专题10 一次函数与几何综合题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题10一次函数与几何综合题分类训练(6种类型48道) 考点归纳 考点01最值问题 考点02一次函数与几何综合面积相关 考点03一次函数与几何综合角度相关 考点04一次函数存在性问题全等三角形 考点05一次函数存在性问题等腰三角形 考点06一次函数存在性问题直角三角形 考点专练 考点01最值问题 1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于点A,B. B 图1 图2 图3 (1)求A0B的面积： (2)如图2，点C为x轴上一动点（点C在点A的左侧)，将点B绕点C逆时针旋转90°至点D,连接DA并延 长与y轴交于点E,当点C在移动过程中，点E的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，请 求出点E的坐标； (3)如图3，点p(a,b)为直线y=x+3上一动点.已知M(4,2,N(-2,5,若M,N,P三点在某长方形的内 部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行.求点P在移动过程中该长方形的面积最小值及此时的取值范 围 2.刻如图1，平面直角坐标系中，直线y=-2+4分别与x轴、y轴相交于4、B两点，与直线y=弓-2交 1 于点C,直线y=-三x-2与y轴交于点D. 2 1/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B 0 P D D 图1 冬2 图3 B H D 图4 (1)求点C,点D的坐标： 1 2如图2，P为直线BC上的一个动点，当S.m-4S,cm,求点P坐标： (3)如图3，P为线段BC上的一个动点，点C关于直线DP的对称点为C,当C恰好落在x轴上时，直接写 出点P的坐标： 4如图4，已知点H-14 1 M在x轴负半轴上运动，N在线段OB上运动，且OM=ON,则BM+HN最 小值为 3.(1)问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线：y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以 AB为腰在第一象限作等腰直角ABC,∠BAC=90°，点A的坐标为一，点B的坐标为 (2)求(1)中点C的坐标 (3)类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段MN在x轴上，点M坐标为(-4,0)，点N与M关于y轴对称，点A是线 段MN上的一个动点，B点坐标为(O,4),以点A为直角顶点，AB为直角边在AB右侧作等腰直角ABC, 连接0C,在点A的运动过程当中，线段0C是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说 明理由. 2/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 图① 图② 备用图 4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-三x+6分别交x轴，y轴于点B,A,直线0C1AB,垂足为点 4 C,D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线I∥x轴，交直线AB于点E,交直线OC点F. B B (1)求线段0C的长： (2)当DE=EF时，求点D的坐标： (3)若直线1过点C,点M为线段OC上一点，N为直线I上的点，已知OM=CN,连接AN,AM,求线段 AN+AM的最小值， 5.如图，在平面直角坐标系中，将等腰三角形ABC的底边AB放在x轴上，顶点C放在y轴正半轴上，己 知AB=8,AC=5.点D为线段BC上一动点，分别过D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，垂足分别为E、F. (1)直接写出点C坐标，并求出直线BC的解析式： (2)当四边形OEDF是正方形时，求动点D的坐标： (3)P为y轴上一动点，在(2)的结论下，连接PD、PB,当PB+PD取最小值时，求动点P的坐标. B 6.定义：平面直角坐标系中，对于P(x,y小(x,,两点，称x-x+以-y为PQ两点的“曼哈顿距离”， 记为md(P,Q) 【探究应用】 平面直角坐标系中，A(2,1),B(3,3). (1)如图1，AC∥x轴，BC∥y轴，md(A,B)=AC+BC=_ 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点M,与y轴交于点N,在线段MN上任取一点 P,md(P,B)是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由. (3)使md(Q,B)=3的所有点Q围成的图形面积为 (4)若点Q是函数y=)x的图象上一动点，则使md(但，B)≤3的所有点Q构成的线段长度为 【拓展延仲】 对于平面直角坐标系中的P(x,y),Qx2,y2)两点，定义△(P,Q)=x-x,-y-y2·如图3的网格坐标系中， 给定点P(4,3),请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使△(P,Q)=1的所有点Q构成的图形，并直 接写出|x-4|-|2x-91的最大值. y 5 yA 4 3 ↑B ·B A.C A O1 M 123456x 图1 图2 图3 7.己知点M和图形W,Q为图形W上一点，若存在点P,使得点M为线段2的中点(P,Q不重合)， 则称点P为图形W关于点M的倍点.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A-1,1,B(-1,-1),C(1,-1, D(1,1. A 4 -543-2O2345 ℃ -3 -4 -5 (1)若点M的坐标为2,0)，P(3,0)是正方形ABCD关于点M的一个倍点，则P(4,2)和P(5,1中，是正方 形ABCD关于点M的倍点的是 (2)点N的坐标为2，)，若在直线y=x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，若t为正整数，求t的所有可 取值； (3)若点G在正方形ABCD边BC或CD上运动，直线y=x+b与x轴交于点E,与y轴交于点F,若线段EF 上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，求b的最小值. 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8。如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=+1的图象与x辅，y轴分别交于4，B两点，以 AB为边在第二象限内作正方形ABCD, D (1)求边AB的长； (2)求点C,D的坐标； (3)在x轴上是否存在点M,使△MDB的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由. 考点02一次函数与几何综合面积相关 9.如图，一次函数y= 3x-4的图象与x、y轴分别交于A、B两点. (1)求A、B两点的坐标； (2)点C(m,n)是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形ABCO的面积； 3 (3)在(2)的条件下，当m=-2时，若点P在坐标轴的负半轴上且使S△4m=Ssa影1c0,请求出点P的坐 标. 10.如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=x+3与x轴相交于点A2,0),与y轴交于点B. 备用图 (1)求k的值及AOB的面积； (2)点C在x轴上，若ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)点M(3,0)在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与AOB的面积相等时，求点P的 坐标. 11.如图，过点C的直线y-x=6与坐标轴相交于A、B两点，己知点C(x,y)是第二象限的点，设△A0C的 面积为S B (1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围； (2)当△A0C的面积为6时，求出点C的坐标： (3)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点M,使得M与A、0、C中任意两点形成的三角形面积也为6， 若存在，请直接写出点M的坐标 12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为-2，)，点B的坐标为-2，b),且 (b+1)=√a-2+√2-a,将线段AB向右平移5个单位得到线段CD,其中点A的对应点为点D. A D D 备用图1 备用2 (1)请直接写出点A、B、C、D的坐标； (2)线段AD与y轴交于点E,线段DE上是否存在一动点P,使得SopC= 55边影BCD,若存在，求出点P的 4 坐标，若不存在，请说明理由； (3)若动点Q从原点出发，沿y轴以每秒0.5个单位长度的速度向上运动，连接直线QC交四边形ABCD的边 长于点F,当直线QC将四边形ABCD的面积分成2：3两部分时，求点Q的运动时间. 13.在坐标平面中，直线y=x+5分别交x轴、y轴于A、B,直线y=-2x+20分别交x轴、y轴于C、D, 直线AB、CD相交于E, 6/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个y D D D E E (1)求点E的坐标； (2)点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G,设P点的横坐标为m, 线段PF的长度为d,求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）： (3)在(2)的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值. 14.如图1，直线y,=2x+6分别交x轴、y轴于A,B两点. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图2，已知直线y,=x-6k+3,无论k取何值，它都经过第一象限内的一个定点C,分别连结AC、 BC,其中AC交y轴于D点. ①求△ABD的面积； 1 ②连接0C,在直线0C上是否存在着点P,使得SB=Sc？若存在，请直接写出P点的坐标（不写 3 求解过程)；若不存在，请说明理由. 图1 图2 15.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正 半轴上，B、C在第一象限内，且OA=6,OC=3√2，∠AOC=45°. 7/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E MN P 图1 图2 (1)顶点B的坐标为一，顶点C的坐标为一； (2)设对角线AC、OB交于点E,在y轴上有一点D(0,~1),x轴上有一长为1个单位长度的可以左右 平移的线段MN,点M在点N的左侧，连接DM、EN,求D+EW的最小值； (3)如图2，若直线1：y=a+b过点P(0,-2),且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请 直接写出直线1的函数解析式. 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别与坐标轴交于A,B两点，点C是线段AB的中点，连 接OC,点P是直线AB上一动点，过点P分别作x轴，Y轴的垂线，垂足分别为D、E,得到矩形ODPE,设 点P的横坐标为m,矩形ODPE与△OcB重叠部分图形的面积为S. (1)用含m的代数式表示点P的坐标. (2)求s与m之间的函数关系式： (3)当矩形ODPE的面积被OC分成两部分图形的面积比为1：3时，求m的值； (4)当矩形ODPE的面积被直线AC分成两部分图形的面积比为1：2时，求m的值 B主 考点03一次函数与几何综合角度相关 17.己知直线4：y=2x-4与x轴、y轴分别交于点A、B,直线：y=-x+5与x轴、y轴分别交于点C、 E,两直线交于点D. 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA A B (1)求点D的坐标： (2)在x轴上是否存在点P,使得△BPD为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在， 请说明理由； (3)在直线4上有一点Q,使得∠CQD=45°，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由. 18.如图1，直线y=-2x-6与x轴，y轴分别交于A,B两点，以点A为顶点、AB为腰在第三象限作等 腰Rt△ABC. B 图1 G 图2 (1)求点C的坐标： (2)如图2，已知点F为直线y=-2x-6上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y轴的负半轴上一点， 坐标为(0，m),以FG为直角边作RteFGH,始终保持∠GFH=90°，FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G 点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求n与m的函数关系式. 19.在平面直角坐标系中，直线y=-3x-5交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=- 2 4x+3交x轴于点C, 交y轴于点D. VA BK------H 图1 图2 (1)如图1，连接BC,求△BCD的面积. 9/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2如图2，在直线y:-3x+3上存在点E,使得∠ABE=45°，求点E的坐标. 4 20.如图1，己知函数y=- 二x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称. 图1 图2 (1)求直线AB的函数解析式： (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P,交直线BC于点Q.连接 BM,如图2且∠BMP=∠BAC.求证：∠MBC=90°. 21.如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=-x,直线2与4交于点A(-a,,与y轴交于点 B(0,b),且(a-22+Vb-6=0 备用图 (1)求直线，的解析式： (2)若有一点P(m,8),使得S4BP=2S4oB,请求出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M,使得∠AB0+∠MB0=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由， 22.如图，己知直线y=x-4分别与x轴，y轴交于A,B两点，直线OG:y=kx(k<0)交AB于点D, 10/22 专题10 一次函数与几何综合题分类训练（6种类型48道） 考点01 最值问题 考点02 一次函数与几何综合面积相关 考点03 一次函数与几何综合角度相关 考点04 一次函数存在性问题全等三角形 考点05 一次函数存在性问题等腰三角形 考点06 一次函数存在性问题直角三角形 考点01 最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点． (1)求的面积： (2)如图2，点为轴上一动点（点在点的左侧），将点绕点逆时针旋转至点，连接并延长与轴交于点，当点在移动过程中，点的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，请求出点的坐标； (3)如图3，点为直线上一动点．已知，若三点在某长方形的内部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行．求点在移动过程中该长方形的面积最小值及此时的取值范围． 【答案】(1) (2)不变， (3)， 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算出、的坐标即可解题； （2）证明≌，可推出是等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作轴，轴，过点作，，长方形即为所求，进而求解． 【详解】（1）解：直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图：过点作轴交轴于点， 由题意知，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图：过点作轴，轴，过点作，， 则为长方形， 由题意知，图中长方形为符合题意的面积最小的长方形，此时点的运动范围在线段上， 由图可知，轴，轴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 可设，， 代入一次函数可得： ，， 解得：，； ∴，， ∴； 故在移动过程中该长方形的面积最小值为，此时的取值范围是． 2．如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点．直线与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，为直线上的一个动点，当，求点坐标； (3)如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为，当恰好落在轴上时，直接写出点的坐标； (4)如图4，已知点，在轴负半轴上运动，在线段上运动，且，则最小值为_____． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）联立两个解析式求出点坐标，令，求出的函数值，得到点坐标即可； （2）求出点坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，根据对称的性质，得到求出的坐标，进而求出，的中点坐标，求出直线的解析式，联立直线和直线，求出点坐标即可． （4）通过在轴正半轴构造，利用和证明，将转化为，从而把转化为；再根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，即的长度，最后利用两点间距离公式计算出，得到的最小值． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴， 令，则：， ∴； （2）当时， ， 设 则 或 或 （3） 设， 点关于直线的对称点， ， 解得：， 或 当时，的中点坐标为 轴 此时， 解得：， 当时，的中点坐标为，即为点， 设直线与轴交于点，则， ， 解得： 设直线的解析式为：， 把代入， 得： 解得： 联立 解得： 综上：或 （4）在轴的正半轴上截取， 如图： 连接，交轴于，在轴的负半轴上截取，连接， 在和中， 此时的值最小，最小为 的最小值为 故答案为： 3．（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______． （2）求（1）中点的坐标． （3）类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图像的性质，一次函数图像上的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是关键． （1）当时，；当时，；即可求出结论； （2）过点C作 ，交x轴于点D，后证明，求得线段的长度即可得出结论 （3）过点C作 ，交x轴于点H，后证明，则，设，则，表示出求出最小值即可． 【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时，； （2）过点C作 ，交x轴于点D， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点C作 ，交x轴于点H， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， 设，则， 当点A在线段上时，如上图，， ， ， 最小值为8，即最小值为； 当点A在线段上时，如下图，， ,故此时长必大于当点A在线段上时长，舍去； 综上所述，最小值为； 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故； 当，则，故； ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则， 解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知，， ∴， 根据等面积法， 得， ∴， 则， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，， ，， ，，， ， ， 由对称的性质可知， ， 则点，，三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，将等腰三角形ABC的底边AB放在x轴上，顶点C放在y轴正半轴上，已知AB＝8，AC＝5．点D为线段BC上一动点，分别过D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，垂足分别为E、F． （1）直接写出点C坐标，并求出直线BC的解析式； （2）当四边形OEDF是正方形时，求动点D的坐标； （3）P为y轴上一动点，在（2）的结论下，连接PD、PB，当PB+PD取最小值时，求动点P的坐标． 【答案】（1）C点坐标为（0，3），y＝﹣x+3；（2）D（，）；（3）P（0，） 【分析】（1）由等腰三角形的性质，可知，由待定系数法可求直线的解析式为； （2）设，由四边形是正方形，则，可得，即可求，； （3）连接交轴于点，此时值最小为，由待定系数法求出直线的解析式为，则可求． 【详解】解：（1）是等腰三角形，，， ，轴， ， 点坐标为， ， ， 设直线的解析式为， 则有， ， ； （2）点为线段上一动点， 设， 四边形是正方形， ， ， ， ，； （3）连接交轴于点， 与关于轴对称， ，此时值最小， 设直线的解析式为， 则有， ， ， 令，则， ． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，熟练应用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 6．定义：平面直角坐标系中，对于两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，． （1）如图1，轴，轴，______． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使的所有点围成的图形面积为______． （4）若点是函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为______． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的两点，定义．如图3的网格坐标系中，给定点，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使的所有点构成的图形，并直接写出的最大值． 【答案】探究应用：（1）3，（2）是定值，3，（3）18，（4），拓展延伸：图见解析，最大值为 【分析】探究应用：（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）由（2）知点Q在一次函数的图象上时，，根据对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形，即可解答； （4）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； 拓展延伸：由题意得，先求出或，再分别取特殊点，即可解答；分情况求出的关系式，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】探究应用： 解：（1）根据题意：； （2）∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）如图，由（2）知点Q在一次函数的图象上时，， 由对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形， 则所有点围成的图形面积为； （4）设，根据定义得， 当时，则，即，解得：（舍去）； 当时，则，即，解得：， ∴； 当时，则，即，解得：， ∴； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长，长度为； 拓展延伸： 由题意得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 则在网格范围内使的所有点构成的图形如图所示， 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 综上，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数综合，理解曼哈顿距离的计算方法，掌握一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 7．已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)若点的坐标为，是正方形关于点的一个倍点，则和中，是正方形关于点的倍点的是______； (2)点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，若为正整数，求的所有可取值； (3)若点在正方形边或上运动，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式，“倍点”的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“倍点”的定义逐一判断即可； （2）设在直线上存在正方形关于点的倍点，在正方形的边上存在点，使点是线段的中点， 分两种情况：当两点重合时，当两点重合时，求出的取值范围，即可得出答案； （3）分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设点是正方形上一点， ∴， 解得：， ∵不在正方形上， ∴不是正方形关于点的倍点， 同理：， 解得：， ∵在正方形上， ∴是正方形关于点的倍点， 故答案为：； （2）解：设在直线上存在正方形关于点的倍点，在正方形的边上存在点，使点是线段的中点， 当两点重合时， 由图可知：为的中点， ， 点在直线上， ， 解得， 当两点重合时，如图： 由图可知：为的中点， ， 点在直线上， ， 解得， ∴， ∵t为正整数， ∴t的所有可取值为1，2，3； （3）解：当点在或边上时，点在线段 的下方，如图： ， 当直线经过点 时，线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，把点的坐标代入到中， 得， 解得， 当点在边上，且为的中点时，到的距离等于点到的距离， 点到的距离为，到原点的距离为， ， b的最小值为； 8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求边的长； (2)求点，的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）先求出一次函数与轴、轴交点、的坐标，再利用勾股定理求的长． （2）通过作辅助线，利用正方形的性质和三角形全等的判定与性质，求出点、的坐标． （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，求出周长的最小值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴，轴分别交于， 当时，， 解得，即； 当时，，即 ， ； （2）解：过作轴于；过作轴于， 是正方形 ， ， ， 在和中 ， ， ， ，则 同理，可证 ， ，则 （3）解：作关于轴的对称点连接，交轴于，此时的周长最小， 的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 考点02 一次函数与几何综合面积相关 9．如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别令和，求出对应的y和x的值即可； （2）根据点C坐标表示出点C到y轴的距离，四边形的面积等于和的面积之和，分别求解后相加即可． （3）先根据求出四边形的面积，进而得到的面积．点P的位置有两种可能性，x轴的负半轴和y轴的负半轴，分类讨论，利用三角形面积公式求出或的长，然后求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当，， ∴， 当，，解得，， ∴， （2）∵点在第三象限， ∴点C到y轴的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，， ∵， ∴， 当点P在x轴的负半轴上时，设点， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴， ， 解得，，此时， 当点P在y轴的负半轴上时，设点， ∵点P和点B的相对位置不确定， ∴， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴，此时， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，坐标系中的三角形面积和动点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 10．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 11．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，     ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且，将线段向右平移5个单位得到线段，其中点A的对应点为点D．    (1)请直接写出点A、B、C、D的坐标； (2)线段与y轴交于点E，线段上是否存在一动点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若动点Q从原点出发，沿y轴以每秒0.5个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边长于点F，当直线将四边形的面积分成两部分时，求点Q的运动时间． 【答案】(1)，，， (2)存在，点P的坐标为 (3)秒或秒 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，然后再根据平移求出C、D点的坐标即可； （2）先求出，，设点，则，求出m的值即可； （3）根据直线将四边形的面积分成两部分，求出这两部分的面积，分情况画出图形，由面积关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵要想有意义， ∴， 解得：， ∴ ， 解得：， ∴，， ∵将线段向右平移5个单位得到线段， ∴，； （2）解：存在；点P的坐标为； 根据题意可知，，，， ∴，， 设点，则， 解得：， ∴P点坐标为；    （3）解：如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时与四边形的面积之比为，    ∵， ∴， 即， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴此时点Q的坐标为， ∴此时点Q的运动时间为：（秒）； 如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时与四边形的面积之比为，    ∵， ∴， 即， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴此时点Q的坐标为， ∴此时点Q的运动时间为：（秒）； 综上分析可知，点Q的运动时间为秒或秒． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 13．在坐标平面中，直线y＝x+5分别交x轴、y轴于A、B，直线y＝﹣2x+20分别交x轴、y轴于C、D，直线AB、CD相交于E， (1)求点E的坐标； (2)点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G，设P点的横坐标为m，线段PF的长度为d，求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值． 【答案】(1)E（5，10） (2)d＝﹣3m（﹣5≤m＜0），d＝3m（） (3)m的值为﹣1或 【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可求出点E的坐标； （2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后分：①当点P在线段AB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点F的横坐标减去点P的横坐标，计算即可得解；②当点P在线段EB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点P的横坐标减去点F的横坐标，计算即可得解； （3）先求出点D的坐标，再求出点G的坐标，然后表示出FG，然后求出△BCD的面积，再分：①当S△EFC：S△DBC＝2：5时，根据△EFC的面积占2份列方程求解即可得到m的值；②当S△DME：S△DBC＝2：5时，设EF与y轴的交点为M，根据△DME的面积占2份列方程求出DM的长，从而求出点M的坐标，然后求出直线EM的解析式，再与直线BC的解析式联立求解即可得到F的坐标，然后根据点F与点P的纵坐标相等计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：联立， 解得． 所以，点E（5，10）； （2） 令 则 令 则 令 则 ， B（0，5），C（10，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5， ①当点P在线段AB上时（如图1）， ∵P、F、G三点具有相同的纵坐标， ∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5）， ∴d＝﹣2m﹣m＝﹣3m（﹣5≤m＜0）， ②当点P在线段EB上时（如图2）， ∵P、F、G三点具有相同的纵坐标， ∴P（m，m+5），F（﹣2m，m+5）， ∴d＝m﹣（﹣2m）＝3m（）； （3） 则当 ∴D（0，20）， 把代入 ∴G（，m+5），FG＝﹣（﹣2m）＝， S△DBC＝DB×OC＝×15×10＝75， ∵直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分， ①如图1，当S△EFC：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△EFC＝30， ∴S△EFC＝××10＝30， ∴m＝﹣1， ②如图2，EF交y轴于点M，当S△DME：S△DBC＝2：5时满足条件，则S△DME＝30， ∴DM＝12， ∴M（0，8）， 易得直线EM的解析式为y＝x+8， ∵， ∴， ∴F（﹣，）， ∴m+5＝， ∴m＝， ∴当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，m的值为﹣1或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标，三角形的面积，难点在于要根据动点P的位置分情况讨论． 14．如图1，直线分别交轴、轴于，两点． （1）直接写出、两点的坐标； （2）如图2，已知直线，无论k取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连结、，其中交轴于点． ① 求的面积； ② 连接，在直线上是否存在着点，使得？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（-3，0），B（0，6）；（2）①；②（，）或（，），理由见解析 【分析】（1）根据直线的解析式求解； （2）①根据直线解析式求得点的坐标；然后利用待定系数法确定直线的解析式．从而求得点坐标为；最后依据三角形的面积公式求解； ②首先利用分割法求得的面积；然后根据推知点到直线的距离是点到直线距离的，所以点位于与直线平行的直线上． 【详解】解：（1）如图1， 令，则． 解得，即， 令，则，即． （2）①， 当时，， 即直线过定点 如图，设直线为， 把，代入，得， 解得， 直线为：． 的坐标为． ． ②点坐标为或． 理由如下：如图2，过点作轴于点， ， 由①知． 设直线为， 把代入得：，解得， 直线为． ⅰ如图3，过点作，交直线于点， ． 又直线，且的坐标为， 直线为． 由解得点的坐标为． ⅱ在轴上，点关于点的对称点为， 如图3，过点作，交于点， ， 由解得点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建一次函数，确定直线与坐标轴的交点坐标，考查了学生计算能力，难度稍大． 15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°． （1）顶点B的坐标为　　，顶点C的坐标为　　； （2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值； （3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式． 【答案】（1）（9，3），（3，3）；（2）DM+EN的最小值为；（3）直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 【分析】（1）延长BC交y轴于点G，可得到等腰，可求出OG，CG，即可求解； （2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，可得到四边形OABC是平行四边形，则当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，由勾股定理即可求出； （3）直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）延长BC交y轴于点G， ∵在平行四边形OABC中，OA＝6，OC＝3 ，∠AOC＝45°， ∴∠COG＝45°，OG＝CG，BC＝OA＝6， ∴在 中， ，即 ， 解得： ，即CG=3， ∴BG＝BC+CG＝9， ∴顶点B的坐标为（9，3），顶点C的坐标为（3，3）， 故答案为：（9，3），（3，3）； （2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N， ∵MN＝DF＝1，∴F（1，–1）， 又由平移性质可得DF∥MN， ∴将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N， ， ∴DM＝FN， ∴当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值， 此时DM+EN＝FN+EN＝EF， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴E是AC的中点， ∵A（6，0），C（3，3）， ∴E（4.5，1.5）， ∵F（1，–1）， ∴EF＝ ， ∴DM+EN的最小值为； （3）设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R， ∵直线l：y＝kx+b过点P（0，−2）， ∴b＝–2， 在y＝kx﹣2中， 当y＝0时，x＝ ， 当y＝3时，x＝， ∴Q（，0），R（，3）， ∴OQ＝，CR＝， ∴S四边形OQRC＝（OQ+CR）×3＝ ， ①当S四边形OQRC＝ S四边形QABR时， ＝ ， 解得：k＝1， ∴直线l的函数解析式为：y＝x–2， ②当S四边形OQRC＝2S四边形QABR时， ＝， 解得：k＝ ， ∴直线l的函数解析式为：y＝x﹣2， 综上，直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一次函数的几何应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想解答． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于A，B两点，点C是线段AB的中点，连接OC，点P是直线AB上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D、E，得到矩形ODPE，设点P的横坐标为m，矩形ODPE与△OCB重叠部分图形的面积为S． （1）用含m的代数式表示点P的坐标． （2）求S与m之间的函数关系式； （3）当矩形ODPE的面积被OC分成两部分图形的面积比为1∶3时，求m的值； （4）当矩形ODPE的面积被直线AC分成两部分图形的面积比为1∶2时，求m的值． 【答案】（1）点P的坐标为(，)；（2）；（3）或；（4）或12． 【分析】（1）把点P的横坐标为，代入直线，即可求解； （2）分等腰直角三角形和梯形两种情况讨论，分别利用三角形和梯形面积公式求解即可； （3）画出图形，分两种情况讨论，利用列式求解即可； （4）画出图形，分两种情况讨论，利用S梯形OAPD=2S△AEP列式求解即可； 【详解】（1）把点P的横坐标为m，代入直线， 则：，即点P的坐标为(，)； （2）∵C是线段AB的中点， ∴直线OC的解析式是：， 当矩形OEPD处于下图所示的位置时， 则：PD与OC交点F的坐标为(，)， 矩形ODPE与△OCB重叠部分图形为△ODF， SOD×DFm•m()， 当矩形OE′P′D′处于下图虚线所示的位置时， 点P′坐标为(，)，则点F′坐标为(，)， 则：P′F′，OD′=，OE′=， S=(P′F′+OD′)×OE′()， 故：S； （3）当矩形所处的位置为下图实线位置时， ∵点P的横坐标为，则：点P坐标为(，)，点F的坐标为(，)， 则：DF，PF，OE， 则：(PF+OE)×OD， DF×OD， 当矩形ODPE的面积被OC分成两部分图形的面积比为1：3时， 即：，则， ∴PF+OE=3DF， 即：，解得：， 同理，当矩形所处的位置为下图虚线位置时， 则， 解得：， 故：或； （4）当矩形ODPE所处的位置在y轴左侧时，如下图（实线所示）， ∵点P的横坐标为，则：点P坐标为(，)， 则：PD=，AO=4，AE=， 则：(OA+PD)×OD()×OD， AE×PEAE×OD()×OD， 由， 即：， 解得：； 同理，当矩形所处的位置为下图虚线位置时， 则 解得：， 故：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数知识的综合应用，关键是通过画图确定图形所处的位置，再按照梯形或三角形面积公式求解． 考点03 一次函数与几何综合角度相关 17．已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点．    (1)求点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上有一点Q，使得，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为或或或或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）联立解析式建立方程组，解出方程组的解即可； （2）利用两点距离公式表示出、、，再分类讨论建立方程求解即可； （3）过C作于点G，则为等腰直角三角形，利用等面积求出，进而求出，再利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：联立两直线解析式可得： ， 解得， 则点D的坐标为； （2）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、B， 则，， 设， 则、、， ①当时，则， 解得， 则点的坐标为； ②当时，则， 解得， 则点的坐标为或； ③当时，则， 解得， 则点的坐标为或； 综上，P的坐标为或或或或； （3）解：直线：与x轴交于点A， 则点的坐标为， 直线：与x轴交于点C， 则点的坐标为， 则， 由（1）知，点的坐标为， ， 过C作于点G，   ， 则， 由于， 则为等腰直角三角形， 设，则 整理得， 解得或， 因此，点的坐标为或． 18．如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 19．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 20．如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出B，C的坐标，对称性求出A点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）根据等边对等角得，结合,根据角的和差可得结论． 【详解】（1）解：函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． 当时，得：， 当时，得：， 解得， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵点C与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若有一点 ，使得，请求出点的坐标； (3)线段上是否存在一个点 ，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在, 【分析】（1）由平方非负性、二次根式非负性及非负数和为零的条件求出，，再由待定系数法求直线的解析式即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，求出，分别表示出，列方程求解即可得到答案； （3）先求得直线交轴于点，作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，再证得，可求得，运用待定系数法求得直线和的解析式，联立的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：，且， ，， 解得，， 、， 设， 将、代入表达式得 ，解得， 直线的解析式为； （2）解：如图所示： 当时，，解得，即， ， ， ， ，即， 或， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：存在． 理由如下： 由（1）知直线的解析式为， 当时，，解得， ∴直线交轴于点， 作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，如图所示： 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、非负数和为零的条件、坐标系中求三角形面积、等腰直角三角形的判定和性质、两点间距离公式、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 22．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论． （1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解； （2）连接，根据题意可证明，得到，求出，再利用在中，由股定理求得； （3）分，两种情况讨论，分别求出直线的函数解析式即可； （4）根据平行求出直线的函数表达式为，得到，，再分当点在点左侧，当点在点右侧分别进行求解． 【详解】（1）解：∵直， 当时，， 当时，， ∴，两点的坐标分别为，． （2）如图，连接， ∵，两点的坐标分别为，， ． ， ． ， ． ， ． ，． ∵点是线段的中点， ． ． （3）如图，当时，过点作轴，于点， ， ． 轴， ． ． ． ， ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 如图，当时，过点作轴，于点， ， ，． ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 综上所述，直线的函数解析式为：或． （4）存在， ∵，，， ∴直线的解析式为． 当时， ∴． ． ， ． 如图，当点在点左侧时，在上取， 又，， ． ． ， ． ∴此时点即为所求． ， ． ∴点的坐标为． 如图，当点在点右侧时， ，， ． 设，则， 由勾股定理得，， ，解得． 此时的坐标为． 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 23．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为，求点M的坐标； (3)连接，如图2．若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）先求出函数与坐标轴的交点，，再根据轴对称的性质得到，再利用待定系数法求解即可； （2）设点，从而得到，，分两种情况讨论：①当点M在x轴正半轴时；②当点M在x轴负半轴时，分别表示出和的长，再利用三角形面积求出的值，即可得解； （3）设点，则，分两种情况求解：①当点在x轴负半轴时，根据轴对称的性质，等边对等角的性质，以及三角形内角和定理，得出，再利用勾股定理求解即可；②当点在x轴正半轴时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则，令，则，解得：， ，， 点C与点A关于y轴对称， ， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， 则直线的函数解析式为； （2）解：设点， 过点M作y轴平行线，交直线于点P，交直线于点Q， 点P、Q的横坐标均为， ，， ①当点M在x轴正半轴时，， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 此时点M的坐标为； ②当点M在x轴负半轴时，， 的面积为， ， 解得：（舍），或 此时点M的坐标为； 综上可知，点M的坐标为或； （3）解：设点，则， ①如图2，当点在x轴负半轴时， 点C与点A关于y轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ，即点P的坐标为； ②如图3，当点在x轴正半轴时， 同理可得， ， ，，， ， 解得：， ，即点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，轴对称性质，勾股定理等知识，掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； (3)如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)直线的表达式 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． 【详解】（1）解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 （2）∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立， 解得：， ∴， 综上所述，或或． 考点04 一次函数存在性问题全等三角形 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 26．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 27．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 28．如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． (1)若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； (3)直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题是一次函数的综合题，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）由对称性得到，，由勾股定理得到，用待定系数法即可求的解析式； （2）分两种情况：当点与点关于直线对称时，；当轴，轴时，，再根据全等三角形的性质，找到等边，建立关系求解； （3）当点与点关于点对称时，，设，根据，即可求点坐标；当点在轴正半轴时，，求点坐标即可． 【详解】（1）解：如图1， ，，， ，， 由对称性可知，，， 在中，， 中，， 即， 解得， ， 设所在直线解析式为， 将，代入， ， 解得， 故所在直线解析式为． （2）解：①如图2， ， 当点与点关于直线对称时， ， 点在直线上， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ， ， ； ②如图3， ， 当轴，轴时， ， 此时， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 如图4， ， 当点与点关于点对称时，， ， 点在直线上， 设， ， ， ， （舍）或； 故点坐标为； 如图5，当点在轴正半轴时， ，，， ， ，， 由对称性可知，， ， 设， 根据折叠的性质，有， 即， 解得， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 ， 解得：， 故直线的解析式为：， 点在直线上， 设， ， ， ， 解得(舍)或， 综上所述，点的坐标为或． 29．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 30．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标； (3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为0或或 【分析】（1）根据一次函数的性质求出点A、C的坐标，再利用长方形的性质即可求出点B的坐标； （2）由折叠的性质得，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （3）分3种情况讨论：①点P与点O重合；②点P在第一象限；③点P在第二象限，画出示意图，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，解得； 令，则； ∴，， ∴，， ∴在长方形中，，，， ∴点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得， 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：①当点P与点O重合时，，此时点P的横坐标为0； ②当点P在第一象限时，则，设与交于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为； ③当点P在第二象限时，则，设与交于点， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴，即， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为； ∴综上所述，点P的横坐标为0或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质与判定，运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 31．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 32．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，点A为y轴上定点． (1)请求出直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)在（2）问条件下，点F在第一象限时，在平面内有点H（不与F重合），以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或； (3)的坐标为或或. 【分析】（1）先求解，，结合点A为y轴上定点，设直线为，再进一步求解即可； （2）先求解，结合，可得，可得，，当时，则，由中点坐标公式可得：； （3）如图，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，当沿轴对折可得，满足，当沿直线对折可得，则，当沿轴对折可得，满足，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于B，C两点， ∴当时，， 当时，则， 解得：， ∴，， ∵点A为y轴上定点， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴由中点坐标公式可得：； 综上：的坐标为或； （3）解：如图， ∵以点O，B，H为顶点的三角形与全等， 当沿轴对折可得，满足， ∴， 当沿直线对折可得，则， ∴， ∴， 当沿轴对折可得，满足， ∴； 综上：的坐标为或或. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，全等三角形的判定，轴对称的性质，作出图形利用数形结合的方法解题是关键. 考点05 一次函数存在性问题等腰三角形 33．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 34．如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值； (2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； (3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、 、、 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先求得，进而求得，即，然后代入求得k的值即可； （2）先求得，再求得直线的解析式为．由题意可得，进而求得，即的长度为；进而得到求得或，再根据已知条件验证可得； （3）由（2）可得，即，设轴上动点的坐标为，则，，，然后再分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C， ∴，即， ∵， ∴，即， 将代入可得：， 解得：． （2）解：∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得， 解得：， ∴， ∴ 的长度为， 由，得， 解得：或， ∵D在线段上，， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即， 解得：或， ∴对应点的坐标为和； ②当时，即， 解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去； 当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，， 解得：， ∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 35．如图，点O为坐标原点，已知直线经过点，与x轴交于点A． (1)求b的取值； (2)若直线与直线相交于点C，求的面积； (3)在x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3)、、、 【分析】本题主要考查了待定系数法、平面直角坐标系中求三角形面积、等腰三角形、一次函数与方程组等知识点，准确地运用坐标系下点的坐标特征以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）如图：连接，求出点C坐标，再利用以及坐标系和三角形面积公式求解即可； （3）根据勾股定理得 ，再分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ，解得：． （2）解：如图，连接， 由（1）可得：， ∴，即， ∵，解得：， ∴， ∴ ． （3）解：∵，， ∴， 设点P坐标为， ①当时 ，即 ， ∴， ∴ 或 ； ②当时，则点P和点A关于对称， ∴ ； ③当时 ， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为、、、． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求点坐标． (3)在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标（直接写结果）． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）设点，则，由题意列出关于的方程，则可得出答案； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由得，， ， 设直线的解析式为， ， ， ； （2）设，则， ， ， ， ， 或； （3）若是等腰三角形，可分三种情况： ①当时， ， ， ； ②当时， ； ， ， 或； ③当时， 设，则， 在中， ， ， ； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法、勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是第一象限内直线上一点． (1)直接写出，的值； (2)设，求的面积与的函数解析式； (3)当是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)△OPA的面积与的函数解析式为 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式求解，坐标与三角形面积，等腰三角形的分类讨论，结合等腰三角形“两边相等”的性质，分情况分析点的坐标是解题关键． （1）由确定直线与坐标轴的交点、，代入直线解析式求解系数； （2）以为底，点的纵坐标为高，结合直线解析式将高用表示，进而推导面积函数． （3）分“、、”三种情况，结合两点间距离公式列方程，筛选出第一象限内的点坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，，代入， 可得， 解得. 答：，． （2）解；由题意可得，点到的距离为， 故， 由点在直线上， 故． 答：的面积S与x的函数解析式． （3）解：已知，，， 分三种情况讨论， 当时： 由， 可得， 解得（不在第一象限，舍去），（与重合，舍去）； 当时： ， 由可得， ， 化简得， 解得， 代入直线解析式，得， 故的坐标为； 当时： 此时，可得， 化简得即， 解得（超出，舍去），， 代入直线解析式，得． 故的坐标为． 综上，点的坐标为或． 答：点的坐标为或． 38．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且． (1)求直线的解析式； (2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点F的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或 【分析】此题考查一次函数交点问题，待定系数法，特殊三角形问题，面积问题与一次函数， （1）先求出点A，B的坐标，由此得到点D的坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （2）设点F的坐标为，把代入直线与直线，得到，，根据，求出n的值，即可解答； （3）分三角形的边两两分别相等的三种情况求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：令中，得；令，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设点F的坐标为， ∵过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N， ∴点M，N的纵坐标都为n， 把代入直线，得，解得， 把代入直线，得，解得， ∴，， ∵， ∴或， ∴点F的坐标为或． （3）解：∵将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C， ∴直线的解析式为， ①当时， ∵， ∴， ∴点P与点C重合，即， ∴点Q在y轴上，即； ②当时， ∵，， ∴， ∴， 过点Q作轴于点M，则， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴点Q的横坐标为， 当时，， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 39．如图，在平面直角坐标系中，函数，该函数的图象记为，图象与轴交于、两点（位于的左侧），与轴交于点，与直线交于点，作直线． (1)若点在图象上，直接写出的值； (2)求直线的解析表达式； (3)直线（）交图象于点，交直线于点，若，求值； (4)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或 (2) (3)或 (4)存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的综合题．熟练掌握分段函数性质，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）分和，分别令，即可求出的值； （2）先求出的坐标，设直线的解析表达式为（），然后把的坐标代入求解即可； （3）分和求出的表达式，令即可求解； （4）总共分三种情况讨论：当时，由等腰三角形的性质得到，即可求出点的坐标；当时，又分2两种情况讨论，先由的坐标，勾股定理求出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：点在图象上， 当时，解得，符合； 当时，解得，符合； 所以的值为或； （2）解：对于，令，则，解得， ； 对于，令，则， ； 设直线的解析表达式为（）， 把点，代入中得， ，解得：， ， 直线的解析表达式为； （3）解：当时，，， ，解得； 当时，，， ，解得． 或； （4）解：①当时，此时在轴正半轴上，如图所示， ， ， ； ②当，且在轴负半轴上时，如图所示， ，， ，． ， ， , , ； ③当，且在轴正半轴上时，如图所示， 由②得，， ， ， 此时， ； 综上所述，在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或． 40．如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与直线相交于点． (1)求k，b的值； (2)点M为线段上一点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线与直线交于点N，连接，．当四边形面积等于20时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点E，是否存在以点，，E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等，有一定的综合性，难度适中． （1）待定系数法求解析式即可； （2）设点M的横坐标为n，则点，点，根据四边形的面积等于20列方程，求解即可； （3）根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，F的坐标，可得，以，、E为顶点的三角形是等腰三角形，分情况讨论：当时，当时，当时，分别列方程，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与直线相交于点， ，， 解得，； （2）解：设点M的横坐标为n，则点，点， ，，四边形的面积 ， 解得， ； （3）解：由（2）知，当时，， ， ， 点， 设直线的解析式：， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式：， 根据平移，可得，，， 直线的解析式为， 设直线的表达式为， 设平移后的点为，则点， 将点坐标代入， 得， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 点， ， 以、、E为顶点的三角形是等腰三角形，分情况讨论： 当时，如图， ， 解得或舍去， 点，； 当时，如图， ， 解得， 点，； 当时，如图， ， 解得舍或， 点， 综上，点的坐标为或或． 考点06 一次函数存在性问题直角三角形 41．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)，，； (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． ∴直线 故答案为：，，； （2）解：①∵直线， 当时，解得， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴； ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 42．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值是6，b的值是 (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出的长度，然后根据三角形的面积公式用含t的代数式表示出的面积S； ②利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒， ∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 43．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为直线上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点． ①当点落在轴上时，请直接写出点的坐标； ②若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点M的坐标，先求出点，得出，求出，根据列出关于m的方程，，解方程即可； （3）①过点C作轴于点E，求出，根据折叠得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； ②分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ∴， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点 ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设点M的坐标， 把代入得：， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得或， ∴点M的坐标或； （3）解：①过点C作轴于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点C作轴于点M，过点D作交延长线于点F，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴此时点N的坐标为：； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 44．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 45．【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，折叠的性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入，求出值，把代入，求出的值，再把点代入，求出值，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为， 把点代入中， 得，所以， 把代入中，得， 所以直线的表达式为， 所以当时，，即点， 所以当，的边上的高为4， 所以； （2）因为点在直线上， 所以， 所以，即直线的表达式为， 当时，， 解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ①如图，当时，由题可得，， 所以， 因为轴，所以， 所以， 因为， 所以 ②如图，当时，由题可知，，， 所以， 所以， 设，则， 在中，， 所以， 解得， 所以， 所以， 综上所述，点的坐标为或 46．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点． (1)求直线的解析式； (2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标； (3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数的解析式求解、图形的翻折变换以及直线夹角问题，涉及到待定系数法、分类讨论思想和方程思想 （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）分，，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点，设，根据等面积法求得，进而求得直线的解析式为；过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而求得直线的解析式为，观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：∵，C为中点． ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ①当时，如图所示， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，沿所在直线将翻折到的位置， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 延长交轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：， ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示，过点作轴于点， 同理可得是等腰直角三角形， ∴ 设，则，则， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵折叠 ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： ∴， ∴； 综上所述，或； （3）解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点， ∴三角形是等腰直角，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 在中， 在中， 又∵ ∵ ∴， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为； 过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴即 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为； 综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或． 47．如图，已知函数的图像与x轴y轴分别交于A、B两点，与函数的图像交于点E，点E的横坐标为2． (1)求b的值和点A的坐标． (2)在y轴正半轴上有一动点P ①如图1，用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点P，使 （不写作法，保留作图痕迹），并求点P的坐标． ②若，过点P作y轴的垂线，分别交函数和函数的图像于点C、D．当时，求t的值． (3)点F是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出F点的坐标． 【答案】(1)，； (2)①图见解析，；②或； (3)点的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点的坐标，即可求解； （2）①作的垂直平分线，交轴于点，则点即为所求，设点，则，根据勾股定理即可求出点的坐标； ②由题意得到点的纵坐标为，设，根据两点间的距离公式即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点E，点E的横坐标为2， ∴， ∴点， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴点； （2）解：作的垂直平分线，交轴于点，则点即为所求，如图： 由作图可知，， 在中 ，， ∴，即， 当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴， 设点，则， ∴， 解得：， ∴点； ②∵轴， ∴轴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴设， ∵， ∴， 解得：或； （3）解：∵点F是坐标轴上的一点，是直角三角形， 当时，点F与原点重合， ∴点， 当时，如图： 在中，， 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， 当时，如图： 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为或或． 48．如图1，直线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A，B，且，P为直线上一动点，点． (1)直接写出点A的坐标及的面积； (2)连接，并以为边作等边，连接． ①随着点P的位置变化，点C，Q可以在直线的异侧（如图2），也可以在直线的同侧（如图3），请你选择图2或图3，求的度数； ②当为直角三角形时，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)点A的坐标为；的面积为 (2)①选择图2或图3，都等于；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）由直线的解析式，得出，利用勾股定理求出，进而可得点A的坐标及的面积； （2）①选择图2，在上截取，证明，推出，进而可求的度数； 选择图3，在上截取，证明，推出，进而可求的度数； ②由①知，当为直角三角形时，分或， 利用勾股定理和三角形全等的判定和性质求出的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：当时，， ，， ， ， ， 由勾股定理得，， 即，解得， ， ． （2）解：选择图2，如图2，在上截取， 又， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， 又， ， ， ； 选择图3，如图3，在上截取， 又， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， 又， ， ， ； ②由①知，当为直角三角形时，或， 当时，如图4，过点Q作轴于N， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入，可得， 解得， 直线的解析式为； 当时，如图5，过点P作轴于M， 同上述的解答思路，同理可求，，直线的解析式为； 综上可知，当为直角三角形时，直线的表达式为或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $