专题13 二元一次方程组应用题分类训练2（比赛数字租车阶梯计费选方案新能源6种类型48道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题13 二元一次方程组应用题分类训练2 （比赛数字租车阶梯计费选方案新能源6种类型48道） 考点01 比赛积分 考点02 数字问题 考点03 租车方案 考点04 阶梯计费 考点05 方案选择 考点06 新能源相关问题 考点01 比赛积分 1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 【答案】(1)该班胜9场，负3场 (2)该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：胜场数负场数场，胜场的得分负场的得分分，列方程组，即可求解； （2）不等关系式：3分线外投篮得分在3分线内（含3分线）投篮得分分，列出不等式，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该班胜x场，负y场，根据题意得 解得： 答：该班胜9场，负3场 （2）解：设该班在这场比赛中投中了m个得3分的球，则投中个得2分的球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为4． 答：该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球． 2．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 【答案】(1)a的值为3，b的值为1 (2)丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场 (3)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系列出方程组，需要注意自变量的取值范围，考虑多种情况． （1）根据题意可列出方程组，然后即可求解； （2）设丙队胜x场，平y场，则负场场，再根据x，y，都为非负整数，然后即可求解； （3）由（2）得丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场，再根据胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，然后分别列式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； ∴a的值为3，b的值为1； （2）解：设丙队胜x场，平y场，则负场； ∴； ∵x，y，都为非负整数， ∴或或； ∴丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场； （3）解：丙队胜6场，平1场，负5场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜5场，平4场，负3场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜4场，平7场，负1场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； ∴， ∴丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是元． 3．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【答案】(1)A队赢了7场，平了5场 (2)B队赢了10场，平了2场，负了1场 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意找准等量关系列方程或方程组解答即可． （1）设球队赢了场，平了场，根据“不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分”列方程组解答即可； （2）设队赢了场，平了场，根据题意列方程，求出，的整数解解答即可． 【详解】（1）解：设球队赢了场，平了场．由题意可列方程组： ，解得： 答：A队赢了7场，平了5场． （2）解：设队赢了场，平了场． 由题意可列方程：， 枚举可得方程的非负整数解为， 因为共踢了13场比赛， 所以， 所以， （场）， 答：B队赢了10场，平了2场，负了1场． 4．甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 【答案】甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分 【分析】本题考查球赛积分表问题，设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分，根据题意列方程，求出，，根据积分都不到50分，得到的值解答即可． 【详解】解：设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分， 则①且②， ①+②得：， 把代入①得， ∵甲、乙两队的积分都不到50分， ∴， 这时甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分， 答：甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分． 5．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 6．“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【答案】(1)， (2)胜一场积3分，平一场积1分 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，则平一场的积分为分；据此建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴平一场的积分为分； ∴； （2）解：设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． 7．某足球联赛一个赛季共进行场比赛（即每队赛场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得分，这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 【答案】胜、平、负的场数分别是7场、场、6场 【分析】设这个队胜、平、负场数分别为x场，y场，z场，根据“共进行场比赛”可得第一个方程，根据“平局的场数比负的场数多7场”可得第二个方程，根据“共得分”可得第三个方程，然后解方程组即可． 【详解】解：设这个队在这个赛季中胜、平、负场数分别为x场，y场，z场， 可列方程组：， 解三元一次方程组得：． 答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数分别是7场、场、6场． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 8．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 【答案】每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 考点02 数字问题 9．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 10．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 11．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 12．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 13．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 14．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 15．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 16．某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】(1)原两位数为38 (2) (3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组 【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解； （3）结合（1），可知：，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． 考点03 租车方案 17．神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．设此次前去观看的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设此次前去观看的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得， 解得， 答：此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车． 18．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【答案】(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 19．某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车 (2)应该租用60座客车4辆才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车，列式计算，即可作答． （2）分别算出租用60座客车4辆的租金以及租用45座客车6辆的租金，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车， 由题意得：， 解得：， 答：这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车； （2）解：由（1）可知，若租用同一种车，要使每名学生都有座位，租用60座客车4辆或租用45座客车6辆， ①租用60座客车4辆，租金为：（元）； ②租用45座客车6辆，租金为：（元）； ∵， ∴应该租用60座客车4辆才合算． 20．某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，具体写出共有多少种租车方案？哪种方案，花费最少？ 【答案】(1)租用A型号客车，每辆车租金是300元、租用B型号客车，每辆车租金是500元 (2)一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A型号客车，每辆车租金是元、租用B型号客车，每辆车租金是元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A型号客车，每辆车租金是元；租用B型号客车，每辆车租金是元， 由题意得：， 解得：， 答：租用A型号客车，每辆车租金是300元；租用B型号客车，每辆车租金是500元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 由题意得，， ∴， 、都是正整数， ∴是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； ∴一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 21．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 【答案】(1)480人 (2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可； （2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得： ， 解得：， 答：七年级师生的总人数为480人． （2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为非负整数， ∴或或， 满足条件的所有租车方案有： 方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆； 方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆； 方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆； 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， 方案三费用：（元）， ∵， ∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱． 22．某公司组织员工出去旅游，公司联系旅游公司提供车辆，该公司现有50座与35座两种车辆，如果用35座的车，会有5人没座；如果全部换乘50座的车，则可少用2辆车，而且多出15个座位． (1)若该公司只能单独租其中一种车，则分别需要多少辆？ (2)若35座车的日租金为250元/辆，50座的日租金为320元/辆，有哪种方案能使座位刚好且费用最少？用这种方案公司要出多少资金． 【答案】(1)租35座的车需要9辆，50座的车需要6辆 (2)租用35座的车需要1辆，50座的车需要5辆费用最低，为1850元． 【分析】本题主要考查了二元一次组的实际应用，以及一次函数的性质． （1）设租35座的车需要x辆，50座的车需要y辆， 由题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出． （2）由（1）得出公司组织出游的人数，设租35座的车需要m辆，其余人乘坐50座的车，则所花金额为n，得出一次函数的关系式，根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设租35座的车需要x辆，50座的车需要y辆， 由题意得：， 解得：， 全部租35座的车会有5人没座，则需35座的车9辆， 故租35座的车需要9辆，50座的车需要6辆． （2）由（1）得，该公司组织出游的人数为：人， 设租35座的车需要m辆，其余人乘坐50座的车，则所花金额为n， ∴， 化简得：， 由于要求能座位刚好且费用最少， ∴当时符合题意， 故租用租35座的车需要1辆，则50座的车需要辆．费用最低为． 23．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元 (2)租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费元． 24．某校组织八年级师生共人参观纪念馆，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有，两种座位数不同的车型，如果租用种车辆，种车辆，则空余个座位：如果租用种车辆，种车辆，则有个人没座位． (1)求该公司，两种车型各有多少个座位？ (2)若种车型的日租金为元/辆，种车型的日租金为元/辆，有多少种租车方案？怎样租车能使得座位恰好坐满且租金最少？最少租金是多少？ 【答案】(1)该公司，两种车型各由个和个座位 (2)租车方案有3种；型租辆，型车租辆时座位恰好坐满且租金最少；最少租金是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设，两种车型各租了辆和辆，总租金为元，根据“总人数为人，恰好坐满”列方程得：，从而得到，由、为非负整数，求出所有租车方案，由两种车型的日租金得：，将代入得：，最后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设该公司，两种车型各、个座位， 根据题意得：， 解得：， 该公司，两种车型各有个和个座位； （2）设，两种车型各租了辆和辆，总租金为元， 根据题意得：，， ， 、为非负整数， 为的倍数， 的值为，或，将其分别代入，求得的对应值分别为，或， 租车方案有3种，如下表： 车型方案 /辆 /辆 1 0 7 2 4 4 3 8 1 将代入中 得：， ， 随的增大而减小， 即当时，租金最少，最少租金是：（元）， 型租辆、型车租辆时，座位恰好坐满且租金最少，最少租金是元． 考点04 阶梯计费 25．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 26．2025年5月11日日是第三十四届全国城市节约用水宣传周，为促进城市节水工作高质量发展，增强人民群众参与节水工作的积极性、主动性，河南省工人文化宫开展了一系列内容丰富、形式多样的主题宣传活动．某市采用价格调控的手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量/ 水费/元 甲户 200 930 乙户 240 1170 (1)求该市居民用水的基本水价和超过部分的水价； (2)若该市丙户居民去年的水费为1050元，求该市丙户居民去年的用水量． 【答案】(1)该市居民用水的基本水价为4.5元/，超过部分的水价为6元/ (2)该市丙户居民去年的用水量为220立方米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及题意，列出二元一次方程组，再解出，即可作答． （2）先分析出，再根据超过部分的水价为6元进行列式，进行作答即可． 【详解】（1）解：设该市居民用水的基本水价为元，超过部分的水价为元． 根据题意，得 解得 答：该市居民用水的基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． （2）解：由（1）可知基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． 则（元） ∵ ∴设该市丙户居民去年的用水量为立方米，且， 根据题意，得． 解得． 答：该市丙户居民去年的用水量为220立方米． 27．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 【答案】(1)一级水费2.6元，二级水费3.2元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可． （2）设小丽家三月份用水立方米，根据小丽家3月份缴费95.2元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解，设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一级水费单价为元，二级水费单价为元． （2）设小丽家三月份用水立方米， 则 解得 答：小丽家三月份用水立方米． 28．某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 (1)求该市居民用水的两种水价． (2)该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 【答案】(1)基本水价为5元/m3，超过m3水价为7元/m3 (2)立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组； （1）设基本水费价格为x元/立方米，超过的部分的水费价格为y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设基本水价为x元，超过水价为y元，依题意，得 ， 解得， 答：基本水价为5元，超过水价为7元． （2）设丙户居民去年的用水量为m立方米，依题意，得 ， 解得． 答：丙户居民去年的用水量为立方米． 29．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过时，按基本价格收费；超过时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： (1)求该市居民用水的两种收费价格； (2)若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为 m3． 【答案】(1)基本水价为3元/，超过15立方米部分的价格为 5元/ ； (2)22 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设基本水费价格为x元/，超过的部分水费价格为y元/，再建立方程组求解即可； （2）先判断这个月一定超过15立方米，再根据等量关系：15立方米的水费＋超过15立方米的水费元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设基本水费价格为x元/，超过的部分水费价格为y元/， 根据题意，得， 解得：， 答：基本水费价格为3元/，超过的部分水费价格为5元/； （2）解：∵（元）， ∴这个月一定超过15立方米， 则， 解得：． 答：该居民这个月的用水量为22． 30．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度 (2)410 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度，根据张华家和李明家的用电量和缴费列出方程组，求出的值，即可解答； （2）先计算用电400度时应缴费（元），比较与205的大小得到该用户这个月的用电量超过400度，设该用户这个月的用电量为度，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度， 由题意得，， 解得：， 答：第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度． （2）解：用电400度时应缴费（元）， ∵， ∴该用户这个月的用电量超过400度， 设该用户这个月的用电量为度， 由题意得，， 解得：， ∴该用户这个月的用电量为410度． 故答案为：410． 31．为了鼓励市民节约用电，某市居民生活用电按阶梯式电价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表的一部分信息： 生活用电销售价格 每户每月用电量 单价：元/度 180度及以下 a 超过180度不超过350度的部分 b 超过350度的部分 0.87 已知小王家2012年6月份用电160度，交电费91.20元；7月份用电300度，交电费177.00元． (1)求a，b的值； (2)因8月份高温天气持续较长，小王家8月份电费达到234.10元，则小王家8月份用电多少度？ 【答案】(1)； (2)380度 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． （1）根据题意结合表格中数据得出，即可求出； （2）首先求出当月用电量为350度时的电费，进而表示出8月份的电费，求出即可． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：当月用电量为350度时，电费为：， 故小王家用电量超过350度． 设小王家8月份用电x度，则得到， 解得（度）， 答：小王家8月份用电量为380度． 32．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 考点05 方案选择 33．某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 34．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，再分区间比较函数值大小，确定最优选择． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ，解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）甲印刷社：， 乙印刷社：， 当时，，选择甲印刷社； 当时，若，得，即，选择甲印刷社划算； 若，得，即，选择两家印刷社一样划算； 若得，即，选择乙印刷社划算． 综上所述，时选择甲印刷社划算； ，选择两家印刷社一样划算； ，选择乙印刷社划算． 35．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 【答案】(1)A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，可求出按原价后面所需费用，结合商场给出的两种优惠方案，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； （2）解：选择方案一更省钱，理由如下： 按原价购买所需费用为（元）； 选择方案一购买所需费用为（元）； 选择方案二购买所需费用为（元）， ∵， ∴选择方案一更省钱． 36．果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 【答案】(1)需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； (2)安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型，根据“全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型，根据安排的三种车型一次可运送150吨苹果，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为正整数，可得出各派车方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型， 根据题意得：， 解得：． 答：需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种派车方案， 方案1：安排4辆甲种车型，3辆乙种车型，8辆丙种车型，总费用为（元）； 方案2：安排3辆甲种车型，6辆乙种车型，6辆丙种车型，总费用为（元）； 方案3：安排2辆甲种车型，9辆乙种车型，4辆丙种车型，总费用为（元）； 方案4：安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型，总费用为（元）． ∵， ∴安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元． 37．某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 【答案】(1)该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元 (2)①；②选择公司合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键； （1）设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可； （2）①求出A公司在时，的表达式；求出B公司在及时的表达式即可； ②分别当时；当时；当时，进行考虑即可． 【详解】（1）解：设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元． 由题意得：． 化简得：， 解得：； 答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元． （2）解：①由题意得： A公司：当时，， ； B公司：当时，， 当时，， ； ； ②若，即， 故当时，，故选择A公司合算； 当时，，故选择A、B公司一样合算； 当时，，故选择B公司合算． 38．悦耳电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度为30秒和60秒的两种广告．30秒广告每播1次收费万元，60秒广告每播1次收费2万元，若要求每种广告播放不少于1次．试问： (1)两种广告的播放次数有几种安排方式？ (2)电视台选择哪种方式播放收益最大？哪种方式收益最小？其最大收益、最小收益各为多少？ (3)若既要考虑悦耳电视台的收益，又要兼顾两种广告客户的利益和宣传力度，你认为电视台采用哪种播放方式最合适？ 【答案】(1)3种，或或 (2)时收益最大为9.2万元，时收益最小为8.4万元 (3)选择30秒广告播放4次，60秒广告播放2次 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，一次函数的应用，方案问题． (1)设30秒广告播放次，60秒广告播放次．由题意得，则． 根据均为不少于1的正整数，求解即可． (2)设悦耳电视台的收益为元，则， 根据一次函数的性质，结合(1)的方案，计算即可． (3)计算所有方案的费用，结合题意，比较选择即可． 【详解】（1）设30秒广告播放次，60秒广告播放次．由题意得，则． ∵均为不少于1的正整数， ∴， 故符合题意的解为， 故有3种播放方式，分别是30秒广告播放6次，60秒广告播放1次或30秒广告播放4次，60秒广告播放2次或30秒广告播放2次，60秒广告播放3次． （2）设悦耳电视台的收益为元， 则， 根据一次函数的性质，结合(1)的方案，计算即可． 随的增大而减少， 故当时，（万元）； 当时，（万元）． （3）由（2）可知，当时，（万元）， 而8.8万元>8.4万元． 故既考虑悦耳电视台的收益，又考虑两种广告的客户的宣传力度的需要，应选择30秒广告播放4次，60秒广告播放2次． 39．利用方程（组）或不等式（组）解决问题： “四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，已知购买2本《论语》和3本《孟子》共需要160元，购买4本《论语》和1本《孟子》共需要170元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共40本，其中《论语》不少于28本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠10元．如果此次学校买书的总费用不超过1040元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 【答案】(1)《论语》的单价为35元，《孟子》的单价为30元 (2)3种；购买《论语》28本，《孟子》12本，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组，以及一元一次不等式组的实际应用，找到题中等量关系是解题的关键． （1）设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》本，根据题意列出不等式组，结合m为整数，得到可取的数值，再求出每种方案的总价比较即可得出结果； 【详解】（1）设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元， 依题意得： 解得： 答：《论语》的单价为35元，《孟子》的单价为30元. （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》本， 依题意得： 解得： 又∵ m为整数， ∴ m可以为28，29，30， ∴ 共有3种购买方案， 方案1：购买《论语》28本，《孟子》12本， 购书的总费用为（元）； 方案2：购买《论语》29本，《孟子》11本， 购书的总费用为（元）； 方案3：购买《论语》30本，《孟子》10本， 购书的总费用为（元）； ∴ 为了节约资金，学校应选择方案1：购买《论语》28本，《孟子》12本. 40．国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元． (1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元． (2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 若该校共需购买40副围棋和副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算． 【答案】(1)每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元； (2)当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算 【分析】（1）设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元”列出二元一次方程组，求出解即可； （2）设选择方案一所需的费用为元，选择方案二所需的费用为元，利用一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元． 根据题意，得， 解得， 答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元； （2）解：设选择方案一所需的费用为元，选择方案二所需的费用为元． 由题意，可知；． 若，则，解得． 若，则，解得． 若，则，解得． ∵，∴若，则． ∴当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用和一次函数的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键． 考点06 新能源相关问题 41．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 42．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 43．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A 、 B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元 (2)方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车；方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车；方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； (3)购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据 2 辆型汽车、 3 辆型汽车的进价共计 80 万元； 3 辆型汽车、 2 辆型汽车的进价共计 95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用 180 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 44．某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 【答案】(1)每名高级装配工每月可以组装6辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装2辆该款新能源汽车； (2)一共有三种抽调方案：方案一、抽调高级装配工1人，初级装配工7人；方案二、抽调高级装配工2人，初级装配工4人；方案三、抽调高级装配工3人，初级装配工1人 (3)1名 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车，根据1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆建立方程组求解即可； （2）设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人，根据一年生产240辆列出方程，求出方程的正整数即可得到答案； （3）分配计算出三种方案的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车， 由题意得， 解得， 答：每名高级装配工每月可以组装6辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装2辆该款新能源汽车； （2）解：设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种抽调方案：方案一、抽调高级装配工1人，初级装配工7人；方案二、抽调高级装配工2人，初级装配工4人；方案三、抽调高级装配工3人，初级装配工1人； （3）解：选择方案一的费用为：元， 选择方案二的费用为：元， 选择方案三的费用为：元， ∵， ∴要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调1名初级装配工． 45．一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 46．2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车 (2)200名 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可； （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，            根据题意得：，            解得：                       答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车． （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人， 根据题意得：， 解得 ． ． ∴当时，W取最小值，最小值为2360000． 答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少． 47．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元 (2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可． 【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：，解得，， ∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， ∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元． 48．近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段时间后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每月也可安装10辆电动汽车． (1)求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量． (2)从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍． ①求这款电动汽车平均每千米的行驶费用； ②若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为6400元和4000元．问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)①这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元；②当每年行驶里程大于4000千米时，买电动汽车的年费用更低 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每月也可安装10辆电动汽车．”，再建立方程组解题即可； （2）①设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，根据“当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”，再列方程解题即可；②设每年行驶里程为千米，根据“买电动汽车的年费用更低”，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得 解得 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）①设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元． ②燃油车平均每千米的行驶费用为（元）． 设每年行驶里程为千米， 根据题意得， 解得． 答：当每年行驶里程大于4000千米时，买电动汽车的年费用更低． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二元一次方程组应用题分类训练2 （比赛数字租车阶梯计费选方案新能源6种类型48道） 考点01 比赛积分 考点02 数字问题 考点03 租车方案 考点04 阶梯计费 考点05 方案选择 考点06 新能源相关问题 考点01 比赛积分 1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 2．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 3．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 4．甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 5．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 6．“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 7．某足球联赛一个赛季共进行场比赛（即每队赛场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得分，这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 8．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 考点02 数字问题 9．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 10．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 11．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 12．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 13．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 14．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 15．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 16．某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 考点03 租车方案 17．神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 18．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 19．某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 20．某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，具体写出共有多少种租车方案？哪种方案，花费最少？ 21．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 22．某公司组织员工出去旅游，公司联系旅游公司提供车辆，该公司现有50座与35座两种车辆，如果用35座的车，会有5人没座；如果全部换乘50座的车，则可少用2辆车，而且多出15个座位． (1)若该公司只能单独租其中一种车，则分别需要多少辆？ (2)若35座车的日租金为250元/辆，50座的日租金为320元/辆，有哪种方案能使座位刚好且费用最少？用这种方案公司要出多少资金． 23．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 24．某校组织八年级师生共人参观纪念馆，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有，两种座位数不同的车型，如果租用种车辆，种车辆，则空余个座位：如果租用种车辆，种车辆，则有个人没座位． (1)求该公司，两种车型各有多少个座位？ (2)若种车型的日租金为元/辆，种车型的日租金为元/辆，有多少种租车方案？怎样租车能使得座位恰好坐满且租金最少？最少租金是多少？ 考点04 阶梯计费 25．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 26．2025年5月11日日是第三十四届全国城市节约用水宣传周，为促进城市节水工作高质量发展，增强人民群众参与节水工作的积极性、主动性，河南省工人文化宫开展了一系列内容丰富、形式多样的主题宣传活动．某市采用价格调控的手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量/ 水费/元 甲户 200 930 乙户 240 1170 (1)求该市居民用水的基本水价和超过部分的水价； (2)若该市丙户居民去年的水费为1050元，求该市丙户居民去年的用水量． 27．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 28．某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 (1)求该市居民用水的两种水价． (2)该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 29．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过时，按基本价格收费；超过时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： (1)求该市居民用水的两种收费价格； (2)若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为 m3． 30．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 31．为了鼓励市民节约用电，某市居民生活用电按阶梯式电价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表的一部分信息： 生活用电销售价格 每户每月用电量 单价：元/度 180度及以下 a 超过180度不超过350度的部分 b 超过350度的部分 0.87 已知小王家2012年6月份用电160度，交电费91.20元；7月份用电300度，交电费177.00元． (1)求a，b的值； (2)因8月份高温天气持续较长，小王家8月份电费达到234.10元，则小王家8月份用电多少度？ 32．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 考点05 方案选择 33．某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 34．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 35．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 36．果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 37．某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 38．悦耳电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度为30秒和60秒的两种广告．30秒广告每播1次收费万元，60秒广告每播1次收费2万元，若要求每种广告播放不少于1次．试问： (1)两种广告的播放次数有几种安排方式？ (2)电视台选择哪种方式播放收益最大？哪种方式收益最小？其最大收益、最小收益各为多少？ (3)若既要考虑悦耳电视台的收益，又要兼顾两种广告客户的利益和宣传力度，你认为电视台采用哪种播放方式最合适？ 39．利用方程（组）或不等式（组）解决问题： “四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，已知购买2本《论语》和3本《孟子》共需要160元，购买4本《论语》和1本《孟子》共需要170元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共40本，其中《论语》不少于28本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠10元．如果此次学校买书的总费用不超过1040元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 40．国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元． (1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元． (2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 若该校共需购买40副围棋和副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算． 考点06 新能源相关问题 41．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 42．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 43．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 44．某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 45．一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 46．2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 47．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 48．近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段时间后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每月也可安装10辆电动汽车． (1)求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量． (2)从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍． ①求这款电动汽车平均每千米的行驶费用； ②若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为6400元和4000元．问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $