称轴为，或， 由二次函数的单调性可知在单调递增，所以区间是或它的子区间， 故选：. 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A. 300年 B. 255年 C. 175年 D. 125年 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案． 【详解】依题意可得， 即， 所以． 故选：A． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可求解A，根据存在命题的否定为全称命题即可判定B，根据对勾函数的单调性即可求解C，根据判别式以及分类讨论即可求解D. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确， 对于C，由于，函数在单调递增，故，故C错误， 对于D,当时，不等式恒成立， 当时，要使不等式恒成立，则， 解得，故则的取值范围是，D正确， 故选：BD 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】对于A：因为，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 对于C：因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时，有最大值 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由奇偶性可判断选项正误；B选项，，，即可判断单调性； C选项，注意到此时，即可判断函数最大值；D选项，注意到此时，结合奇偶性可判断值域. 【详解】A选项，注意到的定义域为，关于原点对称，且，则为偶函数，即的图象关于轴对称，故A正确； B选项，时，，因函数在上单调递增，则在上单调递减，故B正确； C选项，此时，当时，单调递增，当时，单调递减，则，即有最大值，故C正确； D选项，，由奇偶性可知，仅判断时的值域即可.当时，由C选项分析可知，当时， ，则的值域为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、对数的性质求函数定义域. 【详解】由题设，可得，故定义域为. 故答案为： 13. 已知函数（且）的图象恒过定点坐标__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的性质可得结论. 【详解】令，解得. 当时，. 即函数恒过定点. 故答案为：. 14. 已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决. 【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标， 当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数， 在坐标平面内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点， 所以实数的取值范围是：. 故答案为： 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)利用指数幂的运算法则计算即可求解； (2)利用对数的运算法则化简计算即可得解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 设集合，． （1）若时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念进行运算即可. （2）问题转化为，求实数的取值范围，需分和讨论. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ①当B是空集时，∴，解得， ②当B不是空集时，则，∴． 综上所述：. 17. 已知函数（），且. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的奇偶性. 【答案】（1） （2） 由（1）知，则函数是奇函数，证明如下： 显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式直接计算即可. （2）由函数奇偶性的定义判定并证明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 略 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义求解析式. （2）根据对数函数的定义域和单调性，将函数不等式转化为代数不等式求解. 【小问1详解】 依题意，，解得或， 又且，故， ∴. 【小问2详解】 不等式化为， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 19. 已知函数，. （1）求函数的定义域； （2）若不等式在上恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，即可解决； （2）由函数在上单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，即可解决. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以函数定义域满足，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为， 所以，即， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 又因为， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二次月考 高一数学试题 命题人：备课组 审核人:备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，与互为反函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知函数则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 4. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是 A. B. C. D. 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A. 300年 B. 255年 C. 175年 D. 125年 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时，有最大值 D. 的值域为 三、填空题 12. 函数的定义域为______． 13. 已知函数（且）的图象恒过定点坐标__________. 14. 已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15. 求值： （1）； （2）. 16. 设集合，． （1）若时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数（），且. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的奇偶性. 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）解不等式：. 19. 已知函数，. （1）求函数的定义域； （2）若不等式在上恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $