2026年四川省成都一诊复习训练 特殊四边形证明

特殊四边形证明 1. 如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求的长及四边形的面积． 2. 如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 3. 已知：矩形中，点E在边上，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，求线段的长． 4. 如图1，在平行四边形中，E，F分别为，的中点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，且，O为的中点． ① 的中点为M，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，平分交于点G，连接GO，若，，求的长． 5. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求AB的长． 6. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 7. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 8. 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：四边形为菱形． 9. 如图，在平行四边形中，F为边上一点，连接并延长至点E，连接．已知，． (1)求证：； (2)连接与相交于点O，连． ①若，求证：四边形为菱形； ②若，，请求出此时的长． 10. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．    （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 11. （1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，求四边形的面积． 12. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 13. 在中，，，，是的中点，将绕点旋转得到（点，的对应点分别为，），点不在直线上，连结． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点，连接，，求线段的长． 14. 如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． (1)求对角线的长度； (2)若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 15. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，，交于点B，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，交于点F，若，，求的长． 16. 如图，点为线段上一点，满足，，． (1)求长度； (2)求证：． 17. 如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q． (1)求线段的长； (2)求的大小； (3)求正方形的边长． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 19. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 20. 已知，如图，在中，，，点分别是斜边上的两点，且． (1)现将绕点顺时针旋转到，连接，请判定三角形的形状，证明你的结论． (2)若，，求的长． 21. 如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 22. 如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，点与点重合时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊四边形证明 1. 如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可得证． （2）过点B作于点G，连接，交于点M，利用直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，解答即可． 【详解】（1）证明：∵，． ∴四边形是平行四边形． ∵，为的中线， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：过点B作于点G，连接，交于点M， ∵，为的中线， ∴． ∵，， ∴是等边三角形，，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为： ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 2. 如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠变换的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，有判定定理即可证明结论； （2）设，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图 ， ∴ 在中，由勾股定理可得， ， 作 ， 设， ， 由折叠可得， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得： ， ， ， ． 3. 已知：矩形中，点E在边上，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的性质第二部分知识点，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． （1）利用平行四边形的性质，先求，后证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：作于点H，连接，设，由上得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，即，代入数值可得，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点F ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图：作于点H，连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴代入上式可得：，即， 解得：，（舍）， ∴． 4. 如图1，在平行四边形中，E，F分别为，的中点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，且，O为的中点． ① 的中点为M，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，平分交于点G，连接GO，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，见解析．② 12 【知识点】用HL证全等（HL）、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定证明即可． （2）① 根据三角形中位线定理，结合菱形的判定证明即可． ② 过点G作于点N，过点O作于点M，利用角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理计算即可． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，， ∵ E，F分别为，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）①四边形是菱形．理由如下： ∵E为的中点，O为的中点． ∴；    ∵E为的中点，的中点为M，． ∴； ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ②过点G作于点N，过点O作于点M， ∵E为的中点，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，角的平分线性质定理，三角形全等的判断和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握菱形的判定，中位线定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查了菱形的判定，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）根据矩形性质求出，可得，证明，得，所以得平行四边形，进而可以解决问题； （2）根据菱形性质求出，在中，由勾股定理得，根据，进而可得出答案． 【详解】（1）证明:∵四边形是矩形 ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ， ∴， ∴ 6. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）证△（），得，，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． 7. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 8. 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定； （1）证明四边形是平行四边形，得出，求出即可得解； （2）证明，可得，然后证明，根据菱形的判定定理可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ； （2）证明：∵， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 9. 如图，在平行四边形中，F为边上一点，连接并延长至点E，连接．已知，． (1)求证：； (2)连接与相交于点O，连． ①若，求证：四边形为菱形； ②若，，请求出此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，再证明，即可证明； （2）①先证明，得到，得到，结合，得到四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明平行四边形为菱形． ②根据得到，根据得到，根据且得到，进而得到， ，求得，从而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴且， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴（舍去）或， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的解法等着知识，综合性较强，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 10. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．    （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①60°，②. 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、证明四边形是矩形、利用矩形的性质求角度 【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形 （2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC 【详解】解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1 ∴∠BAC=60°，AC=2，BC= 又∵矩形ABCD中，OA=OB ∴∠AOB=180°-2∠BAC=60° S□ABCD=1×= 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键. 11. （1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）①四边形是菱形，理由见解析  ②  （2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由矩形的性质得，则四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得，即可得出结论；②设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题； （2）设，则，证四边形是平行四边形, 再证, 得 ，然后由勾股定理得出方程，得，即可解决问题． 【详解】解：（1）①四边形是菱形，理由如下: ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②由①可知，， 设, 则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得: ， ∴ ， ； （2）设，则， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得:， 解得: 或(不合题意舍去) ， ∴, ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、二次根式的乘法 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【详解】（1）证明： 正方形ABCD， （2）如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 13. 在中，，，，是的中点，将绕点旋转得到（点，的对应点分别为，），点不在直线上，连结． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点，连接，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据旋转的性质求解、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理． （1）根据旋转得性质可得，证明四边形是平行四边形，再由其对角线相等即可证明． （2）根据同角的余角相等得，进而得出，，于是，利用勾股定理求得，进而得出． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到，是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14. 如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． (1)求对角线的长度； (2)若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，理解并掌握菱形的性质是解题关键． （1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可； （2）①根据题意，补齐图形即可；②证明四边形为平行四边形，根据直角三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，与相交于点， ，， ， ； （2））①根据题意把图形补充完整： ②， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 三角形的面积． 15. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，，交于点B，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，继而可得四边形是菱形，为等边三角形，则，再根据角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点为中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是菱形，为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如图，点为线段上一点，满足，，． (1)求长度； (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，证明，则，即，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，，由， ，可证结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长度为4； （2）证明：∵ ∴由勾股定理得，，， ∴， ∵， ， ∴． 17. 如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q． (1)求线段的长； (2)求的大小； (3)求正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质（对边相等、内角为 ）、图形旋转的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用旋转性质构造等腰直角三角形和直角三角形，将已知线段长度与角度关系转化到直角三角形中，通过勾股定理及其逆定理求解未知线段和角度． （1）先根据正方形性质得，由旋转性质得，，判定为等腰直角三角形，然后用勾股定理计算的长； （2）先由等腰直角三角形得，再计算、、（），通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得，最后根据平角定义计算； （3）过作于，由判定为等腰直角三角形，结合求出，计算，最后在中用勾股定理求（正方形边长）． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，， 沿点旋转至， ，， 是等腰直角三角形， ； （2）解：是等腰直角三角形， 在中，，， ， ， 为直角三角形，， ； （3）解：作，垂足为， ，， ∴，且， ， ， ． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据矩形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据其邻边相等即可证明为菱形； （2）根据矩形的性质得到，，那么，可求，则，由于四边形是菱形，则其为轴对称图形，故四边形的面积为面积的2倍． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴其为轴对称图形， ∴， ∴四边形的面积为：． 19. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【详解】（1）证明: 在中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ，   ∴， 又∵，   ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 20. 已知，如图，在中，，，点分别是斜边上的两点，且． (1)现将绕点顺时针旋转到，连接，请判定三角形的形状，证明你的结论． (2)若，，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（）由旋转性质可知，，则有，然后证明，根据全等三角形的性质得，，所以； （）由旋转性质可知，，再证明，则，，然后在中利用勾股定理求得的长，根据线段和差求出的长，最后再由勾股定理即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：是直角三角形， 证明：由题意得 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：由旋转性质可知：，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， 由（）可知：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴ ， 21. 如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意得到，，，推出四边形平行四边形，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）过点K作于H，根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形， ∴，，，， ∴四边形平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点K作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 22. 如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，点与点重合时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】根据折叠的性质可知，，，，根据矩形的性质可证，等量代换可得，根据等角对等边可得，从而可得，根据四条边相等的四边形是菱形可证结论成立； 利用勾股定理可以求出，设菱形的边长为，则有，在中，所以可得，解方程可以求出，利用菱形的性质可知是直角三角形，根据勾股定理可以求出，根据菱形的性质可知． 【详解】（1）证明：根据折叠的性质可知，，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：矩形中，， ， 设菱形的边长为， 则有， ， 在中，， ， 解得：， 在中，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是根据折叠的性质找到相等的边和角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $