专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练（5种类型40道） 考点01 勾股定理相关折叠问题求线段长 考点02 勾股定理相关折叠问题求面积 考点03 勾股定理相关折叠问题求周长 考点04 勾股定理相关折叠与最值综合问题 考点05 勾股定理相关多次折叠问题 考点01 勾股定理相关折叠问题求线段长 1．如图，一张等腰直角三角形纸片，其中，斜边，将纸片折叠，使点A恰好落在边的中点D处，折痕为，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ） A． B．10 C． D．15 3．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 6．如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 8．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 考点02 勾股定理相关折叠问题求面积 9．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 12．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 13．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 14．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 15．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 16．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 考点03 勾股定理相关折叠问题求周长 17．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 18．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，折痕为，点落在点处，与交于点，则的周长是 ． 19．如图，在矩形ABCD中，连接AC，， ，点E，F分别是边AC，CD上的动点，将沿直线EF折叠，点C的对应点恰好落在边AD上，若是以AE为腰的等腰三角形时，则的周长是 ． 20．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 21．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 22．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 23．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，则四边形的周长为（    ） A．40 B．43 C．48 D．53 24．如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为 ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾考点04 勾股定理相关折叠与最值综合问题 如图，在长方形中，分别是上的点．现将四边形沿EF折叠，点的对应点分别为，且点恰好落在上．连接，过作，垂足为G，则的最小值为 ． 26．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 27．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 28．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A落在处，则的最小值是 ． 29．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 30．如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 31．如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是 ． 32．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ． 考点05 勾股定理相关多次折叠问题 33．明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为 ． 34．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 35．如图，将长方形纸片对折后再展开，形成两个小长方形，并得到折痕，是上一点，沿着再次折叠纸片，使得点恰好落在折痕上的点处，连接，．设，，，用含的式子表示的面积是 ． 36．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 37．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 38．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 39．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 40．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练（5种类型40道） 考点01 勾股定理相关折叠问题求线段长 考点02 勾股定理相关折叠问题求面积 考点03 勾股定理相关折叠问题求周长 考点04 勾股定理相关折叠与最值综合问题 考点05 勾股定理相关多次折叠问题 考点01 勾股定理相关折叠问题求线段长 1．如图，一张等腰直角三角形纸片，其中，斜边，将纸片折叠，使点A恰好落在边的中点D处，折痕为，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理等知识，根据已知得出的长是解题关键． 利用等腰直角三角形的性质得出的长，进而得出的长，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：作于， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得， 设，则， 在中，， 解得：， 故的长度为． 故选：B． 2．如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ） A． B．10 C． D．15 【答案】C 【分析】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：由折叠性质可知，， 在长方形中，， ， ， 在中，利用勾股定理得到， 设，则， 在中，利用勾股定理得到，即，解得， ， 在中，利用勾股定理得到， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 3．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 4．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴   设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 5．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 6．如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质， 先根据勾股定理求出，进而得出，再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解即可. 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， ∴. 设，根据折叠得， ，则， 在中，， 即， 解得， 所以. 故选：B. 7．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 8．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 考点02 勾股定理相关折叠问题求面积 9．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 10．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 11．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等，先根据折叠性质得到边长及角度，求得对角线的长度，最后根据三角形的面积公式可求得结果，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ， ∵为正方形， ∴，， ∵沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故选：C． 12．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用的三边关系即可求得长，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用勾股定理求得所需线段长度． 13．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程求出x值，进而可以求出△CDF的面积． 【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠B=90°， 在RtBEF中，由勾股定理得， BE=＝4， ∴AB=AE+BE=9， 折叠的性质得，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9， 设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x， 在RtCDF中，由勾股定理得，， ∴， ∴x=12， ∴CDF的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 14．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠AFE=∠FEC 由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE ∴∠AFE=∠AEF ∴AE=AF 设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm 在Rt△ABE中，由勾股定理得： 解得： ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求得AE的长是解题的关键． 15．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可． 【详解】解：ABCD是长方形纸片， ∴AB=CD=3， ， ∴， ∴BF=4， ∴AF=， ∴AF=AD=BC=5，CF=1， 设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x， x2=(3-x)2+1， 解得，x= ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程． 16．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 考点03 勾股定理相关折叠问题求周长 17．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 18．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，折痕为，点落在点处，与交于点，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】首先根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=xcm，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再证出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=xcm，则AF=(6−x)cm， ∵点E是AB的中点， ∴， 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+(6−x)2=x2， 解得， ∴，， ∵∠FEG=∠D=90°， ∴∠AEF+∠BEG=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠BEG =∠AFE， 又∵∠B=∠A=90°， ∴△BGE∽△AEF， ∴， 即， ∴BG=4cm，EG=5cm， ∴△EBG的周长=3+4+5=12(cm)． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，利用相似三角形的性质求出△EBG各边的长是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD中，连接AC，， ，点E，F分别是边AC，CD上的动点，将沿直线EF折叠，点C的对应点恰好落在边AD上，若是以AE为腰的等腰三角形时，则的周长是 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论，分为，两种情况，分别解直角三角形求出边长，即可求出的周长． 【详解】①当，如图： 由题意得，是等腰三角形 由翻折可知 ，点与点重合 在中， 的周长为：． ②当，如图： 由翻折可知： 三角形是等腰直角三角形 设，则 在中 解得：（舍去） 的周长为： ． 综上所述： 的周长为：或． 【点睛】本题考查了图形的折叠，锐角三角函数，勾股定理，解一元二次方程，分情况讨论是解题的关键． 20．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， 由翻折的性质可知：，， ， 的周长． 故选：C． 21．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是把握折叠的不变性． 先由勾股定理求出，再由折叠的性质得到，然后即可求解周长． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴的周长为：， 故选：A． 22．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， ∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴， ∴的周长． 故选：C． 23．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，则四边形的周长为（    ） A．40 B．43 C．48 D．53 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得垂直平分，，可证，可得四边形为菱形，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式求得的长，据此即可求解． 【详解】解：连接，设与相交于点O，如图， ∵矩形纸片折叠，使点D与点B重合， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．熟知这些知识点是解题的关键． 24．如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，利用勾股定理可以求出. 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾考点04 勾股定理相关折叠与最值综合问题 25．股定理、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 如图，在长方形中，分别是上的点．现将四边形沿EF折叠，点的对应点分别为，且点恰好落在上．连接，过作，垂足为G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查胡不归问题，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， 、G、N三点共线， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 26．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 27．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 28．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A落在处，则的最小值是 ． 【答案】4﹣4 【分析】根据勾股定理求出，利用折叠的性质，根据三角形三边关系和角的和差关系即可出的最小值． 【详解】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝＝4， ∴CE＝＝4， ， ， 故答案为：4﹣4． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 29．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 30．如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角梯形的性质、折叠变换以及勾股定理的应用．通过分析折叠后点的位置，利用勾股定理计算的长度，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，当点落在梯形的内部时，，四边形是以为直径的圆内接四边形， ∴只有当直径最大，且点落在上时，最小，此时与点重合， 由题意得：， 由勾股定理得： ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 32．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值． 【详解】连接，交AC于点O． 由翻折可知，． 故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图． ∵在中，AB=12，BC=5， ∴． ∵， ∴． ∴B(0，)，(0，)． ∵在中，AB=12，， ∴， ∴， ∴A (，0)，C(，0)． 设经过A、B的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过A、B的直线解析式为． 设经过、C的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过、C的直线解析式为． 故可设P(，)，Q(，)， 则，， ∵， ∴， 整理，得：． 根据所作坐标系可知，． ∴． ∵， 将代入，并整理得：， 其对称轴为，且开口向上， 又∵， ∴当时，最小，最小值为， ∴此时最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难． 考点05 勾股定理相关多次折叠问题 33．明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 34．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质易得，则，由及折叠性质得；在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ，， ， 在矩形中，， ， ； ， ； 在中，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；由折叠的性质求得是解题的关键． 35．如图，将长方形纸片对折后再展开，形成两个小长方形，并得到折痕，是上一点，沿着再次折叠纸片，使得点恰好落在折痕上的点处，连接，．设，，，用含的式子表示的面积是 ． 【答案】． 【分析】由翻折可知， AM=NC，根据勾股定理求出NC，再求出MB′，用三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴NC=， 由翻折可知， AM= NC=，AB′=AB=， MB′=， 的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，勾股定理，解题关键是把握轴对称的性质，找到题目中相等的相等，根据勾股定理求出线段长． 36．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 37．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 38．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 39．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 【答案】/0.8 【分析】利用等面积法求出，再根据翻折的性质求出，判断是等腰直角三角形即可求解． 本题考查解直角三角形，图形的翻折，判断是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， 且， ，且， ， ， 故答案为：． 40．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $