专题04 勾股定理相关动点问题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04 勾股定理相关动点问题分类训练(5种类型40道) 考点归纳 考点01动点问题探究数量关系 考点02动点最值问题 考点03动点存在性问题 考点04动点问题求值 考点05动点问题求运动时间 考点专练 考点01动点问题探究数量关系 1.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点P是线段BC上的一个动点，过点B作BD⊥AP交AP的 延长线于点D,射线BD交直线AC于点E,连接CD. E D (1)若点P不与端点B,C重合，求证：∠CBE=LCAP; (2)求证：DA=DB+√2DC; (3)若点P在线段BC的延长线上时，用等式表示线段DA,DB,DC之间的数量关系并说明理由. 2.在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合)，以AD为 直角边在AD右侧作等腰三角形ADE,使∠DAE=90°，连接CE B D 图① 图② 图③ (1)探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD; (2)应用：在探究的条件下，若AB=√2，CD=1,则△DCE的周长为- 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为-： ②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为- 3.在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°. 图1 图2 备用图 (1)如图1，D,E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，在等腰Rt△ABC外侧作△CAF≌△BAE ,连接DF. 问：①LDCF=_°. ②判断线段BE,ED,DC之间的数量关系，并证明你的结论. (2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD,以点A为直角顶点作等腰 RtAADE(点E在点D的顺时针方向上)，当BD=3,BC=7时，请直接写出DE的长， 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为线段BC上一动点（不与点B,C重合），作射线AD、 AB,将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线AD',AB',过点B作BC的垂线，分别交射线 AD',AB于点E,F C D B (1)依题意补全图形： (2)求证：AB=AF; (3)用等式表示线段AC,BD与BE之间的数量关系，并证明. 5.在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是平面内一点（不与点A,B,C重合），连接 BD,CD,∠BDC=90°，连接AD.将△ADC沿直线AD翻折，得到△ADG,连接CG. 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)如图1，点D在∠ABC内部，BD交AC于点E,点F是BD上一点，且BF=CD,连接AF. ①求证：△ABF≌△ACD; ②若AD= 2 ,CD=1,求点G到直线BC的距离. (2)如图2，点D在∠BAC的内部，试探究BD,AD,CG之间的数量关系并说明理由. 6.ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D,过D作DE垂直射线BA于点E,点F在射线CA上， BD=DF. M 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD是∠BAC的角平分线，求证：BE+AF=AE; (2)如图2，若射线AD平分ABC的外角，且点F在射线DE上，则线段BE、AF和AE的数量关系是 B)如图3，在(2)的条件下，过D作DM∥AB交4C延长线于点M,若AE=2,AF=3,DM=BE,求 5 CM的长. 7.已知ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点D是等腰直角三角形ABC斜边AB 所在直线上一点（不与点B重合）. B D B 图1 图2 (备用图) (1)如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2,DB?,DE2三者之间的数量关系： 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，(1)中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过 程.若不成立，请说明理由， (3)若AB=3AD,点M是DE中点，请直接写出 CM 的值 BC 8.如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，其中LACB=∠DCE=90°，点D在线段AB上，连结AE, 过点C作CF⊥AE,垂足为点F,点F在线段AE上， D B (1)求证：△BCD≌△ACE; (2)请直接写出BD、AD和DE之间的数量关系： (3)求证：BD=AD+2EF 考点02动点最值问题 9.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD;连接AC、CE.已知AB=3, DE=2,BD=12,设CD=x (1)①用含x的代数式表示AC+CE的长： ②求出AC+CE的最小值. 2)根据(1)中的规律和结论，重新构图求出代数式V2+1+√8-x2+25的最小值。 (3)若正实数a,b,c满足a+b=5-c,请构图求出代数式Va2+9+Vb+16+VC2+25的最小值， 10.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.数形结合 是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即 通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 【思想应用】 (1)己知m,n均为正实数，且m+n=4,求√m2+9+√n2+16的最小值.通过分析，爱思考的小明想到了 利用下面的构造解决此问题：如图，AB=5,AC=3,BD=4,AC⊥AB,BD⊥AB,点E是线段AB上 的动点，且不与两端点重合，连接CE,DE,设AE=m,BE=n, ①用含m的代数式表示CE=一，用含的代数式表示DE= ②据此求√m2+9+√m2+16的最小值： 4/16 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【类比应用】 (2)根据上述的方法，求代数式Vx2+25+√(x-16)2+49的最小值. 11.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可 以相互转化，相互渗透。 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0<x<1,求+x+1+(1-x)2的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为+x2和V1+(1-x)2的线 段，将代数求和转化为线段求和问题. 【解决问题】 A D B P (1)①如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点.设BP=x,则PC=1-x·则 V1+x+V1+1-x)2=线段—+线段 ②在①的条件下，已知0<x<1,求V1+x2+1+(1-x)的最小值： 【应用拓展】(2)应用数形结合思想，已知0<x<3,求V4+x2+V4+(3-x)的最小值. 12.(1)【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”， 如图1，在ABC中，AB=6,BC=4,AC=9,点E是AB边上一点，点F是BC边上一点. ①当AE=」 时，△AEC和△EBC是偏等积三角形； ②若△ABF和aAFC是偏等积三角形，且AF的长为奇数，求AF的值. 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【问题探究】如图2，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是BA延长线上一点.AC=AF, AD=2AE,且∠BAD+∠EAC=180°，∠BFD+∠BAC=180°.试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结 论 (3)【问题拓展】如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.△APD和△BPD为偏等积三角形，且面 积均为l,P为AC上一动点，当PD+PB取最小值时，求S。BC= D B B E A D 图1 图2 图3 13.(1)如图，在ABC中，AC=BC,∠A=45°.若AB=2,则AC=-; B (2)如图，在ABC中，已知∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D为BC边上的动点，连接AD,当AD为 最小值时，求BD的长， A B (3)如图，A、B、C为三个村庄，为了出行方便，在三个村庄之间修了四条公路AB、BC、AC、AD,经 测量得知：公路AB与BC相等且夹角为45°，公路AD与BC垂直，村庄A、C之间的距离为30km·为提升 村民的生活质量，某通讯公司需要在ABC区域内部署一个基站P,基站P必须满足LACP=∠CAD.在公 路AC上有一个移动中继站Q(Q在AC上移动)经实践发现，当基站P到村庄A和移动中继站Q的距离和 (即PQ+PA)最小时，通信效果最好，求此时信号覆盖区域△CPQ的面积.（结果保留根号） B D 14.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题 B D B A E 图1 图2 图3 (1)如图，点A、B在直线1的同侧，点A到1的距离AO=1,点B到1的距离B02=3,O,O2=3. ①请在图1直线1上作出点P,使得PA+PB最小； ②PA+PB的最小值为—一； (2)如图2，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则 EC+ED的最小值是； (3)如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF,连结DE、 DF,求DE+DF的最小值 15.【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板(AB=BC,∠ABC=90°)放入一个“U"形槽中，使三角形的三个顶点A,B、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE之间的数量关系 是 G B B A D B 图1 图2 图3 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，△ACD的面积是18且AD=9,求△BAD的面积. 【拓展应用】 如图3，在ABC中，AB=AC,∠A=45°，点D、F分别是边AB、AC上的动点，且CF=2AD.以DF为 腰向右作等腰aDEF,使得DE=DF,∠EDF=45°，连接BE,如图3，已知BC=2,点G是BC的中点，连 接EC、EG,求△CEG周长的最小值， 16.如图1，己知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE.连接DE,连接BG交CD于点 M.如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD,且BG=BD. (1)如BD=25+2,CG=2,请求出△BCG的面积. 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：BM=√2DM· (3)如图2，当BD=5√2，M是边CD上一点且CM=1时，如点N为BC边上的一个动点，以MN为边向 左侧作等边△MNP,连接DP,请直接写出DP的最小值. D G B E 图1 图2 考点03动点存在性问题 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm,AC=5cm,动点P从点B出发沿射线BC方向以 2cms的速度运动.设运动时间为s. B p (1)求BC的长度； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的，使△ABP为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 18.如图1，在矩形ABCD中，AB=8,AD=I0,E是CD边上一点，连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠， 顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G. F C G 图 图2 (1)求线段CE的长： (2)如图2，M,N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，,设DN=x. ①求证四边形AFGD为菱形； ②是否存在这样的点N,使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由. 19.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=5cm,动点P从点A出发，以3cms的速度向点B运动，同 时另一动点Q从点C出发，以2cms的速度向点D运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动，设运动时 间为ts. 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)PB=」 _cm,DO=_ cm;(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm? (3)是否存在某一时刻，使得四边形APQD为矩形？若存在，求出满足条件1的值；若不存在，请说明理由 20.如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13,AD=5,动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段 DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP,把△ADP沿着AP翻折得到△AEP.(注：长方形的对边平 行且相等，四个角都是直角) D 图① 图② 备用图1 备用图2 (1)如图②，射线PE恰好经过点B,求出此时t的值： (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的 t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时= 21.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,∠B=90°，AD=2cm,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A出 发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S(cm), 点P运动的时间为t(s)(0s9),请解答以下问题： (1)边DC的长为_cm: (2)当点P在BC上运动时，求出阴影面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的关系式： (3)是否存在某一时刻t,使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值； 如果不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t,使△DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说 明理由. 9/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 22.如图，ABC中，∠A=90°，AB=AC=5cm,点P是AC边上一动点，以1cm/s的速度由A向C运动， 同时点Q从点B出发，在CB延长线上，以√2cm/s的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P到达点C时， 两点停止运动.连接PQ交AB于点D,过点P作PE⊥BC于E,过点Q作BC的垂线交AB延长线于F,连 接EF. (1)用含t的代数式表示线段长度：PC= ，PE= (2)当t取何值时，四边形POFE是平行四边形？请写出推理过程. (3)在运动过程中，点D是否总是PQ的中点？请说明理由。 (4)是否存在某一时刻t,使得△BDQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. D 23.在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与 此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cms的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点 Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒. A D (1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (2)是否存在t的值，使得五边形APOCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说 明理由。 24.如图，己知点C(6,0)是正方形AOCB的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点. 10/16 专题04 勾股定理相关动点问题分类训练（5种类型40道） 考点01 动点问题探究数量关系 考点02 动点最值问题 考点03 动点存在性问题 考点04 动点问题求值 考点05 动点问题求运动时间 考点01 动点问题探究数量关系 1．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接． (1)若点P不与端点B，C重合，求证：； (2)求证：； (3)若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或，理由见解析 【详解】（1）证明：，， ∴，， ∴． （2）证明：如图，过点作，交于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：或，理由如下： ①如图，当时，过点作，交于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ②如图，当时，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ③当时， ∵在中，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，舍去， 综上，或． 2．在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明； (2)应用：在探究的条件下，若，,则的周长为 ； (3)拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①，② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论； （3）①同探究的方法得出，得出，即可得出结论； ②同探究的方法得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由探究知，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的周长为， 故答案为：； （3）解：①同理得，， ∴， ∴， 故答案为：； ②同理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在等腰中，，． (1)如图1，D，E是等腰斜边BC上两动点，且，在等腰外侧作，连接． 问：①________． ②判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，点D是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在点的顺时针方向上），当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)①90；②，理由见解析 (2)5或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化角和线段关系，利用等腰直角三角形的特殊性（斜边上的高、边的比例关系）结合勾股定理计算． （1）①利用全等三角形对应角相等，结合等腰直角三角形底角求角度． ②证，结合直角三角形勾股定理推导线段平方关系． （2）作高构造直角三角形，用勾股定理求，再利用等腰直角三角形性质求． 【详解】（1）解：①由得（全等三角形对应角相等）． 等腰中，， 故，即． 因此，又， 故． ②结论： 证明：由得． 因，，故， 即，即． 在和中， 故得． 由①知，在中，代入、得． （2）解：过A作于F，等腰中（斜边上的高等于斜边一半）． 分两种情况： ①当D在上（B、C之间）：，则． 在中， 等腰中，． ②当D在延长线上（B外侧）： ． 在中，， 故． ∴的长为5或． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B， C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F． （1）依题意补全图形； （2）求证：AB＝AF； （3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE+BD=2AC，见解析 【分析】（1）按照要求画图即可； （2）证∠ABF=∠AFB=45°即可； （3）证△DAB≌△EAF，得BD=EF，BE+BD=BE+EF=BF，再根据等腰直角三角形的性质，BF=AB=2AC． 【详解】解：（1）作图如下： （2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠1= 45°， ∵BF⊥BC， ∴∠CBF= 90°， ∴∠2= 45°， ∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线， ∴∠BAF= 90°， ∴∠3= 45°=∠2， ∴AB=AF． （3）BE+BD=2AC． 证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，， ∴∠DAE=∠BAF= 90°， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠3，AB=AF， ∴△DAB≌△EAF ， ∴BD=EF，BF=BE+BD， 在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ABF中，BF=AB， ∴BF=2AC， ∴BE+BD =2AC． 【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的判定、勾股定理和全等三角形的判定，综合性较强，两个等腰直角三角形的直角顶点重合必出全等三角形是解题关键． 5．在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G到直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）解：如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，过D作交延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点． （1）根据角平分线性质求出，证，推出证明，得出，即可证明结论； （2）证明，从而有，再证明，得出，即可证明结论； （3）求出，求出，设，根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的外角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中， ∴． 7．已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）如图，连接，证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （2）（1）中的结论仍然成立．证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴，即， ∴，，三者之间的数量关系：， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， 即； （3）设，则， 当点在线段上时，如图， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，如图， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， ∵，，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 8．如图，和均为等腰直角三角形，其中，点在线段上，连结，过点作，垂足为点，点在线段上． (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系：______； (3)求证： 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定的性质，三线合一，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得出，最后根据即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等，对应角相等易证，即可得出结论； （3）证明得，由三线合一得，进而可证结论成立． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形 在与中 ． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴． （3）证明：∵ 平分 过点作 在与中 ∴ 又 又 考点02 动点最值问题 9．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 10．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）20 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法． （1）利用勾股定理得到，；则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； （2）如图，设，，，，则，利用勾股定理得到，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）①利用勾股定理得到，； 故答案为：；． ②， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）． 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． （2）如图，设，，，， 则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）， 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为20， 即的最小值为20． 11．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 12．（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”． 如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点． ①当________时，和是偏等积三角形； ②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值． （2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论． （3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________． 【答案】（1）①3；②5或7；（2）与是偏等积三角形；证明见解析；（3）1 【分析】（1）①根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解； ②利用三角形的中线平分三角形的面积、三角形三边的关系即可求解； （2）过点C作交的延长线于点M；则，；由得；由，得；从而可证明，则，，再证明得，从而得，即得与是偏等积三角形； （3）由题意知点D是的中点，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，当点P与点F重合时，取最小值，的面积等于的面积，从而得的面积为3；设，则由面积求得a，再由勾股定理求得的长，再由面积关系求得，从而求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵和是偏等积三角形， ∴， ∵分别以为底，上的高相等， ∴， 故答案为3； ②∵和是偏等积三角形， ∴由（1）知， ∵， ∴， 即， ∵的长为奇数， ∴或7； （2）与是偏等积三角形； 证明如下： 如图，过点C作交的延长线于点M； 则，； ∵， ∵； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是偏等积三角形； （3）∵和为偏等积三角形， ∴点D是的中点， 如图，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，， 当点P与点F重合时，取最小值， 由对称知的面积等于的面积， ∵和的面积均为1， ∴的面积为3； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 由勾股定理求得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，作出适当的辅助线是解题的关键． 13．（1）如图，在中，，．若，则 ； （2）如图，在中，已知，，，点为边上的动点，连接，当为最小值时，求的长． （3）如图，为三个村庄，为了出行方便，在三个村庄之间修了四条公路，经测量得知：公路与相等且夹角为，公路与垂直，村庄之间的距离为．为提升村民的生活质量，某通讯公司需要在区域内部署一个基站，基站必须满足．在公路上有一个移动中继站（在上移动）经实践发现，当基站到村庄和移动中继站的距离和（即）最小时，通信效果最好，求此时信号覆盖区域的面积．（结果保留根号） 【答案】（）；（）的长为；（）此时信号覆盖区域的面积． 【分析】（）由，，得，然后通过勾股定理即可求解； （）当时，有最小值，此时，由勾股定理得，再由等面积法求出，最后通过勾股定理即可求解； （）先求出，作关于对称点，过作于点，交于点，，即当三点共线时，最小，证明，则有，所以，得，由勾股定理得：，过作于点，如图，由角平分线性质可得，最后由，求出即可． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，当时，有最小值，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （）如图，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于对称点，过作于点，交于点， ∴，即当三点共线时，最小， ∵与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时信号覆盖区域的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质，垂线段最短，轴对称性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 14． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】(1)①图见解析；②5 (2) (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 15．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为． 16．如图1，已知四边形和四边形都是正方形，且．连接，连接交于点．如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，且． （1）如，，请求出的面积． （2）求证：． （3）如图2，当，是边上一点且时，如点为边上的一个动点，以为边向左侧作等边，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）DP的最小值为3． 【分析】（1）根据正方形的性质，再由SAS证明△BCG≌△DCE，连接BE，根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，由SAS证得△BCG≌△BCE，得出BG=BE，证得△BDE为等边三角形，再根据即可求解； （2）利用△BDE为等边三角形，∠DBC=∠BDC=45°，求得∠MBN=30°，根据30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可证明BM=DM； （3）以CM为边向左侧作等边△MCQ，连接PQ，证得△PMQ≌△NMC，判断出点P在过点Q且垂直于QM的直线上，当DP⊥PQ时，DP的值最小，过点M作MH⊥PD于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求得DP的最小值为3． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°． ∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG， ∴∠BCG=∠DCE． 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）． ∴BG=DE； 连接BE， ∵CG∥BD， ∴∠DCG=∠BDC=45°， ∴∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+45°=135°， ∵∠GCE=90°， ∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°， ∴∠BCG=∠BCE， 在△BCG和△BCE中， ， ∴△BCG≌△BCE（SAS）， 即△BCG≌△BCE≌△DCE， ∴BG=BE=DE， ∵BG=BD， ∴BD=BG=BE=DE， ∴△BDE为等边三角形， ∵BD=，则BE=DE=， ∴BC=DC=， 过点D作DI⊥BE于点I， 则， ∴， ∴， ， ； （2）过点M作MN⊥BD于点N， 由（1）知：△BDE为等边三角形，∠DBC=∠BDC=45°， ∴∠CDE=∠CDG=∠CBE=60°-45°=15°， ∴∠MBN=45°-15°=30°， 在Rt△BMN和在Rt△DMN中，∠MBN=30°，∠BDM=45°， ∴BM=2MN，DM=MN， ∴BM=DM； （3）以CM为边向左侧作等边△MCQ，连接PQ， 则QM=MC， ∵△MNP是等边三角形， ∴∠PMN=60°，PM=MN， 则∠PMN=∠QMC=60°， ∴∠PMQ=∠NMC， 同理可证：△PMQ≌△NMC， ∴∠PQM=∠NCM=90°， ∴点P在过点Q且垂直于QM的直线上； 当DP⊥PQ时，DP的值最小， 过点M作MH⊥PD于点H， ∵∠PQM=90°，DP⊥PQ， ∴四边形PQMH是矩形， ∴PH=QM，∠PDM=∠QMC=60°， ∵BD=5，CM=1，∠HMD=30°， ∴BC=CD =5，DM=4，PH=QM= CM=1， ∴HD=DM=2， ∴DP=2+1=3． 即DP的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 考点03 动点存在性问题 17．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 18．如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设． ①求证四边形为菱形； ②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②满足条件的的值为或2 【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （2）①首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形； ②是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 四边形是矩形，，， ，，， 由翻折可知：．， 设，则． 在中，， ， 在中，则有：， ， ； （2）①证明：如图2中， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②是直角三角形，， 只有或． 如图中，当时， 由（1）得，,， ∴, ， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 如图中，当时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 19．如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)出发秒时，间的距离是 (3)时，四边形的形状可能为矩形 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，根据题意表示出是解题的关键． （1）依题意得：，，根据，即可得出答案； （2）作于，则根据两点间的距离是，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）当四边形为矩形，则，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：，， ∵矩形中，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是． 依题意， 如图，作于，则 四边形是矩形， ∴， 则， 在中， 即：， 解得或， ∵t的最大值是（秒）， ∴, 答：出发秒时，间的距离是； （3）当时，四边形的形状为矩形； 理由：若四边形为矩形，则， 即，解得：． 20．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【详解】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 21．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题： （1）边DC的长为 　 　cm； （2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可； （2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可； （3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可； （4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可． 【详解】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E， 由题意可得：四边形ABED为长方形， ∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°， 又∵BC＝6cm， ∴CE＝BC－BE＝4cm， 在中，cm， 故答案为：5； （2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9， ∴ ， ∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）； （3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， 由题意可得： ， 当t＝3时，点P与点B重合， 此时， ∴＜， ∴点P在线段BC上， ∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， ∴， 即：， 解得：， ∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时； （4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形， 当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴，， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°， ∴， ∴， 解得：（符合题意）， 当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t， ∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t， ∵∠DEC＝∠DEB＝90°， ∴， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°， 此时点P与点E重合， ∴t＝AB+BE＝3+2＝5， 综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键． 22．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接． （1）用含的代数式表示线段长度：________，________； （2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程． （3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由． （4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）是，见解析；（4）存在， 【分析】（1）由即可求得，在等腰中，勾股定理即可求得； （2）已知,根据，即可证明四边形平行四边形，列出方程，求解即可； （3）过作，证明四边形是平行四边形即可 （4）由（3）的结论，，根据，列出方程，求解即可 【详解】（1），， ， ， 是等腰 是等腰 ． （2）, 当时，四边形是平行四边形 是等腰   ， 解得：． 当时，四边形是平行四边形 （3）如图：过作，连接, 又 是等腰 ， ． 四边形是平行四边形 点为对角线的交点 即总是的中点． （4）由（3）四边形是平行四边形 是等腰三角形 所以为顶角 ， ． ， 解得：． 当，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，动点问题，熟悉以上知识是解题的关键． 23．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当秒或2秒时，的长度等于 (2)存在，当秒时，使得五边形的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，理解题意，正确找到相应关系是解题的关键； （1）先求出，，再利用勾股定理得到，即可建立方程，解方程即可得到答案； （2）由长方形的面积是：，五边形的面积等于，得到的面积为，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：从点开始沿边向终点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动 ， ， ， 由长方形得， ∴， ∵， ∴， 解得：，； 当秒或2秒时，的长度等于； （2）解：存在，当秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，． ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，此时， ∴， ∴， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 24．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 考点04 动点问题求值 25．在中，，．点为直线上一动点（点不与点重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明． (2)应用：在探究的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，即得，又由全等三角形的性质得，，即得到，再利用勾股定理求出的长即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的周长为． 26．【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)； (2)长为或． 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，通过勾股定理求出，则，设，则，，再通过勾股定理得，求出的值即可； （）分当时，即与重合，当时，即，两种情况分即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）解：如图，当时，即与重合， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，即， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，长为或． 27．在中，，，，点为线段上的一个动点，以为直角边向右作等腰，使，． (1)连结，求证：； (2)过点作的对称轴交直线于点，若，求的长．（在备用图上画符合题意的草图，并完成计算） 【答案】(1)见解析 (2)的长为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，即可证明； （2）依题意，分类讨论，即当点在线段上和当点在的延长线上，再逐个作图，结合全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称性质等知识内容进行分析，即可作答． 【详解】（1）证明：依题意，， ∴ ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 分两种情况：当点在线段上， 连接，如图所示： ， 由（1）知：， ， ， ， 是的对称轴， 垂直平分， ， ， 即：， 解得：； 当点在的延长线上 连接，如图所示： ， 由（1）知：， ， ， ， ， 是的对称轴， 垂直平分， ， ， 即：， 解得：； 综上所述，的长为或． 28．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 29．在中，，．点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F．连结，若． (1)求证：AE⊥AC； (2)求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 30．如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； （2）解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 31．在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 32．（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则_____． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． （1）证明，可得，，即可求解； （2）分两种情况：当在上时，当在上时，结合全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：6 （2）①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ， 四边形是长方形， ，，， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，  ， ； ②当在上时，作关于对称的， 过作，交延长线于点．过作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， 同理可证 ，， ， 设，则，， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ， ； 综上所述，的面积为或． 考点05 动点问题求运动时间 33．如图，中，，若动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)当点P在边的垂直平分线上时，求t的值； (2)当点P在的平分线上时，求t的值． 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 【分析】本题以动点问题为背景，考查了线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理和勾股定理，解题的关键是熟知角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理得到相关线段的长度． （1）过点P作垂直平分于点D，连接，然后结合中垂线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值； （2）过点P作，则，然后结合角平分线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值． 【详解】（1）解：如图1，①当点P在边的垂直平分线上时， 过点P作垂直平分于点D，连接，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴点P在边的垂直平分线上时，求t的值为． （2）解：当点P在上且在的角平分线上时， 如图2，过点P作， ∵平分，且， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴当点P在的平分线上时，t的值为． 34．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)或2 (4)或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 35．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 36．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 37．如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发后，是等腰三角形 (3)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为或或时，为等腰三角形． 38．如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 【答案】(1) (2)当是以为腰的等腰三角形时，或 (3)以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或， 【分析】（1）根据点P运动时间，的长表示出的长即可； （2）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等，，时，或，时，当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ∴； 故答案为：． （2）解：∵长方形中，，， 当，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 综上分析可知，当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）解：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等时，由，则由“”可知，，或，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，如图所示： 则，， 解得：，； 综上分析可知，以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，列代数式，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 39．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当t＝2秒时，求AD的长； （2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，说明理由，若能，请求出t的值． 【答案】（1）21；（2）能，4.5或12.5 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出CD，再求出答案即可； （2）分为两种情况：时，当时，求出t即可． 【详解】（1）由勾股定理得： ， 当t=2秒时，， 所以； （2）△CBD能为直角三角形， 理由是：分为两种情况：时， ， ， 由勾股定理得：， 所以； 当时，此时点D和A重合， ， 综上所述，t的值是4.5或12.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积等知识，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 40．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？ 【答案】或16 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质，先利用勾股定理求得值，作边上的高，结合三角形等面积求得，分①当为直角时和②当为直角时两种情况分别求解即可． 【详解】解：在中，，， 所以由勾股定理，得，所以． 如图，作边上的高． 因为， 所以． ①当为直角时，点与点重合，，所以； ②当为直角时，点与点重合，． 在中，因为，所以，解得． 综上，当或16时，为直角三角形． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $