第五章 二元一次方程组（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学二元一次方程组复习讲义通过题型分类构建知识体系，将15个核心题型按“基础巩固-能力提升-思维拓展”递进排列，用表格归纳二元一次方程（组）的定义、解与函数图象的联系，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与创新题型结合，如错解问题（题型9）、遮挡问题（题型10）培养推理意识，应用题（题型11）训练用数学思维解决实际问题。每个题型配例题与变式，基础学生掌握方法，优秀学生拓展思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

第五章 二元一次方程组（举一反三讲义）全章题型归纳 【北师大版2024】 【基础巩固】 1 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 1 【题型2 二元一次方程（组）的解】 2 【题型3 解二元一次方程组】 2 【题型4 解三元一次方程组】 3 【题型5 利用二元一次方程组求一次函数解析式】 3 【题型6 两直线的交点与一元二次方程】 4 【题型7 图象法解一元二次方程】 4 【能力提升】 5 【题型8 二元一次方程（组）的整数解】 5 【题型9 二元一次方程组的错解问题】 6 【题型10 二元一次方程组的遮挡问题】 6 【题型11 二/三元一次方程（组）的应用】 7 【题型12 求直线围成的图形面积】 8 【思维拓展】 9 【题型13 根据二元一次方程组解的关系求参数】 9 【题型14 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 10 【题型15 构造二元一次方程组求解】 10 【基础巩固】 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【题型2 二元一次方程（组）的解】 【例2】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【变式2-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【题型3 解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【变式3-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】解方程组： ； ． 【变式3-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【题型4 解三元一次方程组】 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式4-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式4-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【题型5 利用二元一次方程组求一次函数解析式】 【例5】已知点B是直线与的交点． (1)试求出点B的坐标； (2)如果直线经过点和点B，求和的值． 【变式5-1】已知一次函数的图象经过和两点，求一次函数的解析式． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点、点都在一次函数（k，b都是常数，且）的图象上，点是一次函数与x轴的交点，求点B的坐标． 【变式5-3】如图，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上任意一点，且满足，求点P的坐标． 【题型6 两直线的交点与一元二次方程】 【例6】已知一次函数（、为常数，），当时，；当时，．则一次函数与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若直线经过点，经过，且与关于轴对称，则与的交点坐标为 ． 【题型7 图象法解一元二次方程】 【例7】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组 的解． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【能力提升】 【题型8 二元一次方程（组）的整数解】 【例8】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【变式8-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【变式8-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【题型9 二元一次方程组的错解问题】 【例9】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【变式9-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【变式9-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【变式9-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型10 二元一次方程组的遮挡问题】 【例10】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【变式10-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【变式10-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【题型11 二/三元一次方程（组）的应用】 【例11】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【变式11-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【变式11-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【变式11-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【题型12 求直线围成的图形面积】 【例12】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式12-1】直线与直线以及轴围成的三角形面积是 ． 【变式12-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线交于点A，与轴交于点B．直线与轴交于点，与轴交于点，且． (1)求的值： (2)求的面积． 【变式12-3】（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思维拓展】 【题型13 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例13】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【变式13-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式13-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型14 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例14】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式14-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式14-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【题型15 构造二元一次方程组求解】 【例15】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【变式15-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【变式15-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【变式15-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组（举一反三讲义）全章题型归纳 【北师大版2024】 【基础巩固】 1 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 1 【题型2 二元一次方程（组）的解】 3 【题型3 解二元一次方程组】 5 【题型4 解三元一次方程组】 7 【题型5 利用二元一次方程组求一次函数解析式】 9 【题型6 两直线的交点与一元二次方程】 12 【题型7 图象法解一元二次方程】 14 【能力提升】 16 【题型8 二元一次方程（组）的整数解】 16 【题型9 二元一次方程组的错解问题】 19 【题型10 二元一次方程组的遮挡问题】 21 【题型11 二/三元一次方程（组）的应用】 23 【题型12 求直线围成的图形面积】 27 【思维拓展】 33 【题型13 根据二元一次方程组解的关系求参数】 33 【题型14 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 35 【题型15 构造二元一次方程组求解】 37 【基础巩固】 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键：含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义得到，由此求出a、b的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得， ∴， 故答案为：1． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故（1）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故（2）符合题意； 方程组中不是整式方程，故（3）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故（4）不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【题型2 二元一次方程（组）的解】 【例2】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解．分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：由两个表格可知： 是关于的二元一次方程和的公共解， 则二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．先求出题干中方程组的解，再分别求出各选项方程组的解，对比后即可解题． 【详解】解方程组，得， A、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； B、解方程组，得，与原方程组的解相同，故本选项符合题意； C、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； D、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 【题型3 解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 【变式3-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【变式3-2】解方程组： ； ． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 应用代入消元法，求出方程组的解即可． 应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【答案】解：， 由，可得：， 代入，可得：， 解得， 把代入，可得：， 原方程组的解是． ， 由可得：， ，可得， 解得， 把代入，可得：， 解得， 原方程组的解是．  【变式3-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型4 解三元一次方程组】 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过①+②得到与的关系式，再与③联立求解； （2）通过②-①，③-②，得到与二元一次方程组达到消元的目的即可求解． 【详解】（1）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （2）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【变式4-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 【题型5 利用二元一次方程组求一次函数解析式】 【例5】已知点B是直线与的交点． (1)试求出点B的坐标； (2)如果直线经过点和点B，求和的值． 【答案】(1)B点坐标为 (2) 【分析】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数基本性质是解题关键； （1）联立两个函数，得到方程组，解方程组即可； （2）将两点代入直线解析式，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∴B点坐标为． （2）将、代入直线， 得到：， 解得：． 【变式5-1】已知一次函数的图象经过和两点，求一次函数的解析式． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．根据待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设一次函数解析式，将点，代入得 ， 解得， 所以，一次函数解析式为：． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点、点都在一次函数（k，b都是常数，且）的图象上，点是一次函数与x轴的交点，求点B的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数图象中点的坐标特征，熟练掌握求一次函数的解析式是解题的关键．先用待定系数法求一次函数的解析式，再将代入解析式求解即可． 【详解】解：将点、点的坐标代入，得， 解得， 一次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 点B的坐标为． 【变式5-3】如图，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上任意一点，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何综合． （1）根据题意求出点C的坐标，将，C的坐标代入中求解，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点B的坐标，设点P的坐标为，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， 点C的坐标为． 将，的坐标代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：当时，有，解得， 点B的坐标为， 设点P的坐标为， ∵， 即：， 整理得， 解得，， 点P的坐标为或． 【题型6 两直线的交点与一元二次方程】 【例6】已知一次函数（、为常数，），当时，；当时，．则一次函数与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．先利用待定系数法求得函数的解析式，然后根据一次函数的解析式判断图象所经过的象限，进而判断交点所在象限即可． 【详解】解：把 ， ；，分别代入中得： ，解得 ， 一次函数为，正比例函数为， 一次函数的图象在第一、三、四象限，正比例函数的图象在二、四象限， 一次函数与正比例函数图象的交点在第四象限． 故选：D ． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法． 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标． 【详解】解：假设的解析式为，将代入得， ， 解得， ∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ， 解得， ∴， 联立， 解得， 所以，交点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可．由题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：联立， 解得： ∴交点坐标为， 故选：B 【变式6-3】若直线经过点，经过，且与关于轴对称，则与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及对称的性质，正确得出与的交点坐标为与与轴的交点是解题关键．根据对称的性质得出两个点关于轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与轴的交点即可． 【详解】解：直线经过点，经过点，且与关于轴对称， 两直线相交于轴上， 直线经过点，经过点，且与关于轴对称， 直线经过点，经过点， 把和代入直线的解析式， 则，解得：， 故直线的解析式为：， ，得：， 即与的交点坐标为． 故答案为：． 【题型7 图象法解一元二次方程】 【例7】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组 的解． 【答案】 【分析】根据题意分别求出两个一次函数图象的解析式即可得解． 【详解】解：将点、代入得， 解得， 所以， 将点，代入得， 解得， 所以， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确的运算是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质，理解“不动点”的定义是解题的关键． 由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据交点坐标，得到方程组的解为：，通过对方程组进行变量替换，将原方程的解转换为新方程的解． 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵， ∴， ∴的解为：， ∴； 故选B． 【能力提升】 【题型8 二元一次方程（组）的整数解】 【例8】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【答案】答案不唯一  【分析】先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值． 本题考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程的整数解的求法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得． 要使，都是正整数， 则，， 故答案可以是：答案不唯一． 【变式8-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【答案】   【详解】解：  得，， 解得． 关于，的方程组的解为整数， ，，，，，， 满足条件的所有的值的和为． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 【题型9 二元一次方程组的错解问题】 【例9】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 【变式9-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【答案】-40 【分析】把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得到a与b的方程，联立求出a与b的值,再计算abc的值即可． 【详解】解：由甲运算结果得，， 解得， 由乙运算结果得， 得， 解得． = 故答案为：-40 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式9-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴方程可化为， 解得， 故选：A． 【变式9-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【题型10 二元一次方程组的遮挡问题】 【例10】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为的解， ∴， ∴， 将，代入可得， 解得：， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【变式10-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 【题型11 二/三元一次方程（组）的应用】 【例11】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】(1)种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 【变式11-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 【变式11-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【答案】(1)牛奶每箱30元，咖啡每箱50元， (2)6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，根据此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元， 由题意得，， 解得， ∴牛奶每箱30元，咖啡每箱50元； （2）解：设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n、z都是非负整数， ∴是5的倍数，即z是5的倍数， 当时，（此时花费超过1200，舍去） 当时，（此时花费超过1200，舍去）； 当时，，符合题意； 当时，（舍去）； 综上所述，， 答：此次按原价采购的咖啡有6箱． 【变式11-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【答案】(1)设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元 (2)有两种进货方案：方案一：购进设备台，设备台；方案二：购进设备台，设备台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列方程（组）并求解是解题的关键． （1）设出、设备的进价，根据已知的两种采购情况列出二元一次方程组，求解得出进价． （2）根据投入资金列出方程，结合正整数条件，对未知数取值讨论，得出进货方案． 【详解】（1）解：设设备每台的进价为万元，设备每台的进价为万元． 解得 答：设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元． （2）解：已知企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台 得 因为、均为正整数，所以对进行取值讨论： 当时，； 当时，； 当时，（为正整数，故舍去） ∴有两种进货方案： 方案一：购进设备台，设备台； 方案二：购进设备台，设备台． 【题型12 求直线围成的图形面积】 【例12】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【变式12-1】直线与直线以及轴围成的三角形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直线与直线，直线与坐标轴交点问题，掌握两直线的交点坐标的求解是解题的关键． 根据题意，求出直线与直线的交点坐标及与轴的交点坐标，再求三角形面积即可． 【详解】解：联立， 解得， 所以直线与直线的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 所以直线与直线以及轴围成的三角形面积， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线交于点A，与轴交于点B．直线与轴交于点，与轴交于点，且． (1)求的值： (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意求得点E的坐标，然后利用待定系数法即可求得k、b的值即可； （2）两直线解析式联立成方程组，然后解方程组求得点A的坐标，由求得B的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， 把C、E的坐标代入得∶ ，解得． （2）解：由（1）得，直线的解析式为：， 则，解得， ∴， 把代入，求得， ∴点B的坐标， ∵， ∴， ∴． 【变式12-3】（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，求两直线交点坐标等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得直线解析式； （2）连接，求出D坐标后直线的函数解析式可求，进而C，E两点坐标可求，故四边形可求； （3）分两种情况：当P在y轴上或在x轴上，设出P点坐标，利用作为等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1） 解：与轴、轴分别交于，两点代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2） 连接，如图： ∵， ， ， ， ， 把代入得：， ∴直线的函数解析式为， 令得， ， 由，得： ， ∴四边形的面积为4； （3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下： ， ， ， 当P在y轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或； 当P在x轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或． 综上所述，P的坐标为或或或． 【思维拓展】 【题型13 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例13】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 【变式13-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到，然后代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：，即 ， ， 解得：， 故选：B． 【变式13-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A. 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 【题型14 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例14】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 【变式14-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值． 【详解】解：， 由，得， ∴ 把代入①得， ∴， 把，代入，得 ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握用加减法和代入法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式14-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法． 【详解】解：①②得， ， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ， 解得． 故答案为：． 【变式14-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程的解，解二元一次方程，关键是熟练掌握新定义运算． （1）根据新定义代入数据计算即可求解； （2）根据新定义可得，代入方程得到，则，根据当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，且 ∴， 解得； 故答案为：12； （2）∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴ 则 ∴ ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故这个公共解为． 故答案为：． 【题型15 构造二元一次方程组求解】 【例15】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义问题，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．根据新定义可得，，分别整理联立方程解出即可． 【详解】解：根据新运算可得：，即， 整理得：， ，即， 整理得：， 联立，得， ①+②，得， 解得：， 将代入②，得， 即； 所以． 故答案为：． 【变式15-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 【变式15-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据题意可得，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴， 故答案为： 【变式15-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 由题意得解出x，y的值，即可解答． 【详解】解：由题意得 ， 即， ∴，． 故答案为，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $