2026年四川省成都一诊复习训练 一次函数与反比例函数综合

一次函数与反比例函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式等知识点．分类讨论问题求解是解答本题的关键． （1）把点坐标代入直线的表达式求得即可得到点坐标，然后根据求得反比例函数表达式． （2）先联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标，然后分、、三点分别为中点的情况进行计算求出点坐标． （3）分和两种情况进行讨论，根据双曲线图象的性质判定的情况不存在，再利用点在的垂直平分线上由求得点坐标，最后通过、两点坐标由待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线：得： ，则，点坐标为， 根据反比例函数的性质，， 反比例函数的表达式为， 故点坐标为，反比例函数的表达式为 （2）解：联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标： ，解得或 点坐标为 当点为的中点， 、两点关于点中心对称． 反比例函数的图象关于原点对称． 故点与平面直角坐标系原点重合，如图所示． 点与点关于原点对称． 、两点横纵坐标分别互为相反数． 点坐标为 当点为的中点时，，如图， 则 ， 点坐标为 当点为中点时，如图． ， 点坐标为 故点的坐标为或或 （3）解：由、两点坐标可得 以为腰的等腰三角形分为两种情况： 当时， 如图，图象与关于直线相交于、两点轴对称． 根据反比例函数图象的性质，图象上两点在第一、三象限之间最短距离为 联立和，解得、坐标分别为、 故这种情况不存在． 当时，点在的垂直平分线上，即在直线上． 如图．直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，与直线交于点，过点、分别作轴的垂线与点到轴的垂线分别交于点、，则轴． 设点坐标为，， 根据平行线分线段成比例的性质得： ，，， ，解得； ，解得 又 ， 解得或（负值舍掉）， 点坐标为 设直线表达式为：，代入、两点坐标建立方程组得： ， 解得 故直线的函数表达式为： 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积； （3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为：． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立，解得或， ∴另一个交点的坐标为． （2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∵点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， 又∵， ∴． （3）解：过点作轴交轴于点，如图： ∵点的坐标为， ∴，， 对于一次函数，当时，，当时，， 即点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵轴上存在一点，使与相似， ∴有以下两种情况， ①当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 综上所述：点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线相交于，其中点． (1)如图，当时， ①求点坐标； ②连接并延长，交双曲线于另一点，射线平分，若于点，求点的坐标； (2)如图，若直线分别交双曲线于第一、三象限，点关于原点的对称点为点，连接，若线段的长为，求的值． 【答案】(1)①，② (2)或3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、斜边的中线等于斜边的一半、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题： （1）①将代入求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数解析式，联立一次函数与反比例函数，即可求得点的坐标； ②先求得点的坐标，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求得，结合等边对等角和角平分线的性质推出，可得直线的解析式为，进而求解； （2）根据题意可知有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，求得点的坐标，进而可得点的坐标，根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①将代入，得， ， 直线l：与双曲线相交于， 当时，， 将代入，得， 解得， 此时直线l的解析式为， 联立，解得， 当时，，即点的坐标为； ②设直线的解析式为， 将点代入，得 直线的解析式为， 联立，解得， 当时，，即点的坐标为， ， 如图，连接， 于点， ，且， 射线平分， ， ， 直线的解析式为， 设， 则 解得（舍去负值）， ； （2）解：直线l：与双曲线相交于，，， ，整理得，方程有两个不相等的实数根，其中一个根为， ，即， ，则， 线段的长为， ， 解得：或3（舍去负值）． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、 求矩形在坐标系中的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可； （2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 把代入得，， 反比例函数的表达式为； ， 或； （2）解：设点，过点作轴平行线交直线于， 点， ， ， ， 解得或，（负数已舍）， 点的坐标为或； （3）解：点位于点左侧， ， ①当四边形为矩形时， 如图：过作直线轴，过作直线，过作直线， ， ， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为， 代入， 得， 直线解析式为， 联立得， ， 或2， ， 移动到， 移动到， ， ②当为矩形时， ， 设直线解析式为， 代入，得， 直线解析式为， 联立得， ， 或1， ， 移动到， 移动到， ， 综上所述，点的坐标为或． 5．如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点，点是轴上的一个动点．点是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值； (3)如图2，若点，连接，将线段以点为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由得出，从而得到，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴于，轴于，交直线于，设，则，表示出，，，解直角三角形得出，推出，则，当、、在同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为，求出，作点关于轴的对称点为，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，则，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，由勾股定理计算出最小值； （3）过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则，由旋转的性质可得，，证明，，，从而得出，设直线与直线交于，证明，得出，作于，则，得到的横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，得到，待定系数法得出直线的解析式为，联立，解得：，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴于，轴于，交直线于， ， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当、、在同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为， ∵， ∴在中，当时，，即， 如图，作点关于轴的对称点为，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，最小值为； （3）解：在反比例函数上存在一点，使得，理由如下： 过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线与直线交于， ∵，， ∴， ∴， 作于，则， ∴的横坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 当时，，当时，， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；② (2)存在，3 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答； ②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可； （2）连接，易证E是中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标即可得解． 本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴A点坐标为， ∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为， ∵反比例函数图象上有A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 整理可得：， 解得（负值舍去）， ∴点B的坐标为． （2）解：连接， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴ ∴E为中点， ∴为的中位线 ∴， ∵D点坐标为， ∴A点坐标为， 则， ∴反比例函数表达式为， 设点B的坐标为， ∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点， ∴， ∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧， ∴， ∴， ∴点E始终在直线的下方， ∴a的最小值为3． 8．如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． (1)若，求反比例函数的表达式； (2)试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； (3)如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】(1) (2)是定值 (3) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由A、B两点坐标结合线段平移的性质得到点E的坐标，然后由反比例函数的定义求出k值即可． （2）证明，可得，进而求出和关于n的表达式，即可得出结论． （3）先由待定系数法求出直线的表达式，然后结合反比例函数表达式求出点E的坐标也是线段的中点，进而求出直线关于m、n的表达式，再通过构造，利用相似比求出点G的坐标，再代入直线的表达式，结合求出m和n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，，． 根据线段平移的性质，． ∴点E坐标为． ∵由反比例函数表达式得． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点C作x轴的垂线交x轴于点P． ∴轴． ∴, ∴． ∵． ∴． ∵点E在反比例函数的图象上，同理（1）可得点E的坐标为． ∴． ∴， ∴． ∴． ∵． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 故的值为定值． （3）解：设直线的函数表达式为，把A、B两点坐标代入得： ， 解得． ∴直线的表达式为． 由于反比例函数表达式为，与直线函数表达式联立得： ． 整理得． ∴． ∴，． ∴点F的坐标为也是线段的中点． 根据线段平移的性质可得点E坐标为，则． 同理，由两点坐标根据待定系数法求得的解析式为：． 过点E作轴，垂足为I，过点O作与延长线交于点G，再过点G作轴，垂足为H， ∵， ∴． 在和中，， ． ∴． ∴． ∴ ∵点G在直线上， ∴， 代入和得：， 整理得：． 又∵，则，代入上式得． ∴． ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，图象平移的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点．综合性性强，难度大，通过“一线三等角模型”构造相似三角形，以此应用夹角的条件是解答本题的难点． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、矩形性质理解 【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可． (2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可． （3）分，为对角线两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵， 解得或， ∵A在第三象限， ∴，． （2）解：把，分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）存在 分类讨论： 解：①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ， 解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． 10．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． (3)点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)8 (3)，，，，， 【知识点】公式法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入 可得可得反比例函数表达式为 （2）由 可得，由平移可得四边形是平行四边形，设将代入 = 中得出，根据平移可得，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解； （3）根据关于原点对称的点的特征得出，设,，根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将代入 可得 ， ，则 将代入 可得     ， 反比例函数表达式为 （2）由 ，当；当， ∴， 由平移可得四边形是平行四边形 设将代入 = 中 得 ，则 向右平移4个单位得到 将向右平移4个单位得到 （3）∵是关于原点的对称点 ∴ 设, 由等边可得 解得：或 ∴， ①当时 Ⅰ、以与为对角线 ∴ 解得：. ∴ Ⅱ、以与为对角线，同理可得， Ⅲ、以与为对角线，同理可得， ②当时 同理可得，， 综上所述：，，，，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、求两个位似图形的相似比、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 12．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】四边形其他综合问题、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的解析式为， 将与代入可得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时， 设直线l的解析式为， ∴方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得或， ∵直线l与y轴交于正半轴， ∴舍去， 解方程，得， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵C与B关于原点对称， ∴，， ∴，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点Q在直线上， ∴点Q的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与x轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 综上，Q点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 13．如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，． (1)求反比例和一次函数表达式； (2)反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点，当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)存在点，坐标为或 (3)的解析式为： 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、反比例函数与几何综合、一次函数图象平移问题 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积的性质及平移规律得出平移后的直线解析式，再联立方程组即可求出点的坐标； （3）过点，分别向轴作垂线，并利用平行线分线段成比例定理求出的长，从而求出点的坐标，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）将点代入一次函数得： ，则， 一次函数的表达式为：， 将点代入得：，则， ， 将代入反比例函数得：， 反比例函数的表达式为：， （2）存在点，如图1所示： 过作 交双曲线于点． 则（同底等高的两个角形的面积相等）， 的解析式， 的解析式为， 令， 解得：，（舍去）， ，， 直线交轴于点， ， 把向下平移2个单位，则的解析式为：， 令，解得：，（舍去） ，， 存在点，坐标为，或，， （3）如图2所示： 过．分别向轴作垂线，垂足分别为．， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为， ， ，， 设的解析式为：， 把，，代入得： ，解得：， 的解析式为：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主根考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，平移规律，三角形的面积性质，平行线分线段成比例定理等，综合性强，难度适中． 14．如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点，两点． (1)求双曲线的函数表达式； (2)在双曲线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴正半轴上的一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，直线与轴交于点，求证：． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或或 (3)证明见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，解方程组，正确的求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据直线经过点，两点，求出，，根据曲线经过点，求得双曲线的函数表达式为． （2）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，根据得出，求出的值即可； （3）设，求得直线的函数表达式为，待定系数法得到直线的函数表达式为：，解方程得到，，设直线的函数表达式为：，得到直线的函数表达式为：，求得，，即可解答． 【详解】（1）解：直线相交于点，两点， ，， ，， 双曲线经过点， ， 双曲线的函数表达式为； （2）解：存在， 理由：如图，过点作轴，交于点， ， 设点的坐标为，则， ， ， 的面积为6， ， 解得：或或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述：点的坐标为或或或； （3）证明：如图， 设， ， ∴直线的函数表达式为， ∵， 直线的函数表达式为：， 联立和， 得和， ，， 设直线的函数表达式为：， ， ， 直线的函数表达式为：， 令，则， ， ，， ， ． 15．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2）解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，   ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，   ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，   三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、已知两点坐标求两点距离、添一个条件使四边形是菱形、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 17．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而判断出EH垂直于x轴时，最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）如图1， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， 过点G作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在上，且轴， 即时，最小， 作点关于y轴的对称点G'，则， ∴， 连接交y轴于， 此时，的周长最小， 即周长的最小值为； （3）由（2）知，直线的解析式为， 设，， ∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，， Ⅰ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅱ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅲ、当与为对角线时，， ∴， ∴． 综上：或或 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 18．正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 19．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点P为反比例函数图象第三象限上一点，记点P到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点P的坐标； (3)点M是直线上一个动点，是否存在点M，使得相似，若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，或，． 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质，正确地找出函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入得到，解方程组得到； （2）设，过作轴于，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，设直线的解析式为，求得；将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，设直线的解析式为，解方程得到； （3）存在，由（1）（2）可知，，，，根据勾股定理得到，，，设，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）把点代入得，， 解得， ， 把代入得， 反比例函数的解析式为， 解， 解得或， ； （2）点是双曲线第一象限分支上的一点， 设， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ； 将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小， 设直线的解析式为， 方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得或9， 直线与轴交于负半轴， 舍去， 解方程，得， ， ； （3）存在，由（1）（2）可知，，，， ，，， 设， ，，， 当时，，即， 解得（舍或； 当时，，， 解得（舍或； ，或，． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于15时，求的坐标； (3)在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上一动点，当以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点或 (3)点或或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ，， 一次函数解析式为，点， 直线与反比例函数的图象交于点， ； （2）解：如图，当点在点下方时，设点，过点作轴于，过点作轴于， ，，，， 直线与轴交于点， 点， ， 的面积等于15， ， ， （舍去）或， 点； 当点在点上方时，同理可得； （3）解：当点在轴上时，设点，点， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 和是对角线，且互相平分， ， ， 点， ， ， 点； 当点在轴上时，设点，点， 若，为对角线， 则，， ，， 点； 若，为对角线， 则，， ，， 点， 此时点在的延长线上，不合题意舍去， 当，为对角线时，同理可求点，点， 综上所述：点或或． 21．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上．点是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．已知，． (1)求的值； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)延长、交过点的双曲线分别于点、，连接，求证：． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大值是6； (3)见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由与的长，根据位于第一象限点，即可确定出的坐标，由过点的反比例函数的图象与边交于点，可得，两点坐标分别为，，再求出、的长，即可解决问题； （2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可； （3）先确定出点，坐标，进而求出直线，的解析式，再求出过点的双曲线的解析式，进而表示出表示出点，的坐标，得出，，最后判断出，判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，且在第一象限， ，，的坐标为； 过点的反比例函数的图象与边交于点， ，两点坐标分别为，， ，， ； （2）解：，两点坐标分别为，， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值是6； （3）证明：如图，设过点的双曲线的解析式为， 矩形的顶点，， ， ， 双曲线的解析式为， 点在双曲线上， 设，， 点，在反比例函数上， ∴，， 直线的解析式为， 点在射线上， ， ， ， 过点作于， ， 四边形是矩形， ， ∴， ， ， 同理，直线的解析式为， 设， ， 过点作于， ， 同理，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定与性质，求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式求出是解题关键． 22．在平面直角坐标系中，直线过定点，与双曲线交于第一象限的A，B两点． (1)如图1，当直线解析式为时，求A，B两点的坐标； (2)如图1，若点P是的中点，求直线的解析式； (3)在（1）的条件下，如图2，过原点的直线l与线段交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．记的面积为，的面积为，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）联立两函数解析式，求解即可； （2）设，，联立两函数解析式，得，则，由根与系数关系可得，再根据中点坐标公式可得，则，再把代入，得，两方程组成方程组求得k、b值即可； （3）过点M作于C，过点N作于D，于E，过点Q作于F，由，得，则，可得，再由反比例函数图像的对称性可得M、N关于点O对称，则，，然后证，得，设，，所以有，解得：，代入即可求得点Q坐标． 【详解】（1）解：联立两函数解析式，得 ，解得：，， ∴，； （2）解：设，， 联立两函数解析式，得 ， 则， ∵直线与双曲线交于第一象限的A，B两点． ∴， ∵点P是的中点， ∴ ∴， ∴， 把代入，得 ∴， 解得：， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：过点M作于C，过点N作于D，于E，过点Q作于F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过原点的直线l与线段交于点Q，与双曲线分别交于点M，N． ∴M、N关于点O对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，函数与方程（组）的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质，函数与方程(组)的关系，一元二次方程根与系数的关键是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，B两点，是y轴上的一个定点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)H是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为的两部分时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)反比例函数为：，． (2)的坐标为或． (3)，或 ， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由平移方式确定点的坐标、矩形性质理解、求反比例函数解析式 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，再联立两个解析式解方程组可得B的坐标； （2）如图，在上取点，，满足，且，或，可得，，则，，设，再利用勾股定理列方程解答即可； （3）设，由，当时，，当时，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴反比例函数为：， ∴， 解得：或， ∴． （2）如图，在上取点，，满足，且，， ∴，， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， 同理可得：，此时即为的另一个位置， ∴的坐标为或． （3）设，当时，如图，∵， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴当时，， ∴， 解得：，则， 由平移的性质可得：， 即； 当时，如图， ，，， 当时，， ∴ 解得：， ∴， 由平移的性质可得：， 即． 综上，，或 ，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数图象和性质，一次函数图象和性质，三角形面积，矩形性质，勾股定理，分类讨论，是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与反比例函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线相交于，其中点． (1)如图，当时， ①求点坐标； ②连接并延长，交双曲线于另一点，射线平分，若于点，求点的坐标； (2)如图，若直线分别交双曲线于第一、三象限，点关于原点的对称点为点，连接，若线段的长为，求的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点，点是轴上的一个动点．点是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值； (3)如图2，若点，连接，将线段以点为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． (1)若，求反比例函数的表达式； (2)试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； (3)如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． (3)点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 12．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 13．如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，． (1)求反比例和一次函数表达式； (2)反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点，当时，求直线的解析式． 14．如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点，两点． (1)求双曲线的函数表达式； (2)在双曲线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴正半轴上的一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，直线与轴交于点，求证：． 15．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 17．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 18．正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 19．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点P为反比例函数图象第三象限上一点，记点P到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点P的坐标； (3)点M是直线上一个动点，是否存在点M，使得相似，若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于15时，求的坐标； (3)在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上一动点，当以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 21．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上．点是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．已知，． (1)求的值； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)延长、交过点的双曲线分别于点、，连接，求证：． 22．在平面直角坐标系中，直线过定点，与双曲线交于第一象限的A，B两点． (1)如图1，当直线解析式为时，求A，B两点的坐标； (2)如图1，若点P是的中点，求直线的解析式； (3)在（1）的条件下，如图2，过原点的直线l与线段交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．记的面积为，的面积为，当时，求点Q的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，B两点，是y轴上的一个定点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)H是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为的两部分时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $