专题05 勾股定理实际应用（12种类型72道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05 勾股定理实际应用（12种类型72道) 考点归纳 考点01梯子问题 考点02引葭赴岸 考点03飞行问题 考点04楼梯问题 考点05选址问题 考点06水面航行 考点07判断是否受台风影响 考点08测量高度 考点09大树折断 考点10汽车测速 考点11计算河宽 考点12最短路径问题 考点专练 考点01梯子问题 1.如图，已知消防云梯最长只能伸长到25mAB=CD=25m),消防车高3m,救援时云梯伸长至最长，在 完成从23m(AE=23m高的A处救援后，还要完成比A处高4m的点C处的救援，则消防车需要从点B处 向点D处移动的距离为()m· 救援点 救援点水 D E 地面 A.8 B.7 C.4 D.3 2.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙A0上，测得A0=16米.若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯 子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子AB的长度为() 1/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D A.20米 B.16米 C.12米 D.24米 3.如图，一根长为5m的梯子AB斜靠在一面竖直的墙A0上，这时A0的长为4m.如果梯子的顶端A沿墙 下滑lm,那么梯子底端B外移的距离BD() D B A.等于1m B.大于1m c.小于1m D.以上都不对 4.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为 0.7m,梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m,若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶 端C到地面的距离CB为2m,则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为() D 梯子 梯子 E B A.2.2m B.2m C.1.5m D.2.5m 5.如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑 动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了()米. E B B D A.0.5 B.0.4 C.0.6 D.1 6.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙A0上，测得A0=4m,若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端 2/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 也下滑1m,则梯子AB的长度为() BD A.3m B.4m C.5m D.6m 考点02引葭赴岸 7.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池 边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可列方程为() A.x2+102=(x+12 B.（x-1)+52=x2 C.x2+52=(x+1)2 D.(x-12+102=x 8.《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺.引葭 赴岸，适与岸齐.问水深、葭长几何”.下列答案正确的是() A.3尺、4尺B.6尺、8尺 C.12尺、13尺D.24尺、25尺 9.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（汇）生其中，出水一尺.引葭 赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈=10尺.）其大意为：有一个水池，水面是一个 边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点， 它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？则水深为() A.6尺 B.7尺 C.8尺 D.9尺 10.如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 3/21 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面.则水的深度是() B A.15尺 B.24尺 C.25尺 D.28尺 11.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如 果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为() A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺 12.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是()尺 A.8 B.10 C.13 D.12 考点03飞行问题 13.某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.2km后，再向北飞行0.9km抵达社区配送点，由 于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕 过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为() 个北 社区配送点 仓库 A.1.0km B.1.5km C.1.8km D.2.1km 4/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高5m,两树相距12m,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的 树梢，则小鸟至少飞行() A.5m B.10m C.13m D.17m 15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米·一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的 树梢，问小鸟至少飞行() A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 16.电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！"他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命.在学习和生活中，我们 都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮 在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行5km,再向正北飞行12km,最后直线返回起点，问哪吒最后返回 时的直线距离是()km. A.5 B.12 C.13 D.17 17.如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C 处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速 度相同，则鹰飞行的距离为 米 A 5/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000 米，则飞机每小时飞行 千米。 考点04楼梯问题 19.如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米.如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价 是150元，楼梯宽为2米.那么购买这种地毯至少需要 元 B 20.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m， 地毯的价格为100元/m2,则购买地毯需花费_元. 5m 13m 21.如图，某会展中心准备将高5m,长13m,宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个 楼道至少需要 元 5m 13m B 2m A 22.如图所示，是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米 B 23.某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2，则 地毯的长为m,购买这种地毯至少需要元： 3m 24.如图，在高为2.5m,坡面长为6.5m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要() 6/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.5m 6.5m A.7m B.7.5m C.8m D.85n 考点5选址问题 25.如图，公路上A、B两点相距10km,C、D为两村庄，已知DA=4km,CB=6km,DA⊥AB于A, CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是() km A E 4km 6km A.4 B.5 C.6 D.2 26.如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB,CB1AB,垂足分别 为A和B,DA=24千米，CB=16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E,使得C、D两村到该候车点 的距离相等.则候车点E应距A点() D E A.12千米 B.16千米 C.20千米 D.24千米 27.某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E,使得C,D两村庄到E的距离相等，己知AB=18km, DA=9km,CB=15km·DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,则AE的长是() A E B ◇ 9km 15km D C A.10km B.11km C.12km D.13km 28.如图，城南大道MN的同一侧有A、B两个社区，CA⊥MN于C,DB⊥MN于D,C、D两点相距5km, 己知CA=Ikm,DB=3k,现要在CD上建一个社区服务站E,使得A、B两社区到E站的距离相等，则CE 7/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的长是()km M C E D N B A.2 B.3.3 C.2.5 D.2.8 29.如图，商场（点M)距公路（直线1）的距离（M4)为2.4km,在公路上有一车站（点N),车站距商 场(NM)为4km,公交公司拟在公路1上建一个公交车停靠站（点P),要求停靠站（点P)到商场（点 M)与到车站（点）的距离相等，则停靠站到车站的距离(NP)为 km. ◇ A 30.如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、 D两处的距离为600m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. D 考点06水面航行 31.如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18 海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军 巡逻艇的航行路程AC=」 海里. 北F 北G B 32.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向 东南方向航行，则2小时后两船相距 海里。 8/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 西 东 南 33.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、"海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小 时24 nmile的速度沿北偏东35°方向航行，“海天”号以每小时10 nmile的速度沿北偏西55°方向航行，一小时后， “远航”号、“海天”号分别位于Q,R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离RQ为nmile. 北 东 34.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方 向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是_ 海里. 北 B 东 750 309 609 35.一 艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处， 看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上.若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里.（结果精确到0.1海里）（参考数据：√2≈1.41，√≈1.73） 9/21 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 北 本 S B 西 A →东 南 36.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间 后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留 根号). 北 45 东 160° 考点07判断是否受台风影响 37.广东省7~9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热 带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动.如图，某 沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动， 已知城市A到BC的距离AD为160km. D B (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小 时？ 38.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的 方式扑灭火源.如图，着火点位于C处，有一架救火飞机沿东西方由点A飞向点B,已知点C与直线AB上 10/21 专题05 勾股定理实际应用（12种类型72道） 考点01 梯子问题 考点02 引葭赴岸 考点03 飞行问题 考点04 楼梯问题 考点05 选址问题 考点06 水面航行 考点07 判断是否受台风影响 考点08 测量高度 考点09 大树折断 考点10 汽车测速 考点11 计算河宽 考点12 最短路径问题 考点01 梯子问题 1．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 3．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 4．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（        ）米． A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1 【答案】A 【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC， ∴， ∵AB=2.5米，BC=1.5米， ∴AC===2米． ∵Rt△ECD中，CE⊥CD， ∴， ∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米， ∴EC===1.5米， ∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键． 6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 考点02 引葭赴岸 7．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 8．《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．设水深为x尺，则葭长为尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设水深为x尺，则葭长为尺，根据题意得： ， 解得：， 答：水深为12尺，则葭长为13尺． 故选：C 9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 10．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 11．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（    ）      A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 12．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺 A．8 B．10 C．13 D．12 【答案】D 【分析】如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案. 【详解】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺 由题意可得： ∴ 解得 ∴尺 故选D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 考点03 飞行问题 13．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 14．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 15．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 16．电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（   ）． A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以及方位角．哪吒飞行路线正好构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这哪吒飞行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故哪吒最后返回时的直线距离是． 故选：C． 17．如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的距离为 米． 【答案】13 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长度为米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为米， 根据题意，得米，米，米，米． 在中，． 由勾股定理，得， 即， 解得：， 故鹰飞行的距离为13米． 故答案为：13． 18．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 【答案】540 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可． 【详解】解：飞机飞行的距离为：米， ∴飞行的速度为千米/时， 故答案为：540． 考点04 楼梯问题 19．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 20．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 21．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 22．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 23．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 7 420 【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数． 【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m， 根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)， 地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长， 则购买这种地毯的长是3+4=7(m)， 则面积是2×7=14 (m2)， 总钱数是14×30=420（元）． 故答案为：7；420． 【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键． 24．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 考点05 选址问题 25．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 26．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 27．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 28．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 29．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 30．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 考点06 水面航行 31．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 32．如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 33．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 34．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是 海里． 【答案】 【分析】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定，且B处在C处的北偏西方向上，再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定，进而求出，然后根据等腰三角形的判定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离． 【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东方向上，C处在B处南偏东方向上， ∴，B处在C处的北偏西方向上． ∴． ∴． ∴． ∴AC=BC． ∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处， ∴海里． ∴AC=25海里． ∴海里． 故答案为：． 【点睛】本题考查方位角，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 35．一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，） 【答案】10.4 【分析】过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，由锐角三角函数的定义求出SC的长即可． 【详解】解：过S作SC⊥AB于C． ∵∠SBC=60°，∠A=30°， ∴∠BSA=∠SBC-∠A=30°， 即∠BSA=∠A=30°． ∴SB=AB=12（海里）， Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°， ∴SC=SB•sin60°=12×=6≈10.4（海里）． 故答案为：10.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出SC的长是解题的关键． 36．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线． 考点07 判断是否受台风影响 37．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 38．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点会受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续受到洒水影响20秒，请你通过计算判断着火点能否被救火飞机扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 着火点C受洒水影响； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点C能被扑灭． 39．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 40．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 41．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)影响； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 42．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点08 测量高度 43．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，米，，，米，米， ∴， ∴米， ∴米， 即风筝的垂直高度为米； （2）解：如图：在上取点，使得米，连接， ， 则米， 在中，由勾股定理可得米， ∴（米）， 故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米． 44．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【答案】12.25米． 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理的应用． 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，建立方程，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得，米． 答：旗杆的高度是12.25米． 45．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【答案】旗杆的高度为12米．过程见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 设旗杆高，则绳子长为，根据勾股定理列式计算即可； 【详解】解：设旗杆高，则绳子长为， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆、绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为，解得， ∴旗杆的高度为12米． 46． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 47．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为9米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设米，则绳子长为米， ∴米， 由题意得：四边形是长方形， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为9米． 48．如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，分别选择两种方案利用勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：选择小明的方案： 如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米； 或者选择小亮的方案： 如图3，设旗杆的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米． 考点09 大树折断 49．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 50．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 51．围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    【答案】大树折断前的高度为 【分析】根据题意，分别应用勾股定理求出，的长度，求和即可． 【详解】解：在中，，， ， ． 在中，，， ， ． 因此，大树折断前的高度为 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数形结合思想，根据题意应用勾股定理是解题的关键． 52．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 53．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 54．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 考点10 汽车测速 55．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 56．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 57．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 58．学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 59．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 60．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 考点11 计算河宽 61．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 62．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 63．如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 【答案】240米 【分析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． 【详解】解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：， 解得， 答：河宽240米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是关键． 64．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B，结果离欲到达点B为240米，已知他在水中游了510米，求该河的宽度（两岸可近似看做平行）． 【答案】450米． 【分析】本题考查勾股定理的运用根据题意得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意得：， 则（米）， 即该河的宽度为450米． 65．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 66．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 考点12 最短路径问题 67．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 68．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 69．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 70．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 71．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 72．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $